115 高普考高考三級 氣象 大氣動力學 考古題詳解

核心觀念

本題考查位溫的熱力學定義、絕熱過程中的守恆性，以及乾氣塊相對環境的垂直穩定度。令 $T$ 為絕對溫度、$p$ 為氣壓、$c_p$ 為定壓比熱、$R_d$ 為乾空氣氣體常數，並定義 $\kappa=R_d/c_p$。非絕熱加熱率 $\dot q$ 表示單位質量空氣每秒獲得的熱量。

解題方法：由熱力方程式推導位溫

乾空氣的熱力方程式可寫成

$$c_p\frac{DT}{Dt}-\alpha\frac{Dp}{Dt}=\dot q,$$

其中 $\alpha=1/\rho$ 是比容。利用乾空氣狀態方程 $\alpha=R_dT/p$，將方程式除以 $c_pT$：

$$\frac{1}{T}\frac{DT}{Dt} -\frac{R_d}{c_p}\frac{1}{p}\frac{Dp}{Dt} =\frac{\dot q}{c_pT}.$$

因此

$$\frac{D\ln T}{Dt}-\kappa\frac{D\ln p}{Dt} =\frac{\dot q}{c_pT}.$$

定義位溫為氣塊沿乾絕熱過程移至參考氣壓 $p_0$ 時所具有的溫度：

$$\theta=T\left(\frac{p_0}{p}\right)^\kappa.$$

對其取對數並隨氣塊作物質微分：

$$\frac{D\ln\theta}{Dt} =\frac{D\ln T}{Dt}-\kappa\frac{D\ln p}{Dt} =\frac{\dot q}{c_pT}.$$

故位溫的演變方程式為

$$\frac{D\theta}{Dt}=\frac{\theta}{c_pT}\dot q.$$

當過程絕熱，即 $\dot q=0$ 時，

$$\frac{D\theta}{Dt}=0.$$

因此，位溫是沿氣塊運動路徑守恆的量。若有非絕熱加熱，位溫則會隨加熱或冷卻改變。

靜力假設下的乾絕熱降溫率

乾氣塊絕熱上升時 $\dot q=0$，熱力方程式化為

$$c_p\,dT=\alpha\,dp.$$

靜力平衡給出

$$\frac{dp}{dz}=-\rho g=-\frac{g}{\alpha}.$$

將乾絕熱關係沿高度微分：

$$c_p\frac{dT}{dz} =\alpha\frac{dp}{dz} =\alpha\left(-\frac{g}{\alpha}\right) =-g.$$

所以

$$\frac{dT}{dz}=-\frac{g}{c_p}.$$

若將向上降溫率定義為正值 $\Gamma_d=-dT/dz$，則乾絕熱降溫率為

核心觀念

本題考查梯度風平衡的力方向分類，以及反壓流的絕對角動量符號。

在北半球，令 $V$ 為沿氣流方向的風速，$R$ 為有號曲率半徑：氣流作氣旋式曲率時 $R>0$，反氣旋式曲率時 $R<0$。梯度風平衡的法向動量方程可寫為

$$\frac{V^2}{R}+fV=G,$$

其中 $f>0$ 為科氏參數，$G$ 表示指向低壓側的氣壓梯度力加速度大小，取正值。因此：

• $\frac{V^2}{R}$ 是向心加速度項；$R>0$ 表示氣流呈氣旋式曲率，$R<0$ 表示反氣旋式曲率。
• $fV$ 表示科氏力的法向效應。
• 絕對角動量可寫為

$$M=rV+\frac{1}{2}fr^2,$$

其中 $r$ 是距局地旋轉軸的距離。北半球 $f>0$，第二項為正；$M$ 的正負仍須由整體平衡關係判斷。

解題方法

將各種梯度風平衡系統依氣流曲率分類：

核心觀念

本題考查赤道 β 平面上的兩種赤道波模態：混合羅斯貝—重力波（mixed Rossby–Gravity wave, MRG）與 Kelvin 波。兩者皆受赤道附近科氏參數隨緯度改變的影響；在赤道 β 平面近似下，令 $f \simeq \beta y$，其中 $y$ 為距赤道的南北距離，$\beta$ 為科氏參數的緯向梯度。

赤道波可由線性化的淺水方程描述，並以等效重力波速 $c=\sqrt{gH}$ 表示垂直結構對水平運動的作用。赤道附近的典型波尺度為赤道變形尺度 $L_e=\sqrt{c/\beta}$。波的水平結構與傳播方向，則取決於其波模態及相應的色散關係。

解題方法

依序比較兩種波的形成機制、傳播方向、環流結構及大尺度影響，最後再判斷何者較能提供熱帶氣旋發展所需的環境條件。判斷關鍵在於：MRG 波具有明顯的氣旋性渦度配置；Kelvin 波則以沿赤道傳播的輻合、對流與輻散帶為主要特徵。

MRG 波

形成機制與傳播方向

MRG 波是赤道波的混合模態，兼具羅斯貝波的渦度特性與重力波的慣性恢復作用。赤道兩側的科氏力方向相反，與赤道上的科氏參數梯度共同塑造其南北不對稱的渦旋結構。

典型的 MRG 波相位向西傳播，主要影響熱帶低層大氣；實際的傳播速度與垂直結構，會隨背景風場及對流耦合程度而變化。

高度場與風場

MRG 波的水平環流大致呈赤道兩側反對稱：南、北半球各有一個方向相反的旋轉環流，並由赤道附近的風場連結。常見的低層結構，是赤道兩側出現反向的渦旋與風速異常；高度場（或位勢高度場）則伴隨波動性的高、低值異常。深對流活躍區通常與低層輻合及上升運動相配合。

對大氣與海洋大尺度運動的影響

MRG 波能調整熱帶低層的風場、渦度與對流分布，並透過波動輸送動量與渦度。其赤道兩側的渦旋若向副熱帶移動，可形成有利於熱帶低壓發展的旋轉環流。海洋中的赤道波動亦可透過風應力、海表流及躍層起伏，改變海洋熱量與動量的分布。

Kelvin 波

形成機制與傳播方向

Kelvin 波是受旋轉效應約束的重力波模態：赤道附近的科氏力梯度使波動集中在赤道一帶，並形成強烈的沿赤道傳播結構。其理想化線性解中，南北向風 $v$ 在赤道為零，且波動振幅向赤道兩側快速衰減。

核心觀念

對稱不穩定（symmetric instability, SI）是斜壓流中的一種斜向不穩定：氣塊沿等位溫面作斜向位移，並在近似守恆絕對動量的條件下失去平衡。它介於垂直方向的對流不穩定與水平方向的慣性不穩定之間；鋒區的斜向上升與降水帶可由此機制解釋。

以下取北半球，令 $x$ 沿鋒面、$y$ 朝暖空氣方向，$v_g$ 為沿鋒地轉風。地轉絕對動量定義為

$$M_g=v_g+fy,$$

其中 $f>0$ 為科氏參數。絕對動量面是 $M_g$ 相同的面；等位溫面是 $\theta$ 相同的面。

若環境垂直靜力穩定，且直立方向也慣性穩定，判斷 SI 的關鍵是氣塊沿等位溫面移動時，絕對動量是否朝不利於恢復的方向改變。北半球的對稱不穩定條件為

$$\left(\frac{\partial M_g}{\partial y}\right)_{\theta}<0.$$

也就是沿等位溫面朝暖空氣方向移動時，$M_g$ 減小。若此導數為正，氣塊受到恢復力，對稱穩定。

解題方法：用等位溫面與等絕對動量面比較

在經向—垂直剖面上，同時畫出等位溫線與等絕對動量線。若等位溫線比等絕對動量線更陡，便可沿等位溫面找到使 $M_g$ 減小的斜向位移，符合對稱不穩定條件。反之，若等位溫線較平緩，沿等位溫面移動時 $M_g$ 增加，環境對稱穩定。

北半球剖面示意圖（縱軸向上為高度，橫軸向右為暖空氣方向；斜線為等值線）：

核心觀念

本題考查一維線性平流方程式的有限差分格式、CFL 穩定條件，以及數值格式對波振幅與相位的影響。控制方程式為

$$\frac{\partial q}{\partial t}+c\frac{\partial q}{\partial x}=0,$$

其中 $q$ 為被平流量，$c$ 為平流速度。定義 Courant 數

$$C=\frac{c\Delta t}{\Delta x}.$$

上游法依照平流方向選取上游格點；跳蛙法則以時間中央差分搭配空間中央差分。

解題方法

一階上游法

當 $c>0$，資訊由左向右傳遞，空間導數採用後向差分：

$$\frac{q_i^{n+1}-q_i^n}{\Delta t} +c\frac{q_i^n-q_{i-1}^n}{\Delta x}=0.$$

整理得

$$q_i^{n+1}=q_i^n-C(q_i^n-q_{i-1}^n) =(1-C)q_i^n+Cq_{i-1}^n.$$

當 $c<0$，資訊由右向左傳遞，空間導數改採前向差分：

$$q_i^{n+1}=q_i^n-C(q_{i+1}^n-q_i^n).$$

其 CFL 穩定條件為

$$|C|=\left|\frac{c\Delta t}{\Delta x}\right|\leq 1.$$

對 $c>0$，這代表一個時間步內的平流距離 $c\Delta t$ 不得超過一個網格間距。以 Fourier 模態分析，當 $c>0$ 時放大因子為

$$G=1-C(1-e^{-i\theta}),\qquad \theta=k\Delta x,$$

其振幅滿足

$$|G|^2=1-2C(1-C)(1-\cos\theta).$$

在 $0<C<1$ 時，非零波數的振幅會衰減；波長愈短，衰減通常愈強。因此上游法具有數值振幅耗散，長波衰減較弱，短波衰減較強。它也會有相位誤差，波的傳播速度與真實相速度不完全相同。

二階跳蛙法

時間導數與空間導數都採中央差分：

$$\frac{q_i^{n+1}-q_i^{n-1}}{2\Delta t} +c\frac{q_{i+1}^n-q_{i-1}^n}{2\Delta x}=0.$$

整理得

$$q_i^{n+1}=q_i^{n-1}-C(q_{i+1}^n-q_{i-1}^n).$$

其 CFL 穩定條件為

$$|C|\leq 1.$$

對 Fourier 波，跳蛙法的色散關係可寫為