110 臺灣菸酒招考無 無 台菸酒從業職員 電機冷凍 (電機機械) 考古題詳解

核心觀念

本題考查單相變壓器組成三相變壓器時，接線方式對額定線電壓、線電流及容量的影響。

單相變壓器額定值為：

$$S_\phi=500\text{ kVA},\qquad V_{H\phi}=11.4\text{ kV},\qquad V_{L\phi}=480\text{ V}$$

三個單相變壓器組成三相變壓器時，總容量為：

$$S_{3\phi}=3S_\phi=3(500)=1500\text{ kVA}$$

三相系統基本關係如下：

• $\Delta$ 接：

$$V_L=V_\phi,\qquad I_L=\sqrt{3}I_\phi$$

• $\text{Y}$ 接：

$$V_L=\sqrt{3}V_\phi,\qquad I_L=I_\phi$$

三相容量公式為：

$$S_{3\phi}=\sqrt{3}V_LI_L$$

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（一）高壓側 $\Delta$ 接、低壓側 $\text{Y}$ 接

1. 高壓側額定線電壓

高壓側為 $\Delta$ 接，因此線電壓等於每一相繞組電壓：

$$V_{HL}=V_{H\phi}=11.4\text{ kV}$$

2. 低壓側額定線電壓

低壓側為 $\text{Y}$ 接，因此：

$$V_{LL}=\sqrt{3}V_{L\phi}$$ $$V_{LL}=\sqrt{3}(480)=831.38\text{ V}$$

故低壓側額定線電壓為：

$$\boxed{831.4\text{ V}}$$

3. 高壓側額定線電流

$$I_{HL}=\frac{S_{3\phi}}{\sqrt{3}V_{HL}}$$ $$I_{HL}=\frac{1500\times10^3}{\sqrt{3}(11.4\times10^3)} =75.98\text{ A}$$

也可先求單相高壓繞組電流：

$$I_{H\phi}=\frac{500\times10^3}{11.4\times10^3} =43.86\text{ A}$$

因高壓側為 $\Delta$ 接：

$$I_{HL}=\sqrt{3}I_{H\phi} =\sqrt{3}(43.86) =75.98\text{ A}$$

4. 低壓側額定線電流

$$I_{LL}=\frac{S_{3\phi}}{\sqrt{3}V_{LL}}$$ $$I_{LL} =\frac{1500\times10^3}{\sqrt{3}(831.38)} =1041.67\text{ A}$$

低壓側為 $\text{Y}$ 接，線電流等於相電流，亦可由單相低壓繞組計算：

$$I_{L\phi}=\frac{500\times10^3}{480} =1041.67\text{ A}$$

小結

$$\boxed{V_{HL}=11.4\text{ kV}}$$ $$\boxed{I_{HL}=75.98\text{ A}}$$ $$\boxed{V_{LL}=831.4\text{ V}}$$ $$\boxed{I_{LL}=1041.67\text{ A}}$$

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（二）高壓側 $\text{Y}$ 接、低壓側 $\Delta$ 接

1. 高壓側額定線電壓

高壓側為 $\text{Y}$ 接，因此：

$$V_{HL}=\sqrt{3}V_{H\phi}$$ $$V_{HL}=\sqrt{3}(11.4)=19.745\text{ kV}$$

故高壓側額定線電壓為：

$$\boxed{19.75\text{ kV}}$$

2. 低壓側額定線電壓

低壓側為 $\Delta$ 接，因此：

$$V_{LL}=V_{L\phi}=480\text{ V}$$

3. 高壓側額定線電流

$$I_{HL} =\frac{S_{3\phi}}{\sqrt{3}V_{HL}}$$ $$I_{HL} =\frac{1500\times10^3}{\sqrt{3}(19.745\times10^3)} =43.86\text{ A}$$

因高壓側為 $\text{Y}$ 接，線電流等於相電流，也可直接由單相高壓繞組計算：

$$I_{HL}=I_{H\phi} =\frac{500\times10^3}{11.4\times10^3} =43.86\text{ A}$$

4. 低壓側額定線電流

$$I_{LL} =\frac{S_{3\phi}}{\sqrt{3}V_{LL}}$$ $$I_{LL} =\frac{1500\times10^3}{\sqrt{3}(480)} =1804.22\text{ A}$$

低壓側為 $\Delta$ 接。單相低壓繞組電流為：

核心觀念

本題考查感應電動機的三個基本量：

1. 同步轉速 $n_s$
2. 轉差率 $s$
3. 轉速調整率（speed regulation）

感應電動機的同步轉速公式為

$$n_s=\frac{120f}{P}$$

其中：

• $f$：電源頻率，單位為 $\text{Hz}$
• $P$：極數
• $n_s$：同步轉速，單位為 $\text{rpm}$

轉差率定義為

$$s=\frac{n_s-n_r}{n_s}$$

其中 $n_r$ 為轉子實際轉速。

轉速調整率定義為

$$\text{Speed Regulation} =\frac{n_0-n_{\text{FL}}}{n_{\text{FL}}}\times 100\%$$

其中：

• $n_0$：無載轉速
• $n_{\text{FL}}$：滿載轉速

題目說明無載轉差率甚小，可忽略，因此無載轉速可視為同步轉速：

$$n_0\approx n_s$$

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解題方法

（一）同步轉速

已知：

$$f=60\text{ Hz},\qquad P=6$$

代入同步轉速公式：

$$n_s=\frac{120(60)}{6}$$

因此

$$n_s=1200\text{ rpm}$$

將 $\text{rpm}$ 換算為 $\text{rad/s}$：

$$1\text{ rpm}=\frac{2\pi}{60}\text{ rad/s}$$

所以

$$\omega_s =1200\times \frac{2\pi}{60} =40\pi\text{ rad/s}$$

數值為

$$\omega_s\approx 125.66\text{ rad/s}$$

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（二）滿載轉差率

滿載轉速為

$$n_{\text{FL}}=1140\text{ rpm}$$

轉差率為

$$s_{\text{FL}} =\frac{n_s-n_{\text{FL}}}{n_s}$$

代入 $n_s=1200\text{ rpm}$：

$$s_{\text{FL}} =\frac{1200-1140}{1200} =\frac{60}{1200} =0.05$$

核心觀念

本題利用同步發電機的三項基本測試資料：

1. 直流測試（DC test）：求每相等效電樞電阻 $R_a$。
2. 開路測試與短路測試（OC-SC test）：求同步阻抗 $Z_s$，再由阻抗三角形求同步電抗 $X_s$。
3. 短路比（short-circuit ratio, SCR）：比較產生額定開路電壓所需的勵磁電流，與產生額定短路電流所需的勵磁電流。

因為發電機採三相 $Y$ 型接線，所以：

$V_{\text{phase}}=\frac{V_{\text{line}}}{\sqrt{3}},\qquad I_{\text{phase}}=I_{\text{line}}$

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解題方法

（一）等效電樞電阻

直流測試時，直流電壓加在線端與線端之間，電流會流經兩相電樞繞組，因此量得的線間電阻為：

$R_{\text{line-line}}=\frac{V_{\text{DC}}}{I_{\text{DC}}}$

兩相繞組串聯，且各相電阻相同，因此：

$R_{\text{line-line}}=2R_a$

故每相等效電樞電阻為：

$R_a=\frac{V_{\text{DC}}}{2I_{\text{DC}}}$

代入數據：

$R_a=\frac{10.35}{2(52.80)}$

$R_a=0.0980\ \Omega/\text{phase}$

因此：

$\boxed{R_a\approx 0.098\ \Omega/\text{phase}}$

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（二）同步電抗

1. 求開路相電壓

開路測試給的是線電壓：

$V_{\text{OC,line}}=240.0\text{ V}$

$Y$ 型接線之相電壓為：

$$E_A=V_{\text{OC,phase}} =\frac{240.0}{\sqrt{3}} =138.56\text{ V}$$

2. 求同步阻抗

開路與短路資料須取自相同勵磁電流。因此同步阻抗為：

$Z_s=\frac{E_A}{I_{\text{SC}}}$

$Y$ 型接線中線電流等於相電流，所以：

$I_{\text{SC}}=I_{\text{SC,line}}=115.65\text{ A}$

因此：

$$Z_s=\frac{138.56}{115.65} =1.198\ \Omega$$

3. 由阻抗三角形求同步電抗

同步阻抗與電阻、電抗的關係為：

$Z_s^2=R_a^2+X_s^2$

因此：

$X_s=\sqrt{Z_s^2-R_a^2}$

代入：

$X_s=\sqrt{(1.198)^2-(0.0980)^2}$

$X_s\approx 1.194\ \Omega/\text{phase}$

所以：

$\boxed{X_s\approx 1.19\ \Omega/\text{phase}}$

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（三）短路比

短路比定義為：

核心觀念

本題綜合考查電力變壓器的四項基本觀念：

1. 鐵心疊片可降低渦流損。
2. 鐵損主要由磁通密度與頻率決定，正常負載下近似固定。
3. 短路試驗施加低電壓，使鐵心磁通很小，因此鐵損可忽略。
4. 二次側開路時，一次側仍有激磁電流與鐵損電流流動，稱為無載電流。

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（一）鐵心為何採疊片製成？

解題方法

變壓器鐵心由交變磁通通過，依據法拉第電磁感應定律，鐵心內會感應出渦流。若鐵心使用整塊實心鐵材，渦流可在較大的截面內流動，造成嚴重的渦流損。

渦流損可概念性表示為：

$$P_e \propto \frac{B_m^2 f^2 t^2}{\rho}$$

其中：

• $P_e$：渦流損
• $B_m$：最大磁通密度
• $f$：頻率
• $t$：鐵片厚度
• $\rho$：材料電阻率

將鐵心製成許多薄片，再以絕緣漆或氧化層彼此隔離，可提高渦流路徑的電阻，並縮小渦流迴路面積，使渦流顯著減小。

作答重點

鐵心疊片具有以下作用：

• 薄片間的絕緣層切斷渦流的連續流路。
• 減小渦流迴路面積。
• 增加渦流流動路徑的電阻。
• 降低渦流損與鐵心發熱。
• 提高變壓器效率。

鐵心疊片主要是為了降低渦流損；磁滯損則主要藉由選用適當的低損耗磁性材料來降低。

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（二）正常負載範圍內，鐵損為何近似固定？

解題方法

變壓器鐵損包括：

1. 磁滯損
2. 渦流損

在一次側施加額定頻率與額定電壓時，鐵心中的最大磁通大致由下式決定：

$$E_1 \approx 4.44 f N_1 \Phi_m$$

因此：

$$\Phi_m \approx \frac{E_1}{4.44 f N_1}$$

當一次側電壓 $E_1$、頻率 $f$ 與一次側匝數 $N_1$ 固定時，鐵心最大磁通 $\Phi_m$ 幾乎固定，磁通密度 $B_m$ 也幾乎固定。

磁滯損可概念性表示為：

$$P_h \propto f B_m^n$$

其中 $n$ 約為 $1.6$，視磁性材料而定；渦流損則為：

$$P_e \propto f^2 B_m^2$$

由於正常負載範圍內電壓與頻率大致維持額定值，$B_m$ 幾乎不變，因此磁滯損與渦流損皆近似不變。

為何負載增加不會明顯改變鐵損？

負載增加時，主要增加的是二次側負載電流，以及一次、二次繞組的銅損：

$$P_{cu}=I^2R$$

理想變壓器中，負載電流所產生的去磁磁勢，會由一次側增加的電流加以平衡，使主磁通仍大致維持固定。因此負載由無載增加至滿載時：

• 鐵損：幾乎固定
• 銅損：隨電流平方增加
• 總損：主要因銅損增加而增加

實際變壓器在滿載時會有繞組壓降，使鐵心端電壓稍微下降，鐵損也會有些微變化，但相對於額定運轉條件而言仍可視為近似固定。

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（三）短路試驗為何可忽略鐵損？

解題方法

短路試驗時，通常將變壓器二次側短路，再由一次側施加低電壓，使繞組中流過額定電流。

因為二次側短路，變壓器阻抗很小，所以只需要施加額定電壓的一小部分，即可使一次、二次側產生額定電流。短路試驗的施加電壓通常約為額定電壓的數％至十幾％。

由變壓器電壓方程式：

$$E_1 \approx 4.44 f N_1 \Phi_m$$