108 高普考高考三級 企業管理 財務管理 考古題詳解

核心觀念

本題測驗「貨幣時間價值（Time Value of Money, TVM）」中之貸款本息平均攤還（Amortized Loan with Equal Payments）與未償還貸款餘額（Loan Balance）之計算：

1. 期利率與期數之期間匹配：貸款採每半年還款一次，屬於普通年金（Ordinary Annuity）。名目年利率（APR）必須轉換為「期利率」（$k = r / m$），貸款年限必須轉換為「總期數」（$n = t \times m$）。
2. 年金現值公式： $PV = PMT \times PVIFA(k\%, n)$ 其中 $PV$ 為貸款現值（借款本金），$PMT$ 為每期償還金額，$PVIFA(k\%, n) = \frac{1 - (1+k)^{-n}}{k}$ 為年金現值利率因子。
3. 未償還貸款餘額（Loan Balance）： 欲於期中提前結清貸款，需計算特定時點之未償本金餘額。學理上有三種推算方式：

• 逐期攤銷法（Amortization Schedule）：每期繳納之 $PMT$ 扣除當期應付利息（期初本金餘額 $\times k$）即為「當期償還本金」，逐期自本金餘額扣除。
• 過去法（Retrospective Method / 累積終值法）：借款本金累積至該期的終值，扣除已繳期款累積至該期的終值。
• 未來法（Prospective Method）：剩餘未到期之各期期款折現至該期期末之現值。

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解題方法

(一) 計算每期應償還金額（5 分）

1. 參數轉換：

• 借款本金（現值）：$PV = 4,000,000$ 元。
• 每年還款次數：$m = 2$（每半年一次）。
• 每期利率：$k\% = \frac{2\%}{2} = 1\%$。
• 貸款總期數：$n = 10 \text{ 年} \times 2 = 20 \text{ 期}$。

2. 代入年金現值公式： 選用題目提供之因子 $PVIFA(1\%, 20) = 18.0456$： $PV = PMT \times PVIFA(1\%, 20)$ $4,000,000 = PMT \times 18.0456$ $PMT = \frac{4,000,000}{18.0456} \approx 221,660.68 \text{（元）}$

四捨五入至整數元為 $221,661$ 元。

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(二) 計算第 2 年年底想償還所有貸款之金額（10 分）

1. 時點界定： 每半年為 1 期，第 2 年年底為「第 4 期期末」（$t = 4$）。全期共 20 期，結清時已繳納 4 期，尚餘 16 期（$20 - 4 = 16$）。

2. 第 4 期期末未償本金餘額（$Balance_4$）之計算：

• 方法一：過去法（終值累積法） 期末未償本金等於原始借款累積至第 4 期之終值，扣除前 4 期年金之累積終值： $Balance_4 = PV \times (1 + k)^4 - PMT \times FVIFA(1\%, 4)$ 其中： $(1 + 0.01)^4 = 1.04060401$ $FVIFA(1\%, 4) = \frac{(1.01)^4 - 1}{0.01} = 4.060401$ 代入計算： $Balance_4 = 4,000,000 \times 1.04060401 - 221,660.68 \times 4.060401$ $Balance_4 = 4,162,416.04 - 900,031.11 = 3,262,384.93 \approx 3,262,385 \text{（元）}$

• 方法二：逐期攤銷推算法（Amortization Schedule）

• 第 1 期：

• 利息：$4,000,000 \times 1\% = 40,000$ 元

• 償還本金：$221,661 - 40,000 = 181,661$ 元

• 第 1 期未償本金：$4,000,000 - 181,661 = 3,818,339$ 元

• 第 2 期：

核心觀念

本題評量企業長期財務規劃與財務比率分析的核心能力，涵蓋三大考點：

1. 財務報表數據推導與杜邦分析（DuPont Analysis）：

• 損益推導：息前稅前盈餘（$\text{EBIT}$）扣除利息費用（$I$）得稅前盈餘（$\text{EBT}$），再扣除所得稅得稅後純益（$\text{NI}$）： $\text{NI} = (\text{EBIT} - I) \times (1 - t)$
• 資產與權益推導：由總資產周轉率（$\text{TATO} = \frac{\text{Sales}}{\text{Assets}}$）推算總資產，再利用負債比率推導權益比率及股東權益總額。
• 權益報酬率（$\text{ROE}$）： $\text{ROE} = \frac{\text{NI}}{\text{Equity}}$ 或以杜邦三因子拆解：$\text{ROE} = \text{純益率} \times \text{總資產周轉率} \times \text{權益乘數}$。

2. 維持成長率（Sustainable Growth Rate, SGR）： 指公司在不對外增資發行新股，且維持既定**財務政策（負債比率、股利發放率）與經營效率（純益率、總資產周轉率）**不變時，僅靠保留盈餘與等比例增加負債所能支持的最大銷貨成長率。

• 盈餘保留率（$b$）$= 1 - \text{股利發放率（}d\text{）}$。
• 財務管理學界（如 Ross 教授等教科書）依分母定義分為兩種標準公式：
• 期末權益基礎（精確式）： $\text{SGR} = \frac{\text{ROE} \times b}{1 - (\text{ROE} \times b)}$
• 期初權益基礎（簡化式）： $\text{SGR} = \text{ROE} \times b$

3. 內部成長率（Internal Growth Rate, IGR）： 指公司在**不對外籌措任何外部資金（不發行新股、不增加任何外部負債）**的條件下，單純依賴內部保留盈餘所能支持的最大銷貨成長率。

• 資產報酬率（$\text{ROA}$）： $\text{ROA} = \frac{\text{NI}}{\text{Assets}}$
• 公式同理分為：
• 期末資產基礎（精確式）： $\text{IGR} = \frac{\text{ROA} \times b}{1 - (\text{ROA} \times b)}$
• 期初資產基礎（簡化式）： $\text{IGR} = \text{ROA} \times b$

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解題方法

步驟一：基礎財務數據推導

1. 計算稅後純益（$\text{NI}$）： $\text{EBT} = \text{EBIT} - I = 30,000 - 10,000 = 20,000 \text{ 元}$ $\text{NI} = \text{EBT} \times (1 - t) = 20,000 \times (1 - 40\%) = 12,000 \text{ 元}$

2. 計算總資產（$A$）與股東權益（$E$）：

• 總資產周轉率 $\text{TATO} = \frac{\text{銷貨收入}}{\text{總資產}} = 3$： $\text{總資產 } A = \frac{300,000}{3} = 100,000 \text{ 元}$
• 負債比率為 $60\%$，則權益比率為 $1 - 60\% = 40\%$： $\text{股東權益 } E = 100,000 \times 40\% = 40,000 \text{ 元}$

3. 計算盈餘保留率（$b$）： $b = 1 - \text{股利發放率} = 1 - 40\% = 60\% = 0.6$

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(一) 新計畫之權益報酬率（ROE）

將稅後純益與股東權益代入定義式： $\text{ROE} = \frac{\text{NI}}{E} = \frac{12,000}{40,000} = 0.3 = 30\%$

核心觀念

本題測驗「無風險資產與單一風險資產之投資組合特性」以及「資本配置線（Capital Allocation Line, CAL）」的建構原理，涉及以下核心觀念與財務公式：

1. 無風險資產（Risk-free Asset）的統計特性： 政府短期債券（如國庫券）在財務理論中通常視為無風險資產，其到期收益確定，故不存在報酬變異：

• 變異數與標準差為零：$\sigma_f^2 = 0$、$\sigma_f = 0$。
• 與任何風險資產 $m$ 的共變異數恆為零：$\text{Cov}(R_f, R_m) = 0$。
• 與任何風險資產的相關係數為零：$\rho_{f,m} = 0$。

2. 投資組合標準差公式： 由無風險資產（比重 $1 - w$）與風險資產（比重 $w$）構成之投資組合，其標準差簡化為風險資產比重與該風險資產標準差之乘積： $\sigma_p = \sqrt{w^2 \sigma_m^2 + (1-w)^2 \sigma_f^2 + 2w(1-w)\text{Cov}(R_f, R_m)} = w \cdot \sigma_m \quad (\text{當 } w \ge 0)$

3. 投資組合期望報酬率與資本配置線（CAL）： 投資組合之期望報酬率為個別資產報酬率之加權平均： $E(R_p) = (1 - w) R_f + w E(R_m)$ 亦可表示為資本配置線方程式： $E(R_p) = R_f + \left[ \frac{E(R_m) - R_f}{\sigma_m} \right] \sigma_p$ 其中括號內之斜率即為臺灣 50 ETF 之夏普比率（Sharpe Ratio）。

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解題方法

設無風險資產（政府短期債券）報酬率為 $R_f = 2\%$，風險資產（臺灣 50 ETF）之期望報酬率為 $E(R_m) = 10\%$、標準差 $\sigma_m = 20\%$。投入臺灣 50 ETF 之權重設為 $w$，投入政府短期債券之權重為 $1 - w$。

(一) 計算投入臺灣 50 ETF 之權重 $w$

1. 推導投資組合標準差： 由於政府短期債券為無風險資產，$\sigma_f = 0$ 且 $\text{Cov}(R_f, R_m) = 0$。 $\sigma_p = \sqrt{w^2 \sigma_m^2} = w \cdot \sigma_m$
2. 代入題目已知數值： 目標組合標準差 $\sigma_p = 10\%$，$\sigma_m = 20\%$： $10\% = w \times 20\%$ $w = \frac{10\%}{20\%} = 0.5 = 50\%$

因此，某甲須將資產的 $50\%$ 投入臺灣 50 ETF，其餘 $50\%$ 投資於政府短期債券。

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(二) 計算組合標準差為 10% 下之期望報酬率 $E(R_p)$

【方法一：權重加權法】 將已求得之資產比重代入期望報酬率公式： $E(R_p) = (1 - w) R_f + w E(R_m)$ $E(R_p) = (1 - 0.5) \times 2\% + 0.5 \times 10\%$ $E(R_p) = 0.5 \times 2\% + 0.5 \times 10\% = 1\% + 5\% = 6\%$

【方法二：資本配置線（CAL）公式法】 計算夏普比率（風險溢酬／標準差）：

核心觀念

本題評量營運資金管理（Working Capital Management）中的現金管理（Cash Management），包含定量計算與定性理論兩大部分：

1. 鮑莫爾模式（Baumol Model / Baumol-Tobin Model）：將存貨管理的「經濟訂購量模式」（EOQ）引申至現金管理。企業將現金視為一種存貨，在「交易成本」（將有價證券變現的固定手續費）與「機會成本」（持有現金而損失的有價證券利息收益）之間尋求權衡（Trade-off），以求得維持現金餘額的總成本極小化。
2. 總成本極小化條件：

• 年總成本方程式：$TC = \left(\frac{T}{C}\right) \times F + \left(\frac{C}{2}\right) \times R$
• 最佳現金轉換額（最佳現金餘額）：$C^* = \sqrt{\frac{2TF}{R}}$
• 平均現金餘額：$\bar{C} = \frac{C^*}{2}$
• 極小化年總成本：$TC^* = \sqrt{2TFR}$

3. 持有現金的動機：依據凱因斯（J. M. Keynes）流動性偏好理論及現代公司理財實務，探討企業持有流動性資產的驅動因素。

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解題方法

參數定義

• 全年現金總需求量（$T$）：$5,000,000$ 元
• 每次出售有價證券之固定交易成本（$F$）：$100$ 元
• 有價證券年報酬率（持有現金之機會成本率 $R$）：$10\% = 0.10$
• 每次出售有價證券轉換為現金之金額（$C$）

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(一) Baumol 模式所決定的最佳現金餘額

Baumol 模式旨在使全年總持有成本與總交易成本之和達到最小。總成本函數為： $TC = \text{總交易成本} + \text{總機會成本} = \left(\frac{T}{C}\right)F + \left(\frac{C}{2}\right)R$

對 $C$ 進行一階微分並令其為 0： $\frac{dTC}{dC} = -\frac{T \cdot F}{C^2} + \frac{R}{2} = 0 \implies C^2 = \frac{2TF}{R} \implies C^* = \sqrt{\frac{2TF}{R}}$

將題目數據代入公式： $C^* = \sqrt{\frac{2 \times 5,000,000 \times 100}{0.10}} = \sqrt{\frac{1,000,000,000}{0.10}} = \sqrt{10,000,000,000} = 100,000\text{（元）}$

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(二) 平均現金餘額

在 Baumol 模式假設下，現金支出速率均勻且穩定。每當現金降至 0 時，公司立即出售 $C^*$ 的有價證券補充現金，因此現金水位呈週期性鋸齒狀變動： $\text{平均現金餘額} = \frac{\text{期初現金} + \text{期末現金}}{2} = \frac{C^* + 0}{2} = \frac{C^*}{2}$

代入 $C^* = 100,000$ 元： $\text{平均現金餘額} = \frac{100,000}{2} = 50,000\text{（元）}$

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(三) 為維持現金餘額每年要負擔的成本

維持現金餘額的成本包含「交易成本」與「機會成本」：

1. 全年交易次數：

核心觀念

本題評量期貨避險策略（Hedging Strategy）中的兩大核心方法：簡單避險法（Naive Hedging）與最小變異最適避險比例法（Minimum Variance Optimal Hedge Ratio）。

1. 避險方向（多頭避險，Long Hedge）： 航空公司預計於 6 個月後買入噴射機燃油，面臨未來油價上漲之風險（現貨實質暴露為空頭部位），故應於期貨市場採取買進（多頭）期貨合約進行避險。
2. 交叉避險（Cross Hedging）與價值避險（Value-based Hedging）： 因現貨為「噴射機燃油（以公噸計價）」，期貨標的為「紐約商品交易所燃油期貨（以加侖計價）」，兩者標的資產不同、計量單位相異，且題目未提供密度換算率。因此，必須透過**總資產價值（Total Value）搭配價格變動率（報酬率）**模型計算避險合約口數。
3. 關鍵公式：

• 現貨總暴露價值：$V_A = Q_A \times S$
• 單口期貨合約價值：$V_F = Q_F \times F$
• 最適避險比例（以價格變動率計算）：$h^* = \rho \times \frac{\sigma_S}{\sigma_F}$ 其中 $\rho$ 為現貨與期貨價格變動率之相關係數，$\sigma_S$ 為現貨價格變動率標準差，$\sigma_F$ 為期貨價格變動率標準差。
• 期貨合約口數：$N = h \times \frac{V_A}{V_F}$ （若為簡單避險法，則 $h = 1$）

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解題方法

基本數據整理

• 預計採購現貨數量 $Q_A = 10,000 \text{ 公噸}$
• 現貨價格 $S = 300 \text{ 美元/公噸}$
• 現貨總價值： $V_A = 10,000 \times 300 = 3,000,000 \text{ 美元}$
• 單口期貨合約規格 $Q_F = 42,000 \text{ 加侖}$
• 期貨價格 $F = 0.7 \text{ 美元/加侖}$
• 單口期貨合約價值： $V_F = 42,000 \times 0.7 = 29,400 \text{ 美元}$
• 統計參數：$\sigma_S = 20\%$，$\sigma_F = 18\%$，相關係數 $\rho = 0.85$

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(一) 採用簡單避險法（Naive Hedging）

1. 避險比例 ($h$)： 簡單避險法假設現貨價值與期貨價值呈現 $1:1$ 完全避險對沖，不考慮統計波動幅度與相關性。 $h = 1 \quad (\text{或 } 100\%)$

2. 購買期貨合約口數 ($N_{\text{naive}}$)：