113 高普考高考三級 氣象 大氣動力學 考古題詳解

核心觀念

本題考查熱力風（thermal wind）是兩個等壓面間地轉風的向量差，並利用厚度水平梯度判斷風切方向與大小。北半球地轉風沿等高線吹，低位勢高度在風向左側；冷空氣柱較薄、暖空氣柱較厚。

解題方法

令西側為 A、東側為 B，兩地水平距離為

$$\Delta x=500\ \mathrm{km}=5.0\times10^5\ \mathrm{m}.$$

兩地 $1000$–$700\ \mathrm{hPa}$ 厚度差為

$$\Delta H=3.0-2.9=0.1\ \mathrm{km}=100\ \mathrm{m}.$$

因此厚度向東增加，厚度梯度大小為

$$\frac{\Delta H}{\Delta x} =\frac{100}{5.0\times10^5} =2.0\times10^{-4}.$$

在壓力座標中，兩等壓面間的熱力風關係為

$$\mathbf V_{g,700}-\mathbf V_{g,1000} =\frac{g}{f}\,\mathbf k\times\nabla H,$$

其中 $\mathbf k$ 指向鉛直向上。厚度向東增加，所以 $\nabla H$ 指向東；$\mathbf k\times\nabla H$ 指向北。故高層地轉風相對低層地轉風的向量差指向北。

熱力風速率為

$$V_T=\frac{g}{f}\frac{\Delta H}{\Delta x} =\frac{9.8}{10^{-4}}\left(2.0\times10^{-4}\right) =19.6\ \mathrm{m\,s^{-1}}.$$

因此，熱力風向北，速率為 $19.6\ \mathrm{m\,s^{-1}}$。

冷平流時的三向量關係

核心觀念

本題考自然座標下的水平動量方程式，以及曲率與科氏力如何影響氣壓梯度力和風速。令風速大小為 $V$，沿氣流前進方向為 $s$，左側法線方向為 $n$，曲率半徑為 $R$；北半球科氏參數 $f>0$。自然座標中的水平動量方程式為

$$\frac{dV}{dt}=-\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial s}, \qquad \frac{V^2}{R}+fV=-\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial n}.$$

其中 $V^2/R$ 是曲率造成的法向向心加速度；法向方程式左側的 $fV$ 為科氏加速度在左法線方向的分量。若為定常、無摩擦的梯度風，切向加速度為零，法向氣壓梯度力與曲率項、科氏項平衡。

解題方法

先依氣旋或反氣旋判定風向的曲率，再用法向方程式比較氣壓梯度力大小。氣壓梯度力指向低壓，大小為

$$\mathrm{PGF}=\frac{1}{\rho}\left|\frac{\partial p}{\partial n}\right|.$$

在北半球，氣旋式環流（低壓周圍）逆時針，風向左轉，曲率中心在風向左側；反氣旋式環流（高壓周圍）順時針，曲率中心在風向右側。因此，對低壓氣旋而言科氏項與曲率項同向；對高壓反氣旋而言兩者反向。

(一) 高壓中心附近的氣壓梯度和風速較小

低壓周圍的氣壓梯度力指向內側，與向心加速度方向相同，故

$$\frac{1}{\rho}\left|\frac{\partial p}{\partial n}\right| =\frac{V^2}{R}+fV \quad\text{（北半球低壓氣旋）}.$$

高壓周圍的氣壓梯度力指向外側，需克服科氏效應後仍提供向外的反氣旋曲率加速度，故

$$\frac{1}{\rho}\left|\frac{\partial p}{\partial n}\right| =fV-\frac{V^2}{R} \quad\text{（北半球高壓反氣旋）}.$$

核心觀念

本題比較正壓大氣（barotropic atmosphere）與斜壓大氣（baroclinic atmosphere）的熱力與動力特徵。判斷關鍵是密度是否只由壓力決定，以及水平溫度梯度是否造成地轉風隨高度改變。

靜力平衡下，

$$\frac{\partial p}{\partial z}=-\rho g$$

理想氣體狀態方程為

$$p=\rho R T$$

其中 $p$ 為氣壓、$\rho$ 為密度、$T$ 為絕對溫度、$R$ 為乾空氣氣體常數、$g$ 為重力加速度。

解題方法

從正壓與斜壓的定義出發，逐項判斷題目所列特徵。正壓大氣中，密度是壓力的單值函數，等壓面與等密度面平行；斜壓大氣中，密度同時受壓力與溫度影響，且水平溫度梯度使等壓面與等密度面不平行。

在地轉平衡下，地轉風為

$$\mathbf{V}_g=\frac{1}{f\rho}\,\mathbf{k}\times\nabla_h p$$

其中 $f$ 為科氏參數，$\nabla_h$ 表示水平梯度。斜壓大氣的水平溫度梯度會使地轉風隨高度改變，這種風向量的垂直變化稱為熱力風，滿足

$$\frac{\partial \mathbf{V}_g}{\partial \ln p} =-\frac{R}{f}\,\mathbf{k}\times\nabla_h T$$

因此，水平溫度梯度為零時，熱力風為零、地轉風不隨高度改變；有水平溫度梯度時，熱力風不為零、地轉風會隨高度改變。

正壓與斜壓特徵比較

核心觀念

本題考察軸對稱、純切向風場的垂直渦度與環流。採用柱座標中的相對渦度公式；逆時針旋轉代表切向風速 $v$ 為正：

$$\zeta=\frac{1}{r}\frac{d(rv)}{dr} =\frac{dv}{dr}+\frac{v}{r}, \qquad \Gamma(r)=\oint \boldsymbol{V}\cdot d\boldsymbol{\ell}=2\pi r v(r).$$

解題方法

（一）各區域的渦度

當 $0<r\le r_{\max}$，

$$v=v_{\max}\frac{r}{r_{\max}}, \qquad rv=v_{\max}\frac{r^2}{r_{\max}}.$$

因此

$$\zeta =\frac{1}{r}\frac{d}{dr} \left(v_{\max}\frac{r^2}{r_{\max}}\right) =\frac{1}{r}\frac{2v_{\max}r}{r_{\max}} =\frac{2v_{\max}}{r_{\max}}.$$

當 $r>r_{\max}$，

$$v=v_{\max}\left(\frac{r_{\max}}{r}\right)^{1/2} =v_{\max}r_{\max}^{1/2}r^{-1/2},$$

故

$$rv=v_{\max}r_{\max}^{1/2}r^{1/2},$$ $$\zeta =\frac{1}{r}\frac{d}{dr} \left(v_{\max}r_{\max}^{1/2}r^{1/2}\right) =\frac{v_{\max}r_{\max}^{1/2}}{2r^{3/2}} =\frac{v_{\max}}{2r_{\max}} \left(\frac{r_{\max}}{r}\right)^{3/2}.$$

在 $r=r_{\max}$，內外兩側的渦度分別為 $2v_{\max}/r_{\max}$ 與 $v_{\max}/(2r_{\max})$；風速雖連續，風速的徑向斜率不連續，因此渦度在該半徑有跳躍。

核心觀念

此題考赤道 $\beta$-平面上的線性淺水波動，以及凱爾文波的特徵：波沿赤道東西向傳播，經向風為零，重力位與緯向風集中在赤道附近，並呈高斯型緯向分布。

令重力波速 $c=\sqrt{gH}$，赤道變形半徑為 $L_e=\sqrt{c/\beta}$。凱爾文波的解需滿足經向動量平衡與赤道附近的衰減條件。

解題方法

假設波動解沿東西向傳播，令

$$(u',v',\phi')=(U(y),V(y),\Phi(y))e^{i(kx-\omega t)}.$$

取凱爾文波的關鍵條件 $V(y)=0$。代入經向動量方程：

$$\frac{\partial v'}{\partial t}+\beta yu'+\frac{\partial\phi'}{\partial y}=0 \quad\Longrightarrow\quad \beta yU+\frac{d\Phi}{dy}=0.$$

因此，

$$U=-\frac{1}{\beta y}\frac{d\Phi}{dy}.$$

由緯向動量方程，

$$\frac{\partial u'}{\partial t}-\beta yv'+\frac{\partial\phi'}{\partial x}=0,$$

且 $V=0$，得

$$-i\omega U+ik\Phi=0, \qquad \Phi=\frac{\omega}{k}U.$$

故 $U$ 與 $\Phi$ 成正比；設相速 $c_p=\omega/k$，則 $\Phi=c_pU$。代回經向平衡式：

$$\frac{d\Phi}{dy}=-\frac{\beta y}{c_p}\Phi.$$

積分後得到

$$\Phi(y)=\Phi_0\exp\left(-\frac{\beta y^2}{2c_p}\right).$$

要使波振幅遠離赤道時衰減，指數係數必須為負，因此 $c_p>0$，即波向東傳播。

再由連續方程，

$$\frac{\partial\phi'}{\partial t} +gH\left(\frac{\partial u'}{\partial x} +\frac{\partial v'}{\partial y}\right)=0,$$

代入 $V=0$ 與波動解：

$$-i\omega\Phi+igHkU=0 \quad\Longrightarrow\quad \omega\Phi=gHkU.$$

利用 $\Phi=(\omega/k)U$：

$$\omega^2=gHk^2, \qquad c_p=\frac{\omega}{k}=\sqrt{gH}\equiv c.$$