111 專技高考高等考試 電子工程技師 電磁學與電磁波 考古題詳解

核心觀念

本題考查無損傳輸線的暫態反射與反射波疊加。訊號沿線單程傳播時間為 $T=\ell/u$；負載端與源端的反射係數分別為

源端接通後，初始入射波由源電壓與源內阻、線路特性阻抗分壓決定：

解題方法

每次波抵達端點時，該端電壓變化量等於入射波電壓乘上 $1+\Gamma$。反射波電壓則等於入射波乘上該端反射係數。依序追蹤波在負載端與源端間往返，即可得到兩端的階梯波形。

（一）輸入端電壓波形 $v_S$

累加源端各次電壓變化，得

核心觀念

本題考查無損傳輸線（Lossless Transmission Line）之四分之一波長阻抗轉換器（$\lambda/4$ Transformer）與電壓波分佈關係。

1. 傳輸線輸入阻抗公式： 一長度為 $l$、特性阻抗為 $R_0$、接負載 $Z_L$ 之無損傳輸線，其輸入端阻抗為： $Z_{\text{in}} = R_0 \frac{Z_L + j R_0 \tan(\beta l)}{R_0 + j Z_L \tan(\beta l)}$ 當傳輸線長度為四分之一波長（$l = \frac{\lambda}{4}$）時，電長度 $\beta l = \left(\frac{2\pi}{\lambda}\right)\left(\frac{\lambda}{4}\right) = \frac{\pi}{2}$，$\tan(\beta l) \to \infty$，阻抗轉換關係簡化為： $Z_{\text{in}} = \frac{R_0^2}{Z_L}$

2. 電壓行進波與反射波關係： 定義距離負載端之距離為 $d$（負載端 $d = 0$，輸入端 $d = l = \lambda/4$）。線上總電壓分佈為入射波與反射波之疊加： $V(d) = V_0^+ \left( e^{j\beta d} + \Gamma_L e^{-j\beta d} \right)$ 其中負載反射係數為： $\Gamma_L = \frac{Z_L - R_0}{Z_L + R_0}$

3. 功率守恆定律（無損耗系統）： 由於傳輸線無耗損，進入輸入端之平均實功率必全數傳遞至負載端： $P_{\text{in}} = P_L$

解題方法

（一）求輸入端阻抗 $Z_{\text{in}}$

由四分之一波長阻抗反轉特性，輸入阻抗為： $Z_{\text{in}} = \frac{R_0^2}{R_L}$

代入題目已知數值：

• 特性阻抗 $R_0 = 60\,\Omega$
• 負載阻抗 $R_L = 30\,\Omega$

計算得： $Z_{\text{in}} = \frac{60^2}{30} = \frac{3600}{30} = 120\,\Omega$

（二）求輸入端電壓 $V_{\text{in}}$

【法一：傳輸線波方程式推導（最嚴謹，含振幅與相位）】

1. 計算負載端反射係數 $\Gamma_L$： $\Gamma_L = \frac{R_L - R_0}{R_L + R_0} = \frac{30 - 60}{30 + 60} = \frac{-30}{90} = -\frac{1}{3}$

2. 根據負載端電壓求前向波振幅 $V_0^+$： 以負載端電壓為參考相量，設 $V_L = 2\angle 0^\circ\,\mathrm{V}$。 在負載端（$d = 0$）： $V_L = V(0) = V_0^+ (1 + \Gamma_L) = V_0^+ \left(1 - \frac{1}{3}\right) = \frac{2}{3} V_0^+$ $2 = \frac{2}{3} V_0^+ \implies V_0^+ = 3\,\mathrm{V}$

核心觀念

本題考查均勻平面電磁波在無耗損非磁性介質介面（$\mu_1 = \mu_2 = \mu_0$）發生斜入射時的反射、穿透與全反射現象，核心理論依據包含：

1. 平行極化（Parallel Polarization / TM 波）： 電場向量 $\mathbf{E}$ 平行於入射面（由入射波波向量 $\mathbf{k}_i$ 與介面法向量所構成的平面），磁場向量 $\mathbf{H}$ 垂直於入射面（即平行於介面）。
2. 電磁邊界條件（Boundary Conditions）： 在無自由表面電荷與表面電流的介面上，切線電場與切線磁場必須連續： $E_{1t} = E_{2t}, \quad H_{1t} = H_{2t}$
3. 司乃耳定律（Snell's Law）： 由相位匹配條件（Phase Matching Condition）可得： $k_1 \sin\theta_i = k_1 \sin\theta_r = k_2 \sin\theta_t \implies \sqrt{\epsilon_1}\sin\theta_i = \sqrt{\epsilon_2}\sin\theta_t$ 其中波數 $k_1 = \omega\sqrt{\mu_0\epsilon_1}$、$k_2 = \omega\sqrt{\mu_0\epsilon_2}$；特性阻抗 $\eta_1 = \sqrt{\frac{\mu_0}{\epsilon_1}}$、$\eta_2 = \sqrt{\frac{\mu_0}{\epsilon_2}}$。
4. 全內反射與臨界角（Critical Angle）： 當電磁波由光密介質入射至光疏介質（$\epsilon_1 > \epsilon_2$）時，折射角 $\theta_t > \theta_i$。當折射角達 $90^\circ$ 時的入射角定義為臨界角 $\theta_c$。
5. 漸逝波（Evanescent Wave）： 當 $\theta_i > \theta_c$ 時，透射波的法向波數轉變為純虛數，沿介面法線方向呈指數衰減，形成沿介面行進之表面波。

解題方法

建立直角座標系：設兩介質之交介面為 $z=0$ 平面，$z<0$ 為介質 1，$z>0$ 為介質 2，法線方向為 $\hat{z}$。入射面取為 $x-z$ 平面。

各區域場之相量表示式如下：

• 入射波： $\mathbf{k}_i = k_1(\hat{x}\sin\theta_i + \hat{z}\cos\theta_i)$ $\mathbf{E}_i = E_{i0}(\hat{x}\cos\theta_i - \hat{z}\sin\theta_i) e^{-j k_1 (x\sin\theta_i + z\cos\theta_i)}$ $\mathbf{H}_i = \hat{y}\frac{E_{i0}}{\eta_1} e^{-j k_1 (x\sin\theta_i + z\cos\theta_i)}$

• 反射波（$\theta_r = \theta_i$）： $\mathbf{k}_r = k_1(\hat{x}\sin\theta_i - \hat{z}\cos\theta_i)$ $\mathbf{E}_r = E_{r0}(\hat{x}\cos\theta_i + \hat{z}\sin\theta_i) e^{-j k_1 (x\sin\theta_i - z\cos\theta_i)}$ $\mathbf{H}_r = -\hat{y}\frac{E_{r0}}{\eta_1} e^{-j k_1 (x\sin\theta_i - z\cos\theta_i)}$

• 穿透波： $\mathbf{k}_t = k_2(\hat{x}\sin\theta_t + \hat{z}\cos\theta_t)$ $\mathbf{E}_t = E_{t0}(\hat{x}\cos\theta_t - \hat{z}\sin\theta_t) e^{-j k_2 (x\sin\theta_t + z\cos\theta_t)}$ $\mathbf{H}_t = \hat{y}\frac{E_{t0}}{\eta_2} e^{-j k_2 (x\sin\theta_t + z\cos\theta_t)}$

（一）求反射係數 $\Gamma_{\parallel}$

在介面 $z=0$ 處應用邊界條件：

1. 切線電場連續（$E_x$ 連續）： $(E_{i0} + E_{r0})\cos\theta_i = E_{t0}\cos\theta_t \quad \cdots \text{(式 1)}$
2. 切線磁場連續（$H_y$ 連續）： $\frac{1}{\eta_1}(E_{i0} - E_{r0}) = \frac{1}{\eta_2}E_{t0} \quad \cdots \text{(式 2)}$

由 (式 2) 可得 $E_{t0} = \frac{\eta_2}{\eta_1}(E_{i0} - E_{r0})$，代入 (式 1)： $(E_{i0} + E_{r0})\cos\theta_i = \frac{\eta_2}{\eta_1}(E_{i0} - E_{r0})\cos\theta_t$ 展開整理可得： $E_{r0}\left(\eta_1\cos\theta_i + \eta_2\cos\theta_t\right) = E_{i0}\left(\eta_2\cos\theta_t - \eta_1\cos\theta_i\right)$

因此，平行極化電場反射係數為： $\Gamma_{\parallel} = \frac{E_{r0}}{E_{i0}} = \frac{\eta_2\cos\theta_t - \eta_1\cos\theta_i}{\eta_2\cos\theta_t + \eta_1\cos\theta_i}$

因 $\mu_1 = \mu_2 = \mu_0$，$\eta_1 = \sqrt{\frac{\mu_0}{\epsilon_1}}$，$\eta_2 = \sqrt{\frac{\mu_0}{\epsilon_2}}$，同乘 $\sqrt{\frac{\epsilon_1\epsilon_2}{\mu_0}}$，亦可表示為介電係數形式： $\Gamma_{\parallel} = \frac{\sqrt{\epsilon_1}\cos\theta_t - \sqrt{\epsilon_2}\cos\theta_i}{\sqrt{\epsilon_1}\cos\theta_t + \sqrt{\epsilon_2}\cos\theta_i}$

（二）求穿透係數 $\tau_{\parallel}$

由 (式 1) 及 (式 2) 聯立消去 $E_{r0}$： 由 (式 2) 得 $E_{r0} = E_{i0} - \frac{\eta_1}{\eta_2}E_{t0}$，代入 (式 1)： $\left(2E_{i0} - \frac{\eta_1}{\eta_2}E_{t0}\right)\cos\theta_i = E_{t0}\cos\theta_t$ $2E_{i0}\cos\theta_i = E_{t0}\left(\frac{\eta_1}{\eta_2}\cos\theta_i + \cos\theta_t\right) = E_{t0}\left(\frac{\eta_1\cos\theta_i + \eta_2\cos\theta_t}{\eta_2}\right)$

整理可得電場穿透係數： $\tau_{\parallel} = \frac{E_{t0}}{E_{i0}} = \frac{2\eta_2\cos\theta_i}{\eta_2\cos\theta_t + \eta_1\cos\theta_i}$

以介電係數形式表示為： $\tau_{\parallel} = \frac{2\sqrt{\epsilon_1}\cos\theta_i}{\sqrt{\epsilon_1}\cos\theta_t + \sqrt{\epsilon_2}\cos\theta_i}$

(註：兩者滿足關係式 $1 + \Gamma_{\parallel} = \tau_{\parallel}\frac{\cos\theta_t}{\cos\theta_i}$)

（三）求入射之臨界角 $\theta_c$

由司乃耳定律： $\sqrt{\epsilon_1}\sin\theta_i = \sqrt{\epsilon_2}\sin\theta_t \implies \sin\theta_t = \sqrt{\frac{\epsilon_1}{\epsilon_2}}\sin\theta_i$

核心觀念

本題評量均勻平面電磁波（Uniform Plane Wave, UPW）在無耗損介質中的傳播特性，涉及之基本定義與公式如下：

1. 平面波時域表示式與波向量： 任意方向傳播的均勻平面波電場可表示為： $\mathbf{E}(\mathbf{r}, t) = \hat{\mathbf{a}}_E E_0 \cos\left(\omega t - \mathbf{k}\cdot\mathbf{r} + \phi_0\right)$ 其中 $\omega$ 為角頻率，$\mathbf{k} = k_x \hat{\mathbf{a}}_x + k_y \hat{\mathbf{a}}_y + k_z \hat{\mathbf{a}}_z$ 為波向量（Wave Vector），$\mathbf{r} = x\hat{\mathbf{a}}_x + y\hat{\mathbf{a}}_y + z\hat{\mathbf{a}}_z$ 為位置向量，相位常數（波數）為 $k = |\mathbf{k}| = \sqrt{k_x^2 + k_y^2 + k_z^2}$。
2. 相速率（Phase Velocity）： $v_p = \frac{\omega}{k} = \frac{1}{\sqrt{\mu\epsilon}} = \frac{c}{\sqrt{\mu_r\epsilon_r}}$ 在非磁性介質（$\mu_r = 1 \implies \mu = \mu_0$）中，光速 $c = 3\times 10^8\ \mathrm{m/s}$，相速率為 $v_p = \frac{c}{\sqrt{\epsilon_r}}$。
3. 傳播方向單位向量： $\hat{\mathbf{a}}_k = \frac{\mathbf{k}}{k}$
4. TEM 波電場與磁場的正交關係： 均勻橫向平面波之電場、磁場與傳播方向滿足右手定則之空間正交性： $\mathbf{H} = \frac{1}{\eta} \left(\hat{\mathbf{a}}_k \times \mathbf{E}\right)$ 其中介質本質阻抗為 $\eta = \sqrt{\frac{\mu}{\epsilon}} = \frac{\eta_0}{\sqrt{\epsilon_r}}$（真空中本質阻抗 $\eta_0 \approx 120\pi\ \Omega \approx 377\ \Omega$）。

解題方法

將題目給定之電場強度相角展開並與標準形式比對： $\mathbf{E} = \hat{\mathbf{a}}_x E_0 \cos\left[2\pi\left(4\times10^8t + 2\sqrt{3}y - 2z\right) + \frac{\pi}{3}\right]$ 展開括號內的相角項： $\Phi(y,z,t) = \left(8\pi\times 10^8\right)t + \left(4\sqrt{3}\pi\right)y - \left(4\pi\right)z + \frac{\pi}{3}$

與標準平面波相角 $\omega t - \mathbf{k}\cdot\mathbf{r} + \phi_0 = \omega t - (k_x x + k_y y + k_z z) + \phi_0$ 比對各係數：

• 角頻率： $\omega = 8\pi\times 10^8\ \mathrm{rad/s}$
• 波向量空間分量： $-k_y = 4\sqrt{3}\pi \implies k_y = -4\sqrt{3}\pi\ \mathrm{rad/m}$ $-k_z = -4\pi \implies k_z = 4\pi\ \mathrm{rad/m}$ $k_x = 0$ 故波向量為： $\mathbf{k} = -4\sqrt{3}\pi \hat{\mathbf{a}}_y + 4\pi \hat{\mathbf{a}}_z\ \mathrm{rad/m}$

計算波數大小 $k$： $k = |\mathbf{k}| = \sqrt{0^2 + (-4\sqrt{3}\pi)^2 + (4\pi)^2} = \sqrt{48\pi^2 + 16\pi^2} = \sqrt{64\pi^2} = 8\pi\ \mathrm{rad/m}$

（一）求相速率 $v_p$

依相速率定義代入 $\omega$ 與 $k$： $v_p = \frac{\omega}{k} = \frac{8\pi \times 10^8}{8\pi} = 10^8\ \mathrm{m/s}$

（二）求傳播方向的單位向量 $\hat{\mathbf{a}}_k$

傳播方向之單位向量即為波向量 $\mathbf{k}$ 的單位向量： $\hat{\mathbf{a}}_k = \frac{\mathbf{k}}{k} = \frac{-4\sqrt{3}\pi \hat{\mathbf{a}}_y + 4\pi \hat{\mathbf{a}}_z}{8\pi} = -\frac{\sqrt{3}}{2}\hat{\mathbf{a}}_y + \frac{1}{2}\hat{\mathbf{a}}_z$

（三）求傳播介質的介電常數 $\epsilon_r$

已知介質為無窮大無耗損介質，導磁係數 $\mu = \mu_0$（即 $\mu_r = 1$），真空中光速 $c = 3\times 10^8\ \mathrm{m/s}$： $v_p = \frac{c}{\sqrt{\epsilon_r}}$ 代入 $v_p = 10^8\ \mathrm{m/s}$： $\sqrt{\epsilon_r} = \frac{c}{v_p} = \frac{3\times 10^8}{10^8} = 3$ 兩邊平方得： $\epsilon_r = 9$

（四）求此均勻橫向平面電磁波之磁場強度 $\mathbf{H}$

利用平面波之波阻抗關係式： $\mathbf{H} = \frac{1}{\eta} \left(\hat{\mathbf{a}}_k \times \mathbf{E}\right)$ 計算傳播方向向量與電場極化方向向量之向量外積： $\hat{\mathbf{a}}_k \times \hat{\mathbf{a}}_x = \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\hat{\mathbf{a}}_y + \frac{1}{2}\hat{\mathbf{a}}_z\right) \times \hat{\mathbf{a}}_x$