113 專技高考高等考試 電子工程技師 電磁學與電磁波 考古題詳解

113 年・專技高考・高等考試・電子工程技師
試題代碼 電磁學與電磁波

第 一 題25 分

一、一段長度為 LL 的均勻無損傳輸線特性阻抗為 Z0Z_0，傳播常數為 γ=jβ\gamma=j\beta，其中 β\beta 為相位常數。一個頻率為 ff 的正弦電壓源 V0V_0 與傳輸線的輸入端（z=0z=0）連接，傳輸線的末端（z=Lz=L）連接一負載阻抗 ZLZ_L。請回答下列問題：

（一）請寫出傳輸線上電壓 V(z)V(z) 與電流 I(z)I(z) 的數學表達式，以及負載端（z=Lz=L）的電壓與電流數學表達式。（6 分）

（二）若負載阻抗 ZL=∞Z_L=\infty（即開路），求負載端的電壓波反射係數和輸入端（z=0z=0）的輸入阻抗 ZinZ_{\mathrm{in}}。（6 分）

（三）證明在（二）情況下，輸入阻抗 ZinZ_{\mathrm{in}} 與傳輸線長度 LL 之間滿足

Zin=−jZ0cot⁡(βL)Z_{\mathrm{in}}=-jZ_0\cot(\beta L)

的關係式。（6 分）

（四）解釋（三）中關係式的物理意義。（7 分）

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核心觀念

本題考查無損傳輸線的行進波、負載端電壓反射係數，以及輸入阻抗。採用相量表示，假設傳播方向為 +z+z，並以 V0V_0 表示傳輸線輸入端電壓；電流正方向亦取 +z+z。

無損線的傳播常數為 γ=jβ\gamma=j\beta。沿線電壓、電流可寫成入射波與反射波的疊加：

V(z)=V+e−jβz+V−ejβzV(z)=V^+e^{-j\beta z}+V^-e^{j\beta z} I(z)=1Z0(V+e−jβz−V−ejβz)I(z)=\frac{1}{Z_0}\left(V^+e^{-j\beta z}-V^-e^{j\beta z}\right)

其中 V+V^+、V−V^- 分別為電壓入射波與反射波的相量振幅。

解題方法

（一）沿線電壓、電流與負載端表達式

在負載端 z=Lz=L，電壓與電流為：

VL=V(L)=V+e−jβL+V−ejβLV_L=V(L)=V^+e^{-j\beta L}+V^-e^{j\beta L} IL=I(L)=1Z0(V+e−jβL−V−ejβL)I_L=I(L)=\frac{1}{Z_0}\left(V^+e^{-j\beta L}-V^-e^{j\beta L}\right)

若以負載端電壓反射係數 ΓL\Gamma_L 表示，則

ΓL=V−ejβLV+e−jβL=ZL−Z0ZL+Z0\Gamma_L=\frac{V^-e^{j\beta L}}{V^+e^{-j\beta L}} =\frac{Z_L-Z_0}{Z_L+Z_0}

因而負載端電壓與電流也可寫成：

VL=V+e−jβL(1+ΓL)V_L=V^+e^{-j\beta L}(1+\Gamma_L) IL=V+e−jβLZ0(1−ΓL)I_L=\frac{V^+e^{-j\beta L}}{Z_0}(1-\Gamma_L)

題目未提供源內阻或指定 V0V_0 是源的開路電壓，因此無法由題目資料唯一求得 V+V^+、V−V^- 的數值；以上以波振幅表示通式。若 V0V_0 指輸入端電壓，則另有 V(0)=V++V−=V0V(0)=V^++V^-=V_0。

（二）開路負載的反射係數與輸入阻抗

開路時 ZL→∞Z_L\to\infty，所以

ΓL=lim⁡ZL→∞ZL−Z0ZL+Z0=1\Gamma_L=\lim_{Z_L\to\infty}\frac{Z_L-Z_0}{Z_L+Z_0}=1

開路端電流為零，即 I(L)=0I(L)=0。此時輸入阻抗為

Zin=Z0ZL+jZ0tan⁡(βL)Z0+jZLtan⁡(βL)Z_{\mathrm{in}}=Z_0\frac{Z_L+jZ_0\tan(\beta L)} {Z_0+jZ_L\tan(\beta L)}

令 ZL→∞Z_L\to\infty，分子、分母同除以 ZLZ_L，得到

Zin=Z0jtan⁡(βL)=−jZ0cot⁡(βL)Z_{\mathrm{in}}=\frac{Z_0}{j\tan(\beta L)} =-jZ_0\cot(\beta L)

（三）由開路端條件證明阻抗公式

由 ΓL=1\Gamma_L=1 可知負載端的反射波與入射波同相，因此負載端電壓相加、電流相消。令負載端入射波為 VL+=V+e−jβLV_L^+=V^+e^{-j\beta L}，則

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第 二 題25 分

二、本題探討利用馬克斯威爾方程組推導自由空間中的電場波動方程式，以及其求解的過程，最後計算出其傳播波速。

（一）請利用馬克斯威爾方程組（如下提示）推導電磁波電場在自由空間中的波動方程式。（10 分）

（二）在一維平面波的假設，亦即

E⃗=x^Ex(z,t)\vec{E}=\hat{x}E_x(z,t)

請化簡（一）中波動方程式。（5 分）

（三）驗證函數 Ex(pt−qz)E_x(pt-qz) 是（二）中波動方程式的解，只要兩個參數的比值 pq\frac{p}{q} 滿足某一特定關係式（亦即波速），並求出波速的數學表示式。（10 分）

【提示】：

• 馬克斯威爾方程組：

∇⋅E⃗=0（在自由空間無電荷）\nabla\cdot\vec{E}=0 \qquad（在自由空間無電荷） ∇×E⃗=−∂B⃗∂t\nabla\times\vec{E}=-\frac{\partial\vec{B}}{\partial t} ∇⋅B⃗=0\nabla\cdot\vec{B}=0 ∇×B⃗=μ0ϵ0∂E⃗∂t\nabla\times\vec{B}=\mu_0\epsilon_0\frac{\partial\vec{E}}{\partial t}

• 向量恆等式：

∇×(∇×A⃗)=∇(∇⋅A⃗)−∇2A⃗\nabla\times(\nabla\times\vec{A}) =\nabla(\nabla\cdot\vec{A})-\nabla^2\vec{A}

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核心觀念

自由空間中沒有電荷與電流，電場與磁場由馬克斯威爾方程組耦合。對法拉第定律取旋度，再代入安培–馬克斯威爾定律，並使用向量恆等式，可導出電場的波動方程式。

真空中的介電常數與磁導率分別為 ϵ0\epsilon_0、μ0\mu_0，電磁波速由這兩個常數決定。

解題方法

（一）推導自由空間電場波動方程式

由法拉第定律

∇×E⃗=−∂B⃗∂t\nabla\times\vec{E}=-\frac{\partial\vec{B}}{\partial t}

兩側取旋度：

∇×(∇×E⃗)=−∂∂t(∇×B⃗)\nabla\times(\nabla\times\vec{E}) =-\frac{\partial}{\partial t}(\nabla\times\vec{B})

代入安培–馬克斯威爾定律 ∇×B⃗=μ0ϵ0∂E⃗∂t\nabla\times\vec{B}=\mu_0\epsilon_0\frac{\partial\vec{E}}{\partial t}：

∇×(∇×E⃗)=−μ0ϵ0∂2E⃗∂t2\nabla\times(\nabla\times\vec{E}) =-\mu_0\epsilon_0\frac{\partial^2\vec{E}}{\partial t^2}

再使用恆等式

∇×(∇×E⃗)=∇(∇⋅E⃗)−∇2E⃗\nabla\times(\nabla\times\vec{E}) =\nabla(\nabla\cdot\vec{E})-\nabla^2\vec{E}

自由空間中 ∇⋅E⃗=0\nabla\cdot\vec{E}=0，因此左側為 −∇2E⃗-\nabla^2\vec{E}。故

−∇2E⃗=−μ0ϵ0∂2E⃗∂t2-\nabla^2\vec{E} =-\mu_0\epsilon_0\frac{\partial^2\vec{E}}{\partial t^2}

整理得電場波動方程式：

∇2E⃗−μ0ϵ0∂2E⃗∂t2=0\boxed{\nabla^2\vec{E} -\mu_0\epsilon_0\frac{\partial^2\vec{E}}{\partial t^2}=0}

（二）化簡為一維平面波方程式

已知 E⃗=x^Ex(z,t)\vec{E}=\hat{x}E_x(z,t)，電場只有 xx 分量，且只隨 zz 與時間變化，因此向量拉普拉斯算子化為

∇2E⃗=x^∂2Ex∂z2\nabla^2\vec{E} =\hat{x}\frac{\partial^2 E_x}{\partial z^2}

代入（一）的波動方程式，得到

∂2Ex∂z2−μ0ϵ0∂2Ex∂t2=0\boxed{ \frac{\partial^2 E_x}{\partial z^2} -\mu_0\epsilon_0\frac{\partial^2 E_x}{\partial t^2}=0 }

（三）驗證試探函數並求波速

令

Ex(z,t)=F(pt−qz)E_x(z,t)=F(pt-qz)
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第 三 題25 分

三、本題考慮在均勻磁場中的電流導線與電流迴路所受的磁力與磁力矩問題。

（一）一段長度 LL 且載有穩定電流 II 的導線，假設該導線置於均勻磁場 B⃗\vec{B} 中，已知導線上微量長度 dℓd\ell 所受的微量磁力可表示如下：

dF⃗m=I dℓ⃗×B⃗d\vec{F}_m=I\,d\vec{\ell}\times\vec{B}

請推導出導線所受的總磁力 F⃗m\vec{F}_m 數學式。（3 分）

（二）如圖一所示，一個邊長為 LL 的正方形電流迴路（電流為 II）置於均勻磁場

B⃗=B0y^\vec{B}=B_0\hat{y}

中。請計算左、右兩段導線（AD‾\overline{AD} 與 BC‾\overline{BC}）所受的磁力，並證明其大小相等且方向相反。（8 分）

（三）繼續子題（二），請計算上、下兩段導線（CD‾\overline{CD} 與 AB‾\overline{AB}）所受的磁力，再計算這四段導線所受磁力的合力與合力矩。（14 分）

【提示】：力矩 τ⃗\vec{\tau} 的公式

τ⃗=r⃗×F⃗\vec{\tau}=\vec{r}\times\vec{F}

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

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核心觀念

均勻磁場中的載流導線受力由安培力微分式

dF⃗m=I dℓ⃗×B⃗d\vec F_m=I\,d\vec\ell\times\vec B

決定。磁場均勻時，可將 B⃗\vec B 提到積分外：

F⃗m=I∫dℓ⃗×B⃗=I(∫dℓ⃗)×B⃗=IL⃗×B⃗,\vec F_m =I\int d\vec\ell\times\vec B =I\left(\int d\vec\ell\right)\times\vec B =I\vec L\times\vec B,

其中 L⃗\vec L 是導線起點指向終點的位移向量。直線導線長度為 LL、與磁場夾角為 θ\theta 時，磁力大小為 Fm=ILBsin⁡θF_m=ILB\sin\theta。

本圖中 x^\hat x 向右、z^\hat z 向上，磁場 B⃗=B0y^\vec B=B_0\hat y 指向紙面內。四段電流方向分別為 AD‾:+z^\overline{AD}:+\hat z、CD‾:+x^\overline{CD}:+\hat x、BC‾:−z^\overline{BC}:-\hat z、AB‾:−x^\overline{AB}:-\hat x。

解題方法

每段直導線使用 F⃗m=IL⃗×B⃗\vec F_m=I\vec L\times\vec B，依右手定則判斷方向。計算合力矩時，以正方形中心 OO 為參考點；各段磁力均勻分布，可將該段合力視為作用在其中點。

（一）導線的總磁力

沿導線積分微量磁力：

F⃗m=∫dF⃗m=I∫dℓ⃗×B⃗=I(∫dℓ⃗)×B⃗=IL⃗×B⃗.\vec F_m =\int d\vec F_m =I\int d\vec\ell\times\vec B =I\left(\int d\vec\ell\right)\times\vec B =I\vec L\times\vec B.

（二）左、右兩段導線的磁力

左側 AD‾\overline{AD} 的電流沿 +z^+\hat z：

F⃗AD=I(Lz^)×(B0y^)=−ILB0x^.\vec F_{AD} =I(L\hat z)\times(B_0\hat y) =-ILB_0\hat x.

右側 BC‾\overline{BC} 的電流沿 −z^-\hat z：

F⃗BC=I(−Lz^)×(B0y^)=+ILB0x^.\vec F_{BC} =I(-L\hat z)\times(B_0\hat y) =+ILB_0\hat x.

所以

∣F⃗AD∣=∣F⃗BC∣=ILB0,F⃗AD=−F⃗BC.|\vec F_{AD}|=|\vec F_{BC}|=ILB_0, \qquad \vec F_{AD}=-\vec F_{BC}.

左段受力向左，右段受力向右，大小相等、方向相反。

（三）上、下兩段磁力、合力與合力矩

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第 四 題25 分

四、考慮純量場

G=∇⋅(ϕE⃗)G=\nabla\cdot(\phi\vec{E})

其中 ϕ\phi 是任意可微分之純量場，且

∇2ϕ=0\nabla^2\phi=0

（稱 ϕ\phi 為調和函數）；E⃗\vec{E} 是靜電場，滿足

∇×E⃗=0\nabla\times\vec{E}=0

。假設某區域 VV 是邊長為 aa 的立方體，該立方體的邊界外表面為 SS，且假設邊界 SS 上電位 ψ\psi 為零，請計算純量場 GG 在區域 VV 的體積分值

∫VG dv\int_V G\,dv

。（25 分）

【說明】：必須利用以下散度定理和電磁學基本定律等進行推導與計算，否則不予計分。

• 散度定理：

∫V∇⋅A⃗ dv=∫SA⃗⋅ds⃗\int_V\nabla\cdot\vec{A}\,dv = \int_S\vec{A}\cdot d\vec{s}

• 電場與電位的關係：

E⃗=−∇ψ\vec{E}=-\nabla\psi

• 靜電場滿足高斯定律：

∇⋅E⃗=ρϵ0=0\nabla\cdot\vec{E} = \frac{\rho}{\epsilon_0} = 0

（設區域 VV 內無電荷）

• 向量恆等式：

∇⋅(ϕE⃗)=ϕ∇⋅E⃗+E⃗⋅∇ϕ\nabla\cdot(\phi\vec{E}) = \phi\nabla\cdot\vec{E} + \vec{E}\cdot\nabla\phi ∇⋅(ψ∇ϕ)=∇ψ⋅∇ϕ+ψ∇2ϕ\nabla\cdot(\psi\nabla\phi) = \nabla\psi\cdot\nabla\phi + \psi\nabla^2\phi

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核心觀念

本題考查散度定理、靜電場的電位表示式，以及調和函數滿足 ∇2ϕ=0\nabla^2\phi=0 的性質。關鍵是先將 GG 的體積分改寫，再利用邊界上 ψ=0\psi=0 消去表面積分。

解題方法

由散度定理，

∫VG dv=∫V∇⋅(ϕE⃗) dv=∫SϕE⃗⋅ds⃗.\int_V G\,dv =\int_V\nabla\cdot(\phi\vec E)\,dv =\int_S\phi\vec E\cdot d\vec s.

利用題目給定的向量恆等式與區域內無電荷的高斯定律，

G=∇⋅(ϕE⃗)=ϕ∇⋅E⃗+E⃗⋅∇ϕ=E⃗⋅∇ϕ.G=\nabla\cdot(\phi\vec E) =\phi\nabla\cdot\vec E+\vec E\cdot\nabla\phi =\vec E\cdot\nabla\phi.

又因 E⃗=−∇ψ\vec E=-\nabla\psi，

G=−∇ψ⋅∇ϕ.G=-\nabla\psi\cdot\nabla\phi.

題目給定

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