113 高普考高考三級 輻射安全 放射物理學與輻射劑量學 考古題詳解

113 年・高普考・高考三級・輻射安全
試題代碼 放射物理學與輻射劑量學

第 一 題20 分

如圖所示，其中第一個光子（1 MeV1\ \mathrm{MeV}）打入區域後產生光電效應（電子動能消耗過程中產生了一個制動輻射（0.3 MeV0.3\ \mathrm{MeV}）），第二個光子（2 MeV2\ \mathrm{MeV}）在區域外產生光電效應（但此光電子絕大多數的動能消耗在此區域內），第三個光子（3 MeV3\ \mathrm{MeV}）產生康普吞散射（散射光子能量為0.8 MeV0.8\ \mathrm{MeV}）。區域的質量為200 g200\ \mathrm{g}。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

請計算吸收劑量（DD）、克馬（KK）以及輻射克馬（KradK_{\mathrm{rad}}）（Gy\mathrm{Gy}）。

🖼️ 本題原卷含圖表。基於試題來源之版權考量，本站不轉載原卷影像； 題目文字已完整轉錄，圖表請自行參閱考選部公告之試題原檔。

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核心觀念

本題比較三個量：

  • 吸收劑量 DD：區域內物質實際吸收的能量除以質量。
  • 克馬 KK：未帶電粒子（本題為光子）在區域內轉移給帶電粒子的初始動能除以質量。
  • 輻射克馬 KradK_{\mathrm{rad}}：帶電粒子初始動能中，最後以制動輻射等輻射形式發出的部分除以質量。

基本關係為

D=Eabsm,K=Etrm,Krad=Eradm.D=\frac{E_{\mathrm{abs}}}{m},\qquad K=\frac{E_{\mathrm{tr}}}{m},\qquad K_{\mathrm{rad}}=\frac{E_{\mathrm{rad}}}{m}.

本題區域質量為

m=200 g=0.2 kg.m=200\ \mathrm{g}=0.2\ \mathrm{kg}.

取

1 MeV=1.602×10−13 J.1\ \mathrm{MeV}=1.602\times10^{-13}\ \mathrm{J}.

各光子造成的能量轉移

第一個光子：1 MeV1\ \mathrm{MeV} 光電效應

光子在區域內發生光電效應，將 1 MeV1\ \mathrm{MeV} 轉移給光電子，因此此部分對克馬的貢獻為

Etr,1=1 MeV.E_{\mathrm{tr,1}}=1\ \mathrm{MeV}.

光電子減速時產生 0.3 MeV0.3\ \mathrm{MeV} 制動輻射，因此真正以碰撞方式沉積在區域內的能量為

Eabs,1=1−0.3=0.7 MeV.E_{\mathrm{abs,1}}=1-0.3=0.7\ \mathrm{MeV}.

制動輻射能量對輻射克馬的貢獻為

Erad,1=0.3 MeV.E_{\mathrm{rad,1}}=0.3\ \mathrm{MeV}.

第二個光子：2 MeV2\ \mathrm{MeV} 光電效應

此光子在區域外發生光電效應，所以其能量轉移給光電子的事件不發生在本區域內，不計入本區域的克馬。

但題目指出該光電子絕大多數動能在本區域內消耗，因此其對吸收劑量的貢獻近似為

Eabs,2≃2 MeV.E_{\mathrm{abs,2}}\simeq 2\ \mathrm{MeV}.

這正是本題中 DD 與 KK 不相等的關鍵。

第三個光子：3 MeV3\ \mathrm{MeV} 康普吞散射

散射光子能量為 0.8 MeV0.8\ \mathrm{MeV}，因此康普吞反沖電子獲得的動能為

Ee,3=3−0.8=2.2 MeV.E_{e,3}=3-0.8=2.2\ \mathrm{MeV}.

此能量在區域內轉移給帶電粒子，因此計入克馬；題目未指定制動輻射能量，故視為全部以碰撞方式沉積：

Etr,3=Eabs,3=2.2 MeV.E_{\mathrm{tr,3}}=E_{\mathrm{abs,3}}=2.2\ \mathrm{MeV}.

計算克馬 KK

區域內由第一個及第三個光子轉移給帶電粒子的能量為

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第 二 題20 分

若需要將一個質子（m0=1.00727 amum_0=1.00727\ \mathrm{amu}）加速到使其動能為1000 MeV (1 TeV)1000\ \mathrm{MeV}\ (1\ \mathrm{TeV})，請計算質子的總能量（MeV\mathrm{MeV}）以及其速度（m/s\mathrm{m/s}）。另外，請說明質子通常會使用何種設備來加速？

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核心觀念

質子的總能量由靜止能量與動能組成：

E=E0+K=γm0c2E=E_0+K=\gamma m_0c^2

其中 E0=m0c2E_0=m_0c^2 為靜止能量、KK 為動能，γ=1/1−β2\gamma=1/\sqrt{1-\beta^2}，β=v/c\beta=v/c。當動能遠大於靜止能量時，必須使用相對論公式，不能用古典力學的 K=12m0v2K=\frac12m_0v^2。

解題方法

先將質子質量換算成靜止能量。取 1 amu c2≃931.5 MeV1\ \mathrm{amu}\,c^2\simeq 931.5\ \mathrm{MeV}：

E0=(1.00727)(931.5)≃938.3 MeVE_0=(1.00727)(931.5)\simeq 938.3\ \mathrm{MeV}

題目給定動能 K=1000 MeVK=1000\ \mathrm{MeV}，因此總能量為：

E=E0+K=938.3+1000≃1938.3 MeVE=E_0+K=938.3+1000\simeq 1938.3\ \mathrm{MeV}

由 E=γE0E=\gamma E_0 得：

γ=EE0=1938.3938.3≃2.066\gamma=\frac{E}{E_0}=\frac{1938.3}{938.3}\simeq 2.066

再由 γ=1/1−β2\gamma=1/\sqrt{1-\beta^2} 求速度：

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第 三 題20 分

試述光子與物質的三大作用，以及其作用機率（原子截面積）與原子序（ZZ）、能量（EE）的關係。

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核心觀念

本題考查光子在物質中的三種主要作用：光電效應、康普頓散射、電子對生成。作答時要分別說明作用機制，並比較單一原子截面積 σ\sigma 對原子序 ZZ 與入射光子能量 EE 的依賴。

原子截面積可視為單一原子發生某種作用的有效面積；在相同粒子通量下，截面積愈大，該作用發生機率愈高。常用的比例式是描述一般能區下的近似趨勢，並非適用所有能量的精確公式。

解題方法與三大作用

1. 光電效應（photoelectric effect）

光子將全部能量交給原子束縛電子，使電子逸出成為光電子；光子本身消失。光電子動能約為

Te=E−EbT_e=E-E_b

其中 EbE_b 為該電子的束縛能。原子留下內層空穴後，會以特性 X 光或俄傑電子釋出能量。

光電效應的原子截面積對原子序高度敏感，常用近似為

σpe∝ZnE3∼3.5\sigma_{\mathrm{pe}}\propto \frac{Z^{n}}{E^{3\sim 3.5}}

其中 nn 常約為 4∼54\sim 5，實際指數會隨能區與殼層而變。故高 ZZ 物質、低光子能量時，光電效應特別顯著。當光子能量跨越原子殼層束縛能時，截面積會出現吸收邊，不能以單一平滑冪次律描述。

2. 康普頓散射（Compton scattering）

光子與電子發生非彈性散射，將部分能量與動量交給反沖電子，散射後光子仍存在，但能量降低。其能量與散射角關係為

E′=E1+Emec2(1−cos⁡θ)E'=\frac{E}{1+\dfrac{E}{m_ec^2}(1-\cos\theta)}

其中 E′E' 為散射光子能量，θ\theta 為散射角，mec2=0.511 MeVm_ec^2=0.511\ \mathrm{MeV}。

若束縛效應可忽略，原子中的電子數約為 ZZ，因此原子截面積可寫成

σC≈Z σKN(E)\sigma_{\mathrm C}\approx Z\,\sigma_{\mathrm{KN}}(E)

σKN\sigma_{\mathrm{KN}} 是單一自由電子的 Klein–Nishina 截面積。低能極限下，單電子截面積趨近 Thomson 截面積，對能量變化不大；當 EE 高於電子靜止能量尺度時，單電子截面積隨能量增加而下降，高能下約呈對數修正的 1/E1/E 趨勢。因此康普頓作用的原子截面積大致隨 ZZ 增加，且在高能區隨 EE 增加而減小。

3. 電子對生成（pair production）

光子在原子核庫侖場附近轉換成一個電子與一個正電子；原子核承受反沖，以滿足動量守恆。最低能量須提供兩者的靜止質量能：

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第 四 題20 分

已知131I{}^{131}\mathrm{I}核種所放出主要光子有三個：364 keV364\ \mathrm{keV}（機率81.5%81.5\%）、637 keV637\ \mathrm{keV}（機率7.16%7.16\%）、284 keV284\ \mathrm{keV}（機率6.12%6.12\%），且已知364 keV364\ \mathrm{keV}、637 keV637\ \mathrm{keV}、284 keV284\ \mathrm{keV}與空氣作用的質量吸收係數分別為2.92×10−3 m2/kg2.92\times10^{-3}\ \mathrm{m^2/kg}、2.94×10−3 m2/kg2.94\times10^{-3}\ \mathrm{m^2/kg}、2.84×10−3 m2/kg2.84\times10^{-3}\ \mathrm{m^2/kg}。

請推導計算100 MBq100\ \mathrm{MBq} 131I{}^{131}\mathrm{I}的射源，在5 m5\ \mathrm{m}之外（空氣）產生的空氣的吸收劑量率（Gy/hr\mathrm{Gy/hr}）。（請注意答案的單位換算）

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核心觀念

本題考查多能量光子源在距離 rr 處造成的空氣吸收劑量率。先以各光子能量、發射機率與空氣質量能量吸收係數求出每次衰變的加權光子能量轉移量，再套用點射源的反平方定律。

題目提供的是空氣的質量吸收係數 μen/ρ\mu_{\mathrm{en}}/\rho。忽略光子散射與空氣衰減時，空氣吸收劑量率為

D˙=A4πr2∑ipiEi(μenρ)i\dot D = \frac{A}{4\pi r^2} \sum_i p_i E_i \left(\frac{\mu_{\mathrm{en}}}{\rho}\right)_i

其中 AA 為活度、pip_i 為各光子發射機率、EiE_i 為光子能量，4πr24\pi r^2 是距離 rr 處的球面面積。

解題方法

先將各光子能量換成焦耳。利用 1 keV=1.602×10−16 J1\ \mathrm{keV}=1.602\times10^{-16}\ \mathrm{J}：

E364=364(1.602×10−16)=5.831×10−14 JE_{364}=364(1.602\times10^{-16}) =5.831\times10^{-14}\ \mathrm{J} E637=637(1.602×10−16)=1.021×10−13 JE_{637}=637(1.602\times10^{-16}) =1.021\times10^{-13}\ \mathrm{J} E284=284(1.602×10−16)=4.550×10−14 JE_{284}=284(1.602\times10^{-16}) =4.550\times10^{-14}\ \mathrm{J}

加權能量乘上質量吸收係數：

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第 五 題20 分

已知某核種的物理半衰期與生物半衰期各為3030天、1515天，此核種若一開始進入人體之活性為5 Ci5\ \mathrm{Ci}，經評估後此核種一開始在人體造成的起始劑量率為3×10−5 mGy/day3\times10^{-5}\ \mathrm{mGy/day}。

請計算6060天之後，造成人體的累積劑量（mGy\mathrm{mGy}）。

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核心觀念

本題考查放射性核種進入人體後，物理衰變與生物排除會同時降低體內活度，因此需先合併計算有效半衰期，再積分隨時間遞減的劑量率，求出累積劑量。

物理半衰期 TpT_p、生物半衰期 TbT_b 與有效半衰期 TeT_e 的關係為：

1Te=1Tp+1Tb\frac{1}{T_e}=\frac{1}{T_p}+\frac{1}{T_b}

若劑量率與體內活度成正比，則劑量率也依有效半衰期作指數衰減。

解題方法

已知 Tp=30T_p=30 天、Tb=15T_b=15 天，故：

1Te=130+115=130+230=110\frac{1}{T_e}=\frac{1}{30}+\frac{1}{15} =\frac{1}{30}+\frac{2}{30} =\frac{1}{10}

因此有效半衰期為 Te=10T_e=10 天。題目已給起始劑量率 D˙0=3×10−5 mGy/day\dot{D}_0=3\times10^{-5}\ \mathrm{mGy/day}，往後 tt 天的劑量率為：

D˙(t)=D˙0e−λet=D˙0 2−t/Te\dot{D}(t)=\dot{D}_0e^{-\lambda_e t} =\dot{D}_0\,2^{-t/T_e}

其中有效衰變常數為：

λe=ln⁡2Te=ln⁡210 day−1\lambda_e=\frac{\ln 2}{T_e}=\frac{\ln 2}{10}\ \mathrm{day^{-1}}

累積劑量為 00 至 6060 天的劑量率積分：

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