111 專技高考高等考試 電機工程技師 工程數學（包括線性代數、微分方程、複變函數與機率） 考古題詳解

核心觀念

本題屬於「二階變係數齊次線性常微分方程式」（Second-Order Linear Homogeneous ODE with Variable Coefficients），評量重點為降階法（Reduction of Order）：

1. 二階線性微分方程式之標準型： $y'' + P(x)y' + Q(x)y = 0$ 其中領導項係數必須化為 $1$。
2. 降階法公式與原理： 已知二階線性齊次方程式的一個非零特解 $y_1(x)$，可設第二個線性獨立解為 $y_2(x) = u(x)y_1(x)$。經代入消去後可推得： $u'(x) = \frac{e^{-\int P(x)\,dx}}{[y_1(x)]^2} \implies y_2(x) = y_1(x)\int \frac{e^{-\int P(x)\,dx}}{[y_1(x)]^2}\,dx$
3. 通解結構： 若 $y_1(x)$ 與 $y_2(x)$ 線性獨立，則通解為 $y(x) = c_1 y_1(x) + c_2 y_2(x)$，其中 $c_1, c_2$ 為任意實數常數。

解題方法

步驟一：方程式標準化

原微分方程式為： $(x^2 - x)\frac{d^2y}{dx^2} - 2x\frac{dy}{dx} + 2y = 0$ 同除以領導係數 $(x^2 - x) = x(x - 1)$，化為標準型： $\frac{d^2y}{dx^2} - \frac{2x}{x(x - 1)}\frac{dy}{dx} + \frac{2}{x(x - 1)}y = 0$ 即： $\frac{d^2y}{dx^2} - \frac{2}{x - 1}\frac{dy}{dx} + \frac{2}{x(x - 1)}y = 0$ 比對標準型 $y'' + P(x)y' + Q(x)y = 0$，得： $P(x) = -\frac{2}{x - 1}$

步驟二：利用降階法求第二個線性獨立解 $y_2(x)$

計算積分因子分子項： $-\int P(x)\,dx = \int \frac{2}{x - 1}\,dx = 2\ln|x - 1| = \ln\left((x - 1)^2\right)$ 取指數函數： $e^{-\int P(x)\,dx} = e^{\ln\left((x - 1)^2\right)} = (x - 1)^2$

已知 $y_1(x) = x$，代入降階法之被積函數：

核心觀念

本題評量拉普拉斯轉換（Laplace Transform）與反轉換之性質運用。核心觀念包含：

1. 頻域微分性質（時域乘 $t$ 性質）： 若 $\mathcal{L}\{f(t)\} = F(s)$，則

等價的反轉換關係式為：

2. 基本反拉普拉斯轉換對：

3. 對數運算性質：

解題方法

本題之 $F(s)$ 含有自然對數函數 $\ln(\cdot)$，無法直接由拉氏轉換表查得反轉換，故應利用「頻域微分」將超越函數轉化為標準有理分式後再行求解。詳細推導步驟如下：

步驟一：拆解對數並對 $s$ 微分

將 $F(s)$ 依對數律展開：

對複數變數 $s$ 進行微分：

步驟二：利用頻域微分性質取反拉普拉斯轉換

根據頻域微分性質：

兩邊同取反拉普拉斯轉換：

利用線性性質與基本指數函數反轉換公式：

核心觀念

本題為複變函數論中典型的複數線積分問題，主要評量考生對奇異點（Singularity）位置判別與**柯西積分公式（Cauchy's Integral Formula）或留數定理（Residue Theorem）**之應用能力：

1. 積分路徑與奇異點位置判別： 封閉曲線 $C$ 為以原點為中心、半徑 $R = 2.5$ 的圓，方程式為 $|z| = 2.5$。 計算複數封閉路徑積分時，首先必須求出被積函數的所有奇異點（分母為零之點），並檢查該點是否落在積分路徑 $C$ 的內部：

• 落在路徑內部（$|z| < 2.5$）的奇異點，會對路徑積分產生貢獻。
• 落在路徑外部（$|z| > 2.5$）的奇異點，由柯西積分定理（Cauchy-Goursat Theorem）可知其對積分之貢獻為 $0$。

2. 柯西積分公式（Cauchy's Integral Formula）及其推廣： 若函數 $g(z)$ 在簡單封閉正向路徑 $C$ 及其內部皆解析（analytic），且 $z_0$ 為 $C$ 內部任一點，則：

• 一次奇點型式： $\oint_C \frac{g(z)}{z - z_0}\,dz = 2\pi i \cdot g(z_0)$
• 高階奇點型式（$n$ 階導數推廣）： $\oint_C \frac{g(z)}{(z - z_0)^{n+1}}\,dz = \frac{2\pi i}{n!} \cdot g^{(n)}(z_0)$

解題方法

奇異點之位置分析

兩小題被積函數之分母零點皆為 $z = 1$ 與 $z = -3$：

• 對於 $z = 1$：$|1| = 1 < 2.5$，位於封閉曲線 $C$ 內部。
• 對於 $z = -3$：$|-3| = 3 > 2.5$，位於封閉曲線 $C$ 外部。

(一) 計算 $\oint_C\frac{2z+1}{(z+3)(z-1)}\,dz$

步驟一：設定解析部分函數 由於 $z = -3$ 位於曲線 $C$ 之外，函數 $\frac{2z+1}{z+3}$ 在曲線 $C$ 上及其內部均為解析函數。 令： $g(z) = \frac{2z+1}{z+3}$ 則原積分可改寫為： $\oint_C \frac{2z+1}{(z+3)(z-1)}\,dz = \oint_C \frac{g(z)}{z-1}\,dz$

步驟二：套用柯西積分公式 奇異點 $z_0 = 1$ 位於 $C$ 內部，直接代入柯西積分公式： $\oint_C \frac{g(z)}{z-1}\,dz = 2\pi i \cdot g(1)$

計算 $g(1)$ 之值： $g(1) = \frac{2(1) + 1}{1 + 3} = \frac{3}{4}$

步驟三：求得積分值 $\oint_C \frac{2z+1}{(z+3)(z-1)}\,dz = 2\pi i \cdot \frac{3}{4} = \frac{3\pi i}{2}$

(二) 計算 $\oint_C\frac{2z+1}{(z+3)(z-1)^2}\,dz$

步驟一：設定解析部分函數並判定極點階數 奇異點 $z = 1$ 為被積函數之二階極點（pole of order 2），且位於 $C$ 內部。 同樣令在 $C$ 上及其內部解析的分子部分為： $g(z) = \frac{2z+1}{z+3}$ 原積分可改寫為： $\oint_C \frac{2z+1}{(z+3)(z-1)^2}\,dz = \oint_C \frac{g(z)}{(z-1)^2}\,dz$

步驟二：套用高階柯西積分公式 此處對應公式中 $n = 1$ 之情況：

核心觀念

1. 奇異值（Singular Values）的定義： 對於任意實數矩陣 $A \in \mathbb{R}^{m \times n}$，矩陣 $A^TA$ 必為半正定實對稱矩陣。其非負特徵值 $\mu_i \ge 0$ 的非負平方根，定義為矩陣 $A$ 的奇異值：

若 $A$ 為實對稱矩陣（$A = A^T$）且所有特徵值 $\lambda_i \ge 0$（正半定），則 $A^TA = A^2$，其奇異值即等於特徵值之絕對值，即 $\sigma_i = |\lambda_i| = \lambda_i$。

2. 二次型（Quadratic Form）極值與瑞利商定理（Rayleigh-Ritz Theorem）： 給定實對稱矩陣 $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$，在約束條件 $\|\boldsymbol{x}\|_2 = 1$（即 $\boldsymbol{x}^T\boldsymbol{x} = 1$）下，二次型 $\boldsymbol{x}^T A \boldsymbol{x}$ 的極值問題本質為瑞利商（Rayleigh Quotient）：

由譜定理（Spectral Theorem）可得：

故最大值為 $A$ 的最大特徵值 $\lambda_{\max}$，最小值為 $A$ 的最小特徵值 $\lambda_{\min}$。

解題方法

(一) 求矩陣 $A$ 的兩奇異值

方法一：由定義利用 $A^TA$ 計算

1. 計算矩陣乘積 $A^TA$： 由於 $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}$，則

2. 求 $A^TA$ 之特徵方程式 $\det(A^TA - \mu I) = 0$：

3. 解一元二次方程式得特徵值 $\mu$：

故 $\mu_1 = 6 + 4\sqrt{2}$，$\mu_2 = 6 - 4\sqrt{2}$。

4. 計算奇異值 $\sigma_i = \sqrt{\mu_i}$：

方法二：利用實對稱正定矩陣之性質（速解）

1. 矩陣 $A$ 滿足 $A = A^T$，故 $A$ 為實對稱矩陣。
2. 求 $A$ 本身的特徵方程式 $\det(A - \lambda I) = 0$：

解得特徵值：

由於 $\lambda_1 = 2+\sqrt{2} > 0$ 且 $\lambda_2 = 2-\sqrt{2} > 0$，$A$ 為對稱正定（Symmetric Positive Definite）矩陣。

核心觀念

本題評量向量微積分（Vector Calculus）的基本運算能力，涵蓋以下核心定義：

1. 散度（Divergence）： 設三維向量場 $\vec{F}(x,y,z) = F_1\vec{i} + F_2\vec{j} + F_3\vec{k}$，其散度為純量場，定義為： $\operatorname{div}\vec{F} = \nabla \cdot \vec{F} = \frac{\partial F_1}{\partial x} + \frac{\partial F_2}{\partial y} + \frac{\partial F_3}{\partial z}$
2. 旋度（Curl）： 三維向量場 $\vec{F}$ 的旋度為向量場，定義為行列式運算： $\operatorname{curl}\vec{F} = \nabla \times \vec{F} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ F_1 & F_2 & F_3 \end{vmatrix} = \left( \frac{\partial F_3}{\partial y} - \frac{\partial F_2}{\partial z} \right)\vec{i} + \left( \frac{\partial F_1}{\partial z} - \frac{\partial F_3}{\partial x} \right)\vec{j} + \left( \frac{\partial F_2}{\partial x} - \frac{\partial F_1}{\partial y} \right)\vec{k}$
3. 偏微分連鎖律：對合成函數（如 $\cos(xyz)$）求偏導時，須依鏈鎖法則對內部變數微分。

解題方法

給定向量函數： $F_1 = x^2 y^3 \sin z, \quad F_2 = x^2 y^2 z^2, \quad F_3 = 4\cos(xyz)$

1. 計算散度（$\nabla \cdot \vec{F}$）： 分別對各分量取對應座標之偏導函數：

• $\frac{\partial F_1}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\left(x^2 y^3 \sin z\right) = 2xy^3 \sin z$
• $\frac{\partial F_2}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\left(x^2 y^2 z^2\right) = 2x^2 y z^2$
• $\frac{\partial F_3}{\partial z} = \frac{\partial}{\partial z}\left[4\cos(xyz)\right] = 4\left[-\sin(xyz)\right]\cdot\frac{\partial (xyz)}{\partial z} = -4xy\sin(xyz)$

將三項相加，得散度： $\nabla \cdot \vec{F} = 2xy^3 \sin z + 2x^2 y z^2 - 4xy\sin(xyz)$

2. 計算旋度（$\nabla \times \vec{F}$）： 展開旋度行列式的三個向量分量：

• $\vec{i}$ 分量： $\frac{\partial F_3}{\partial y} - \frac{\partial F_2}{\partial z} = \frac{\partial}{\partial y}\left[4\cos(xyz)\right] - \frac{\partial}{\partial z}\left(x^2 y^2 z^2\right) = -4xz\sin(xyz) - 2x^2 y^2 z$
• $\vec{j}$ 分量： $\frac{\partial F_1}{\partial z} - \frac{\partial F_3}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial z}\left(x^2 y^3 \sin z\right) - \frac{\partial}{\partial x}\left[4\cos(xyz)\right] = x^2 y^3 \cos z - \left[-4yz\sin(xyz)\right] = x^2 y^3 \cos z + 4yz\sin(xyz)$
• $\vec{k}$ 分量： $\frac{\partial F_2}{\partial x} - \frac{\partial F_1}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial x}\left(x^2 y^2 z^2\right) - \frac{\partial}{\partial y}\left(x^2 y^3 \sin z\right) = 2xy^2 z^2 - 3x^2 y^2 \sin z$

得旋度： $\nabla \times \vec{F} = \left[-4xz\sin(xyz) - 2x^2 y^2 z\right]\vec{i} + \left[4yz\sin(xyz) + x^2 y^3 \cos z\right]\vec{j} + \left[2xy^2 z^2 - 3x^2 y^2 \sin z\right]\vec{k}$

解題技巧

1. 三角與多元連鎖律符號：$\frac{\partial}{\partial x}\cos(xyz) = -\sin(xyz)\cdot (yz)$，注意外層微分為負號，且內層對 $x$ 微分時剩下 $yz$。

核心觀念

本題評量連續型隨機變數（Continuous Random Variable）之機率密度函數（Probability Density Function, PDF）與其統計特徵數（動差，Moments）之計算能力，涵蓋下列核心定義與公式：

1. 期望值（Expected Value / Mean）： $E\{X\} = \int_{-\infty}^{\infty} x p(x)\,dx$
2. 變異數（Variance）： $\text{Var}(X) = E\{(X-E\{X\})^2\} = E\{X^2\} - (E\{X\})^2$
3. 高階動差（Higher Moments）： $E\{g(X)\} = \int_{-\infty}^{\infty} g(x) p(x)\,dx \implies E\{X^3\} = \int_{-\infty}^{\infty} x^3 p(x)\,dx$
4. 分段連續函數之積分性： 當機率密度函數在不同區間具有不同表達式時，積分必須按其支撐集（Support）進行區間分割計算。

解題方法

(一) 求平均值 $E\{X\}$

依據連續型隨機變數期望值定義，將全實數區間拆分為 $p(x) \neq 0$ 的非零區間 $[0, 1]$ 與 $[1, 2]$：

$E\{X\} = \int_{-\infty}^{\infty} x p(x)\,dx = \int_{0}^{1} x(x)\,dx + \int_{1}^{2} x(2-x)\,dx$

分段計算定積分：

1. 第一段積分： $\int_{0}^{1} x^2\,dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{1} = \frac{1}{3}$
2. 第二段積分： $\int_{1}^{2} (2x - x^2)\,dx = \left[ x^2 - \frac{x^3}{3} \right]_{1}^{2} = \left( 4 - \frac{8}{3} \right) - \left( 1 - \frac{1}{3} \right) = \frac{4}{3} - \frac{2}{3} = \frac{2}{3}$

兩區間合併： $E\{X\} = \frac{1}{3} + \frac{2}{3} = 1$

(二) 求變異值 $E\{(X-E\{X\})^2\}$

由第 (一) 小題已知 $E\{X\} = 1$。計算變異數通常採用標準動差公式 $\text{Var}(X) = E\{X^2\} - (E\{X\})^2$。

先求二次動差 $E\{X^2\}$： $E\{X^2\} = \int_{0}^{1} x^2(x)\,dx + \int_{1}^{2} x^2(2-x)\,dx = \int_{0}^{1} x^3\,dx + \int_{1}^{2} (2x^2 - x^3)\,dx$

分段計算定積分：

1. 第一段積分： $\int_{0}^{1} x^3\,dx = \left[ \frac{x^4}{4} \right]_{0}^{1} = \frac{1}{4}$
2. 第二段積分： $\int_{1}^{2} (2x^2 - x^3)\,dx = \left[ \frac{2x^3}{3} - \frac{x^4}{4} \right]_{1}^{2} = \left( \frac{16}{3} - 4 \right) - \left( \frac{2}{3} - \frac{1}{4} \right) = \frac{4}{3} - \frac{5}{12} = \frac{11}{12}$

兩區間合併求得 $E\{X^2\}$： $E\{X^2\} = \frac{1}{4} + \frac{11}{12} = \frac{3}{12} + \frac{11}{12} = \frac{14}{12} = \frac{7}{6}$