111 專技高考高等考試 電機工程技師 電路學 考古題詳解

111 年・專技高考・高等考試・電機工程技師
試題代碼 電路學

第 一 題25 分

設圖一所示電路於 t≤0t\leq 0 時已處於直流穩態，試求其於 t>0t>0 情況下之時域響應 v(t)v(t)、i(t)i(t)、ix(t)i_x(t) 與 iy(t)i_y(t)。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

圖一電路包含：12 V12\ \mathrm{V} 直流電壓源、2 Ω2\ \Omega 電阻、3 H3\ \mathrm{H} 電感、6 H6\ \mathrm{H} 電感及 2 Ω2\ \Omega 電阻。切換開關於 t=0t=0 時切換，電路中標示節點電壓為 v(t)v(t)，各支路電流依原圖標示為 i(t)i(t)、ix(t)i_x(t) 與 iy(t)i_y(t)。

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核心觀念

本題考查電感切換電路的自然響應，以及電感電流的連續性：

  • 直流穩態時，電感視為短路。
  • 電感電流不能瞬間改變，因此 iL(0+)=iL(0−)i_L(0^+)=i_L(0^-)。
  • 電感電壓與電流的關係為 vL=L diLdtv_L=L\,\dfrac{di_L}{dt}，符號依電壓、電流參考方向而定。

依圖一開關方向，t<0t<0 時 12 V 電源經 2 Ω2\,\Omega 電阻供應 3 H3\,\mathrm H 電感；t=0t=0 後電源支路與電感斷開，3 H3\,\mathrm H、6 H6\,\mathrm H 電感及 2 Ω2\,\Omega 電阻接在同一節點與地之間。

解題方法

1. 求切換前的電感電流

t≤0t\leq 0 為直流穩態，3 H3\,\mathrm H 電感視為短路，所以

ix(0−)=122=6 A,iy(0−)=0.i_x(0^-)=\frac{12}{2}=6\ \mathrm A, \qquad i_y(0^-)=0.

由電感電流連續性，

ix(0+)=6 A,iy(0+)=0.i_x(0^+)=6\ \mathrm A, \qquad i_y(0^+)=0.

2. 建立切換後的節點方程

令兩個電感的總電流為 q(t)=ix(t)+iy(t)q(t)=i_x(t)+i_y(t)。切換後由節點電流定律：

ix+iy+i=0,i=v2.i_x+i_y+i=0, \qquad i=\frac{v}{2}.

兩電感並聯，等效電感為

Leq=3∥6=3×63+6=2 H.L_{\mathrm{eq}}=3\parallel 6 =\frac{3\times 6}{3+6}=2\ \mathrm H.

因此

v=Leqdqdt=2dqdt.v=L_{\mathrm{eq}}\frac{dq}{dt} =2\frac{dq}{dt}.

代入節點方程 q+v2=0q+\dfrac{v}{2}=0：

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第 二 題25 分

試以相量法（phasor method）計算圖二所示電路中之交流穩態電壓 v1(t)v_1(t) 與 v2(t)v_2(t)。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

圖二電路元件與訊號如下：

左側電壓源為 5cos⁡2t V5\cos 2t\ \mathrm{V}，經由串聯電阻 12 Ω\frac{1}{2}\ \Omega 連接至節點 v1(t)v_1(t)。

節點 v1(t)v_1(t) 以電容 12 F\frac{1}{2}\ \mathrm{F} 接地。

節點 v1(t)v_1(t) 與 v2(t)v_2(t) 之間並聯一個電感 12 H\frac{1}{2}\ \mathrm{H} 及一個電容 1 F1\ \mathrm{F}。

節點 v2(t)v_2(t) 以電感 14 H\frac{1}{4}\ \mathrm{H}、電阻 1 Ω1\ \Omega 及向上之電流源接地；電流源為 5cos⁡2t A5\cos 2t\ \mathrm{A}。

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核心觀念

本題考查正弦穩態相量分析與節點電壓法。令角頻率 ω=2 rad/s\omega=2\ \mathrm{rad/s}，以峰值相量表示正弦訊號，則電容、電感的導納分別為

YC=jωC,YL=1jωL.Y_C=j\omega C,\qquad Y_L=\frac{1}{j\omega L}.

電壓源相量為 5∠0∘ V5\angle 0^\circ\ \mathrm{V}，向上電流源相量為 5∠0∘ A5\angle 0^\circ\ \mathrm{A}，表示電流注入 v2v_2 節點。

解題方法

先將各元件換成相量域導納：

  • v1v_1 對地的 12 F\frac12\ \mathrm{F} 電容：
YC1=j(2)(12)=j.Y_{C_1}=j(2)\left(\frac12\right)=j.
  • v1v_1 與 v2v_2 間的 12 H\frac12\ \mathrm{H} 電感及 1 F1\ \mathrm{F} 電容：
YL=1j(2)(1/2)=−j,YC=j(2)(1)=2j,Y_L=\frac{1}{j(2)(1/2)}=-j,\qquad Y_C=j(2)(1)=2j,

故兩者並聯總導納為 −j+2j=j-j+2j=j。

  • v2v_2 對地的 14 H\frac14\ \mathrm{H} 電感及 1 Ω1\ \Omega 電阻：
YL2=1j(2)(1/4)=−2j,YR=1.Y_{L_2}=\frac{1}{j(2)(1/4)}=-2j,\qquad Y_R=1.

對 v1v_1 節點套用 KCL。左側電壓源經過 12 Ω\frac12\ \Omega 電阻，電導為 2 S2\ \mathrm{S}：

2(V~1−5)+jV~1+j(V~1−V~2)=0,2(\tilde V_1-5)+j\tilde V_1+j(\tilde V_1-\tilde V_2)=0,

整理得

(2+2j)V~1−jV~2=10.(2+2j)\tilde V_1-j\tilde V_2=10.
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第 三 題25 分

如圖三所示包含一理想運算放大器之濾波器電路，請以拉普拉斯轉換（Laplace transform）與節點分析法（nodal analysis），試求該電路轉移函數

H(s)=Vout(s)Vin(s)H(s)=\frac{V_{out}(s)}{V_{in}(s)}

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

圖三電路包含：

Vin(s)V_{in}(s) 經由串聯電阻 1 Ω1\ \Omega 連接至節點 VaV_a。

節點 VaV_a 再經由串聯電阻 1 Ω1\ \Omega 連接至節點 VbV_b。

節點 VbV_b 以電容 12 F\frac{1}{\sqrt{2}}\ \mathrm{F} 接地，並連接至理想運算放大器之正相輸入端。

理想運算放大器之負相輸入端與輸出端相連，構成電壓追隨器。

節點 VaV_a 與輸出端 Vout(s)V_{out}(s) 之間以電容 2 F\sqrt{2}\ \mathrm{F} 連接。

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核心觀念

電容在拉普拉斯域中的導納為 sCsC。理想運算放大器接成電壓追隨器時，負回授使 Vout=VbV_{out}=V_b，且運算放大器輸入端電流為零。因此，電路可用 VaV_a、VbV_b 兩個節點的 KCL 方程求解。

解題方法

假設電容初始電壓為零，將各電容換成拉普拉斯域導納：

  • VbV_b 對地電容為 12 F\frac{1}{\sqrt{2}}\ \mathrm{F}，其導納為 s2\frac{s}{\sqrt{2}}。
  • VaV_a 與 VoutV_{out} 間電容為 2 F\sqrt{2}\ \mathrm{F}，其導納為 2s\sqrt{2}s。
  • 電阻皆為 1 Ω1\ \Omega，其導納皆為 1 S1\ \mathrm{S}。

由電壓追隨器關係，Vout=VbV_{out}=V_b。

在節點 VbV_b 寫 KCL：

Vb−Va1+s2Vb=0\frac{V_b-V_a}{1}+\frac{s}{\sqrt{2}}V_b=0

整理得：

Va=(1+s2)VbV_a=\left(1+\frac{s}{\sqrt{2}}\right)V_b

在節點 VaV_a 寫 KCL：

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第 四 題25 分

如圖四所示互感電路，試求該雙埠網路之阻抗參數（impedance parameters, z-parameters），並請以所得之阻抗參數，計算圖五電路中之 I1I_1、I2I_2、V1V_1 與 V2V_2。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

圖四之雙埠互感電路中，兩線圈之自阻抗分別為 j8 Ωj8\ \Omega 與 j9 Ωj9\ \Omega，互感阻抗為 j6 Ωj6\ \Omega。兩線圈之點標示均位於上端；I1I_1 與 I2I_2 均由雙埠網路上端流入，V1V_1 與 V2V_2 之正端均位於上端。

圖五電路之參數如下：

電壓源為

Vs=70∠0∘ VV_s=70\angle 0^\circ\ \mathrm{V}

左側串聯電阻為 R1=3 ΩR_1=3\ \Omega，右側負載電阻為 R2=2 ΩR_2=2\ \Omega；互感雙埠網路之參數同圖四，且端口電壓與電流方向依圖示定義。

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核心觀念

雙埠網路的阻抗參數定義為

[V1V2]=[z11z12z21z22][I1I2].\begin{bmatrix}V_1\\V_2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}z_{11}&z_{12}\\z_{21}&z_{22}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}I_1\\I_2\end{bmatrix}.

線圈的自阻抗分別為 j8 Ωj8\ \Omega、j9 Ωj9\ \Omega，互感阻抗為 j6 Ωj6\ \Omega。圖四中兩線圈的點標都在上端，且 I1I_1、I2I_2 都由上端流入，亦即兩電流都流入點標端，因此互感項取正號。

解題方法

依點標法則，雙埠方程式為

V1=j8I1+j6I2,V2=j6I1+j9I2.V_1=j8I_1+j6I_2, \qquad V_2=j6I_1+j9I_2.

因此阻抗參數為

Z=[j8j6j6j9] Ω.\boxed{ \mathbf Z= \begin{bmatrix} j8&j6\\ j6&j9 \end{bmatrix}\ \Omega }.

套用至圖五時，I2I_2 的箭頭指向雙埠網路，故它是流入網路的電流；負載電流方向則由上往下，與 I2I_2 相反。因此負載端關係為

V2=−R2I2=−2I2.V_2=-R_2I_2=-2I_2.

由雙埠的第二式，

j6I1+j9I2=−2I2⟹j6I1+(2+j9)I2=0.j6I_1+j9I_2=-2I_2 \quad\Longrightarrow\quad j6I_1+(2+j9)I_2=0.

左側回路依 KVL 得

Vs=R1I1+V1.V_s=R_1I_1+V_1.

代入 Vs=70∠0∘ VV_s=70\angle0^\circ\ \mathrm V、R1=3 ΩR_1=3\ \Omega，以及 V1=j8I1+j6I2V_1=j8I_1+j6I_2：

(3+j8)I1+j6I2=70.(3+j8)I_1+j6I_2=70.

聯立兩式：

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