114 高普考高考三級 氣象 大氣動力學 考古題詳解

核心觀念

本題考的是垂直動量方程，以及如何用尺度分析判斷不同尺度的大氣運動中，哪些力不可忽略。垂直方向的加速度由物質導數表示：

其中 $u,v,w$ 分別是東西、南北、垂直風速，且取 $z$ 軸向上。

垂直方向主要考慮的力是垂直氣壓梯度力、重力及摩擦力。若在地球自轉座標系中寫完整方程，還有垂直科氏力項；重力與離心力通常合併為有效重力 $g$。在傳統大氣方程的近似下，垂直科氏力通常忽略。

解題方法

由牛頓第二定律，單位質量的垂直加速度等於各力的垂直分量總和。以 $z$ 軸向上為正，氣壓隨高度通常遞減，因此垂直氣壓梯度力為 $-\rho^{-1}\partial p/\partial z$；重力方向向下，為 $-g$。加上垂直摩擦加速度 $F_z$，得到常用的大氣垂直運動方程：

此式保留垂直加速度，因此可用來描述不同尺度的垂直運動。若採完整地球自轉座標，垂直科氏加速度為 $2\Omega\cos\phi\,u$，方程可寫為：

其中 $\Omega$ 為地球自轉角速度，$\phi$ 為緯度。傳統近似會略去此非傳統垂直科氏項；地球曲率與離心效應則納入有效重力處理。

中緯度綜觀尺度的尺度分析

取典型尺度：垂直風速 $W\sim10^{-2}\ \mathrm{m\,s^{-1}}$、水平尺度 $L\sim10^6\ \mathrm{m}$、水平風速 $U\sim10\ \mathrm{m\,s^{-1}}$、時間尺度 $T\sim10^5\ \mathrm{s}$，大氣垂直尺度

核心觀念

本題考查大氣邊界層的水平動量平衡，以及「偏地轉風」的定義。當氣壓梯度力、科氏力與摩擦力達到平衡時，風不再是純粹的地轉風；摩擦使風速減弱，科氏力也隨之減小，因而產生偏向低壓的跨等壓線分量。

採北半球、定常且水平運動的動量平衡，令 $\mathbf{V}$ 為實際風速向量、$\mathbf{V}_g$ 為地轉風向量，$f>0$ 為科氏參數，$\mathbf{k}$ 為鉛直向上的單位向量。摩擦力以單位質量的加速度表示為 $\mathbf{F}$。

解題方法

水平動量方程可寫為

題設為三力平衡，且忽略局地與平流加速度，因此

地轉平衡定義為氣壓梯度力與科氏力平衡：

以三力平衡式減去地轉平衡式，消去氣壓梯度力，得到

核心觀念

慣性重力波（inertia–gravity wave）是同時受地球自轉的科氏力與穩定層結的浮力影響而振盪的波動。科氏力提供慣性振盪的恢復作用，浮力提供重力波的恢復作用；兩者共同決定波的頻率與傳播特性。

在中緯度，科氏參數為

其中 $\Omega$ 是地球自轉角速度，$\phi$ 是緯度。穩定層結的浮力振盪頻率以 Brunt–Väisälä 頻率 $N$ 表示。

解題方法與方程

以靜力背景、無黏性、線性化的 Boussinesq 方程描述小振幅擾動。令 $u,v,w$ 分別為東西、南北、垂直風擾動，$p'$ 為壓力擾動，$b$ 為浮力擾動，則動量方程為

其中 $\rho_0$ 是參考密度。配合浮力與質量連續方程：

水平動量方程中的 $-fv$ 與 $fu$ 是科氏力耦合項；垂直動量方程中的 $b$ 與浮力方程共同表現垂直浮力振盪。對平面波擾動取波形 $\exp[i(kx+ly+mz-\omega t)]$，可得慣性重力波的色散關係：

核心觀念

羅士比變形半徑（Rossby deformation radius）是重力或浮力作用與科氏力作用相當時的水平特徵尺度。它描述流場中壓力（或位勢高度）擾動，能在旋轉效應影響下形成地轉平衡的典型距離。

在單層淺水模型中，長重力波速為 $c=\sqrt{gH}$，其中 $g$ 為重力加速度、$H$ 為平均水深，因此

其中 $f=2\Omega\sin\phi$ 為科氏參數。大氣斜壓第一模態常寫為

其中 $c_1$ 是第一斜壓重力波相速；採連續分層近似時，也常以 $L_D\sim NH/(\pi |f|)$ 表示，$N$ 為浮力頻率、$H$ 為大氣層厚度。不同垂直模態有不同的變形半徑。

地轉調節（geostrophic adjustment）則是指初始流場未達地轉平衡時，流場透過重力波或慣性重力波傳播，將不平衡部分帶離或重新分配，使剩餘流場逐漸趨近地轉平衡的過程。

解題方法

以水平尺度 $L$ 和變形半徑 $L_D$ 比較，判斷初始擾動中有多少部分會進入平衡流、有多少部分會以快速波動形式調節。淺水系統的線性慣性重力波頻率滿足

其中 $k\sim 1/L$。變形半徑因此可視為旋轉調節與重力波調節相互競爭的分界尺度。

• **$L\gg L_D$：**擾動尺度大於變形半徑，旋轉作用重要，流場較能建立地轉平衡；調節後的平衡成分占比較大。
• **$L\ll L_D$：**擾動尺度遠小於變形半徑，重力波調節較明顯，不平衡成分容易以慣性重力波傳播；

核心觀念

本題考查中緯度大氣的渦旋熱量輸送，以及它與弗雷爾胞（Ferrel Cell）的關係。弗雷爾胞是熱力間接環流：平均經向環流本身通常把能量往赤道輸送；大氣持續向高緯輸送能量的主要機制，是中緯度斜壓不穩定產生的氣旋、反氣旋等天氣尺度渦旋。

解題方法

以緯向平均與渦旋擾動分解熱通量，說明能量的主要輸送方向：

其中，$v$ 是經向風、$T$ 是溫度；上橫線代表緯向平均，撇號代表偏離緯向平均的擾動。第一項是平均經向環流的熱量輸送，第二項是渦旋熱量輸送。

在中緯度，南北溫度梯度強，斜壓不穩定發展為鋒面與氣旋、反氣旋。這些渦旋傾向把較暖空氣帶向極地，把較冷空氣帶向赤道，使得北半球的 $\overline{v'T'}$ 通常為正；南半球則對應為向南的極向熱量輸送。渦旋因此將熱量及能量由低緯送往高緯，減弱原有的南北溫差。

弗雷爾胞如何與輸送作用相連