111 專技高考高等考試 電子工程技師 工程數學（包括線性代數、微分方程、向量分析、複變函數與機率） 考古題詳解

核心觀念

本題評量重點為二階常係數非齊次常微分方程（ODE）之初值問題，其激勵源（非齊次項）為分段連續函數。解題核心包含以下數學定理與工具：

1. 二階線性常微分方程通解架構： $y(t) = y_h(t) + y_p(t)$ 其中齊次解 $y_h(t)$ 由特徵方程式 $\lambda^2 + \lambda - 2 = 0$ 之特徵根決定；非齊次特解 $y_p(t)$ 採用**待定係數法（Method of Undetermined Coefficients）**求得。
2. 分段激勵源之接合條件（Continuity Conditions）： 外力項在 $t = 2\pi$ 雖具有有限跳躍不連續（Jump Discontinuity），但二階微分系統之物理狀態（位移與速度）具平滑性，解必須在分界點滿足 $C^1$ 連續： $\lim_{t \to 2\pi^-} y(t) = \lim_{t \to 2\pi^+} y(t) = y(2\pi)$ $\lim_{t \to 2\pi^-} y'(t) = \lim_{t \to 2\pi^+} y'(t) = y'(2\pi)$
3. 替代工具（拉普拉斯轉換）： 本題亦可透過單位步階函數（Heaviside Step Function） $u(t - 2\pi)$ 將外力項表示為單一解析式，再利用第二位移定理求解。

解題方法

本題採用「分區間求解與時域接合法」最為直觀且運算量精簡；文末並附上「拉普拉斯轉換法」作為對照。

步驟一：求齊次解 $y_h(t)$

對應之齊次微分方程為： $y'' + y' - 2y = 0$ 寫出特徵方程式： $\lambda^2 + \lambda - 2 = (\lambda + 2)(\lambda - 1) = 0 \implies \lambda_1 = 1,\ \lambda_2 = -2$ 故齊次解基底為 $e^t$ 與 $e^{-2t}$，齊次解為： $y_h(t) = c_1 e^t + c_2 e^{-2t}$

步驟二：求解第一區間 $0 < t \le 2\pi$

在此區間內，微分方程為： $y'' + y' - 2y = 3\sin t - \cos t$

1. 求特解 $y_{p1}(t)$： 設特解形式為 $y_{p1}(t) = A\cos t + B\sin t$。 微分得： $y_{p1}'(t) = -A\sin t + B\cos t$ $y_{p1}''(t) = -A\cos t - B\sin t$ 代入原方程式左式： $(y_{p1}'' + y_{p1}' - 2y_{p1}) = (-3A + B)\cos t + (-A - 3B)\sin t$ 比較右式係數：

故特解為： $y_{p1}(t) = -\sin t$

2. 代入初始條件求常數： 第一區間通解為： $y_1(t) = c_1 e^t + c_2 e^{-2t} - \sin t$ 其導數為： $y_1'(t) = c_1 e^t - 2c_2 e^{-2t} - \cos t$ 代入 $t = 0$ 之初值條件：

解聯立方程得 $c_1 = 1,\ c_2 = 0$。 因此，在 $0 < t \le 2\pi$ 之解為： $y_1(t) = e^t - \sin t$

3. 計算邊界 $t = 2\pi$ 處之狀態值： $y_1(2\pi) = e^{2\pi} - \sin(2\pi) = e^{2\pi}$ $y_1'(2\pi) = e^{2\pi} - \cos(2\pi) = e^{2\pi} - 1$

步驟三：求解第二區間 $t > 2\pi$

在此區間內，微分方程為： $y'' + y' - 2y = 3\sin 2t - \cos 2t$

1. 求特解 $y_{p2}(t)$： 設特解形式為 $y_{p2}(t) = C\cos 2t + D\sin 2t$。 微分得： $y_{p2}'(t) = -2C\sin 2t + 2D\cos 2t$ $y_{p2}''(t) = -4C\cos 2t - 4D\sin 2t$ 代入左式整理： $(y_{p2}'' + y_{p2}' - 2y_{p2}) = (-6C + 2D)\cos 2t + (-2C - 6D)\sin 2t$ 比較右式係數：

故特解為： $y_{p2}(t) = -\frac{1}{2}\sin 2t$

核心觀念

1. 反矩陣（Inverse Matrix）定義： 設 $A$ 為 $n \times n$ 階方陣，若存在同階方陣 $B$ 滿足 $AB = BA = I$（其中 $I$ 為單位矩陣），則稱 $A$ 為可逆矩陣（Invertible Matrix），且 $B$ 為 $A$ 的反矩陣，記作 $B = A^{-1}$。
2. 二階反矩陣公式： 設 $2 \times 2$ 矩陣 $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$，其行列式值為 $\det(A) = ad - bc$。 若 $\det(A) \neq 0$，則 $A$ 的反矩陣存在，且公式為： $A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \text{adj}(A) = \frac{1}{ad - bc} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$ 其中 $\text{adj}(A)$ 為 $A$ 的伴隨矩陣（Adjugate Matrix）。

解題方法

題目給定 $AB = I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$，此即反矩陣之標準定義，故所求矩陣 $B$ 即為 $A^{-1}$。

步驟一：計算矩陣 $A$ 之行列式值（Determinant） $\det(A) = \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{vmatrix} = (1)(4) - (2)(3) = 4 - 6 = -2$ 因 $\det(A) = -2 \neq 0$，確認矩陣 $A$ 非奇異（Nonsingular），反矩陣必存在。

步驟二：利用二階反矩陣公式求解 矩陣 $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$ 之伴隨矩陣為： $\text{adj}(A) = \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{bmatrix}$

將 $\det(A)$ 與伴隨矩陣代入公式：

核心觀念

本題考查向量微積分（Vector Calculus）中「空間參數曲線的弧長計算」以及微積分積分技巧：

1. 空間曲線之弧長公式： 若曲線 $C$ 在 $\mathbb{R}^3$ 空間中由向量參數式 $\mathbf{r}(t) = \langle x(t), y(t), z(t) \rangle$ 表示（$a \leq t \leq b$），且各分量函數皆具連續導數，則曲線之弧長 $L$ 定義為：

2. 指數函數的微分：

3. 無理函數代換積分技巧： 形如 $\int \frac{\sqrt{1+u^2}}{u} \, du$ 之積分，可藉由令根號項 $v = \sqrt{1+u^2}$ 或三角／雙曲代換轉換為有理分式積分。

解題方法

步驟一：計算切向量（速度向量）與其範數

已知曲線參數式為：

各分量對參數 $t$ 微分：

計算微分弧長元素 $ds$：

步驟二：建立弧長積分式並進行變數變換

曲線 $C$ 之弧長 $L$ 為：

令變數：

則微分量為：

當 $t = -4\pi$ 時，$u_1 = 3^{-4\pi} \ln 3$；當 $t = 4\pi$ 時，$u_2 = 3^{4\pi} \ln 3$。代入原積分式：

步驟三：求解不定積分 $\int \frac{\sqrt{1+u^2}}{u} \, du$

令 $v = \sqrt{1+u^2}$，兩邊平方得 $v^2 = 1+u^2$，對應微分為 $v \, dv = u \, du \implies du = \frac{v}{u} \, dv$。代入積分式：

將 $v = \sqrt{1+u^2}$ 代回，由於：

核心觀念

本題評量複變分析（Complex Analysis）中的核心定理——柯西積分公式（Cauchy's Integral Formula）及其高階導數推廣公式，亦可運用留數定理（Residue Theorem）與羅倫級數（Laurent Series）展開法求解。

1. 封閉曲線與奇異點之位置關係： 積分路徑 $C: |z|=1$ 為複數平面上以原點為中心、半徑為 $1$ 的逆時針單位圓。若被積函數的奇異點（Singularity）位於 $C$ 內部，則積分值由該奇異點之留數或柯西積分公式決定；若在外部，則積分值為 $0$。
2. 柯西高階導數積分公式： 設 $f(z)$ 在簡單封閉路徑 $C$ 及其內部為解析函數（Analytic），且 $z_0$ 位於 $C$ 內部，則：

3. 留數定理與級數展開：

其中 $\text{Res}(f, z_0)$ 即為 $f(z)$ 在 $z_0$ 展開之羅倫級數中 $\frac{1}{z-z_0}$ 項的係數 $b_1$。

解題方法

(一) 計算 $\oint_C \frac{(z+1)\sin z}{(2z-1)^2}\,dz$

1. 尋找奇異點並判定位置： 令分母 $(2z-1)^2 = 0$，得奇異點為 $z_0 = \frac{1}{2}$（二階極點，Pole of order 2）。 檢驗其模長：

該奇異點落在封閉曲線 $C: |z|=1$ 的內部。

2. 化為標準柯西積分型式： 將分母提出係數 $2^2 = 4$，改寫被積函數：

3. 套用柯西高階導數積分公式： 令解析函數 $f(z) = (z+1)\sin z$，$z_0 = \frac{1}{2}$，此處階數指標 $n+1 = 2 \implies n = 1$。 根據公式：

計算 $f(z)$ 的一階導數：

代入 $z = \frac{1}{2}$：

4. 計算最終積分值：

(二) 計算 $\oint_C \frac{\cos z}{z^7}\,dz$

本題之奇異點為 $z_0 = 0$，落在路徑內部，且為七階極點（Pole of order 7）。此處提供兩種正統解法：

核心觀念

本題評量機率論中「隨機變數的動差性質」、「共變異數與相關係數之關聯」以及「二次函數求極值」。解題核心公式如下：

1. 二階動差與變異數之關係： $Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2 \implies E[X^2] = Var(X) + (E[X])^2$
2. 共變異數與相關係數之關係： $Cov(X, Y) = \rho_{XY}\sigma_X\sigma_Y$ $Cov(X, Y) = E[XY] - E[X]E[Y] \implies E[XY] = Cov(X, Y) + E[X]E[Y]$
3. 期望值的線性性質（Linearity of Expectation）： $E[c_1 g_1(X, Y) + c_2 g_2(X, Y)] = c_1 E[g_1(X, Y)] + c_2 E[g_2(X, Y)]$
4. 一元二次函數的極值求法： 對於 $f(a) = A a^2 + B a + C$（其中 $A > 0$），當 $a = -\frac{B}{2A}$ 時，$f(a)$ 達到最小值。

解題方法

步驟一：求各項二階動差與交叉動差

已知 $E[X] = 0$、$\sigma_X^2 = 4$，得標準差 $\sigma_X = \sqrt{4} = 2$： $E[X^2] = Var(X) + (E[X])^2 = 4 + 0^2 = 4$

已知 $E[Y] = 0$、$\sigma_Y^2 = 16$，得標準差 $\sigma_Y = \sqrt{16} = 4$： $E[Y^2] = Var(Y) + (E[Y])^2 = 16 + 0^2 = 16$

已知相關係數 $\rho_{XY} = -0.25$，計算共變異數 $Cov(X, Y)$： $Cov(X, Y) = \rho_{XY}\sigma_X\sigma_Y = (-0.25) \times 2 \times 4 = -2$

由於 $E[X] = E[Y] = 0$，交叉乘積之期望值為： $E[XY] = Cov(X, Y) + E[X]E[Y] = -2 + 0 \times 0 = -2$

步驟二：展開 $W$ 並求期望值 $E[W]$

將隨機變數 $W$ 展開： $W = (aX + 3Y)^2 = a^2 X^2 + 6a XY + 9Y^2$

對 $W$ 取期望值，由期望值的線性性質得： $E[W] = E[a^2 X^2 + 6a XY + 9Y^2] = a^2 E[X^2] + 6a E[XY] + 9 E[Y^2]$

將步驟一求得之動差代入： $E[W] = a^2 (4) + 6a (-2) + 9 (16) = 4a^2 - 12a + 144$