109 年專技高考高等考試電機工程技師考古題與詳解

Question 1

在下圖電路中，於 $t<0$ 時，開關在導通狀態已有很長一段時間。若在 $t=0$ 的瞬間，開關由導通切換為不導通，試求在 $t>0$ 時，電流 $i_o(t)$ 為多少？

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

電路參數及配置如下：電壓源為 $24\ \mathrm{V}$ ，經 $4\ \Omega$ 電阻及開關後，連接至一節點。該節點分別經 $8\ \Omega$ 電阻接地，並經 $8\ \mathrm{H}$ 電感連接至另一節點；另一節點經 $8\ \Omega$ 電阻接地，電流 $i_o$ 方向向下流經該電阻。

Accepted Answer

核心觀念 本題考查電感的直流穩態、電感電流連續，以及 RL 自然響應： - 開關長時間導通時，電路達直流穩態，理想電感等效為短路。 - 電感電流不能瞬間改變，因此 $iL(0^+)=iL(0^-)$。 - 開關切開後，電感透過電阻放電，電流依照 RL 自然響應衰減： $$iL(t)=iL(0^+)e^{-t/	au},\qquad 	au=\frac{L}{R{\mathrm{eq}}}.$$ 解題方法 先求開關切換前的電感電流，再求切開後電感所見的等效電阻。 $t<0$ 時開關已導通很久，電感為短路，兩個 $8\,\Omega$ 電阻並聯： $$8\parallel 8=4\,\Omega.$$ 因此電源看到 $4\,\Omega+4\,\Omega=8\,\Omega$，電源電流為 $$I=\frac{24}{8}=3\,\mathrm{A}.$$ 兩個相同的 $8\,\Omega$ 支路平均分流，所以流經右側 $8\,\Omega$ 電阻的電流為 $1.5\,\mathrm{A}$，方向向下。這也是切換前由左向右流過電感的電流： $$iL(0^-)=1.5\,\mathrm{A}.$$ 由電感電流連續性， $$iL(0^+)=iL(0^-)=1.5\,\mathrm{A}.$$

Question 2

求下圖電路中運算放大器的輸出電壓 $vo(t)$。 輸入電壓為 $$ vi(t)=10\cos(2t+30^\circ)\ \mathrm{V}. $$ 🖼️【此處有附圖，請對照原卷】 電路配置如下：輸入電壓連接至運算放大器的非反相輸入端。反相輸入端與輸出端之間並聯一個 $0.5\ \mu\mathrm{F}$ 電容及一個 $10\ \mathrm{k}\Omega$ 電阻；反相輸入端另經 $2\ \mathrm{k}\Omega$ 電阻接地。

Accepted Answer

核心觀念 本題考理想運算放大器的非反相放大器，以及交流穩態下以複數阻抗求增益。理想運放在負回授下有 $v-=v+=vi$，其閉迴路增益為 $$ \frac{	ilde Vo}{	ilde Vi}=1+\frac{Zf}{Rg}, $$ 其中 $Zf$ 是輸出端與反相輸入端之間的回授阻抗，$Rg=2\,\mathrm{k}\Omega$。 解題方法 輸入角頻率為 $\omega=2\,\mathrm{rad/s}$。電容阻抗為 $$ ZC=\frac{1}{j\omega C} =\frac{1}{j(2)(0.5	imes10^{-6})} =-j1\,\mathrm{M}\Omega. $$ $10\,\mathrm{k}\Omega$ 電阻與電容並聯，因此 $$ Zf=10\,\mathrm{k}\Omega\parallel(-j1\,\mathrm{M}\Omega) =\frac{10\,\mathrm{k}\Omega}{1+j0.01}. $$ 代入非反相放大器增益： $$ \frac{	ilde Vo}{	ilde Vi} =1+\frac{10\,\mathrm{k}\Omega}{2\,\mathrm{k}\Omega(1+j0.01)} =1+\frac{5}{1+j0.01} =\frac{6+j0.01}{1+j0.01}. $$ 其幅值與相位為

Question 3

使用網目分析（mesh analysis）在下圖電路中找出電流 $io(t)$。 🖼️【此處有附圖，請對照原卷】 電路配置如下：左側電壓源為 $$ 20\cos(2t)\ \mathrm{V}, $$ 其上端經 $4\ \Omega$ 電阻連接至中央節點。中央節點經 $0.25\ \mathrm{F}$ 電容接地，電容電流 $io$ 方向向下。中央節點另經 $2\ \mathrm{H}$ 電感連接至右側電壓源上端。右側電壓源為 $$ 10\sin(2t)\ \mathrm{V}. $$ 兩個電壓源的正端均在上方，底端共接。

Accepted Answer

核心觀念 本題考查正弦穩態下的網目分析。先將電壓源與電路元件轉為相量及阻抗，再依網目電流方向列 KVL 方程式。電容電流由電容支路阻抗求得；因兩個網目電流在共用電容支路中的方向相反，向下的電容電流為 $I1-I2$。 解題方法 令左右網目電流皆為順時針方向，並採用峰值相量表示。角頻率 $\omega=2\ \mathrm{rad/s}$，兩電壓源的相量為 $$ \underline VL=20\angle 0^\circ=20,\qquad \underline VR=10\angle(-90^\circ)=-j10. $$ 其中右側電壓源使用 $10\sin(2t)=10\cos(2t-90^\circ)$ 轉換。電容與電感的阻抗為 $$ ZC=\frac{1}{j\omega C} =\frac{1}{j(2)(0.25)} =-j2\ \Omega, \qquad ZL=j\omega L=j(2)(2)=j4\ \Omega. $$ 依網目方向列式。左網目包含 $4\ \Omega$ 電阻與共用電容；右網目包含共用電容、電感及右側電壓源： $$ (4-j2)I1+j2I2=20, $$ $$ j2I1+j2I2=j10. $$

Question 4

在下圖電路中，開關在 $t=0$ 時閉合（導通），此時沒有能量存於電容中。

(一) 在 $t>0$ 時，以拉普拉斯（Laplace）轉換將電路轉換為 $s$ 域（ $s$ -domain）電路。

(二) 求出 $I_1(s)$ 、 $V_1(s)$ 與 $V_2(s)$ 。

(三) 求出 $i_1(t)$ 、 $v_1(t)$ 與 $v_2(t)$ 。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

電路配置如下： $20\ \mathrm{V}$ 直流電壓源經 $50\ \mathrm{k}\Omega$ 電阻及開關，連接至 $300\ \mathrm{nF}$ 電容。該電容下端連接至一節點；此節點分別經 $500\ \mathrm{nF}$ 電容及 $100\ \mathrm{nF}$ 電容接地。電流 $i_1$ 流經 $50\ \mathrm{k}\Omega$ 電阻，方向由左向右。

$v_1$ 為 $300\ \mathrm{nF}$ 電容兩端電壓，上端為正、下端為負； $v_2$ 為下方節點對地電壓，上端為正、下端為負。

Accepted Answer

核心觀念

本題考查電容的拉普拉斯轉換、串並聯等效，以及零初始條件下的一階暫態響應。

零初始電壓的電容在 $s$ 域可用阻抗

Z_C(s)=\frac{1}{sC}

表示。開關於 $t=0$ 閉合，相當於接入 $20\ \mathrm{V}$ 階躍電壓，因此 $s$ 域電壓源為 $20/s$ 。

解題方法與推導

（一）轉換為 $s$ 域電路

電阻仍為 $50\ \mathrm{k}\Omega$ 。三個電容的阻抗為

Z_{300}=\frac{1}{300\times10^{-9}s},\qquad Z_{500}=\frac{1}{500\times10^{-9}s},\qquad Z_{100}=\frac{1}{100\times10^{-9}s}.

$500\ \mathrm{nF}$ 與 $100\ \mathrm{nF}$ 並聯，等效電容為

C_p=500+100=600\ \mathrm{nF}.

所以 $s$ 域電路可視為 $20/s$ 電壓源、 $50\ \mathrm{k}\Omega$ 電阻、 $300\ \mathrm{nF}$ 電容阻抗與 $600\ \mathrm{nF}$ 電容阻抗串聯。

（二）求 $I_1(s)$ 、 $V_1(s)$ 與 $V_2(s)$

兩個串聯電容的等效電容為

C_{\mathrm{eq}} =\frac{300\times600}{300+600}\ \mathrm{nF} =200\ \mathrm{nF}.

因此

I_1(s) =\frac{20/s}{50\times10^3+\dfrac{1}{200\times10^{-9}s}} =\frac{0.0004}{s+100}\ \mathrm{A}.

$V_1(s)$ 是 $300\ \mathrm{nF}$ 電容兩端電壓， $V_2(s)$ 是 $600\ \mathrm{nF}$ 等效並聯電容兩端電壓：

V_1(s)=I_1(s)\frac{1}{300\times10^{-9}s} =\frac{1333.33}{s(s+100)}\ \mathrm{V},

Question 5

在下圖電路中： (一) 求轉移函數 $$ \frac{Vo(\omega)}{Vi(\omega)}. $$ (二) 判斷此電路為何種濾波器。 (三) 若電阻 $$ R1=R2=20\ \mathrm{k}\Omega $$ 且電感 $$ L=0.2\ \mathrm{H}, $$ 求出此濾波器的截止頻率（cutoff frequency）。 🖼️【此處有附圖，請對照原卷】 電路配置如下：輸入電壓 $vi(t)$ 經 $R1$ 串聯後，連接至一節點。該節點分別經電感 $L$ 及電阻 $R2$ 接地，兩者並聯。輸出電壓 $vo(t)$ 取自 $R2$ 兩端，上端為正、下端為負。

Accepted Answer

核心觀念 此電路是 $R1$ 串聯「電感 $L$ 與電阻 $R2$ 的並聯支路」，輸出電壓取在並聯支路兩端。以阻抗分壓求轉移函數，再由頻率極限判斷濾波器種類。 電感的頻域阻抗為 $ZL=j\omega L$。截止角頻率可由轉移函數的極點求得；截止頻率則為 $fc=\omegac/(2\pi)$。 解題方法 並聯支路的等效阻抗為 $$ Zp=ZL\parallel R2 =\frac{j\omega L R2}{R2+j\omega L}. $$ 由阻抗分壓，輸出電壓等於 $Zp$ 上的電壓，因此 $$ \frac{Vo(\omega)}{Vi(\omega)} =\frac{Zp}{R1+Zp} =\frac{j\omega L R2} {R1R2+j\omega L(R1+R2)}. $$ 整理成標準形式： $$ \frac{Vo(\omega)}{Vi(\omega)} = \frac{R2}{R1+R2} \cdot \frac{j\omega}{j\omega+\omegac}, \qquad \omegac=\frac{R1R2}{L(R1+R2)}. $$ 濾波器種類與截止頻率 當 $\omega=0$ 時，電感視為短路，輸出端被短路至地，故 $Vo/Vi=0$。當 $\omega	o\infty$ 時，電感阻抗增大，電感支路近似開路，輸出趨近電阻分壓值 $R2/(R1+R2)$。因此此電路為一階高通濾波器。

Question 6

請求出如下圖所示二埠網路電路之 $a$ 參數的 $s$ 域（$s$-domain）表達式。 🖼️【此處有附圖，請對照原卷】 電路配置如下：輸入端上方端點經 $2\ \mathrm{F}$ 電容連接至中央節點；中央節點經 $8\ \Omega$ 電阻接地；中央節點再經 $2\ \mathrm{H}$ 電感連接至輸出端上方端點。輸入端及輸出端下方端點共接並接地。 輸入電流 $i1$ 方向由左向右，輸出端電流 $i2$ 方向由右向左，兩者皆流入二埠網路。輸入端電壓為 $v1$，輸出端電壓為 $v2$，兩者上端為正、下端為負。

Accepted Answer

核心觀念

本題考二埠網路的 $a$ 參數，也稱傳輸參數。採用兩埠電流皆流入網路的慣例，定義為

\begin{bmatrix}V_1(s)\\ I_1(s)\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}a_{11}(s)&a_{12}(s)\\a_{21}(s)&a_{22}(s)\end{bmatrix} \begin{bmatrix}V_2(s)\\-I_2(s)\end{bmatrix}.

在零初始條件下，電容與電感的 $s$ 域阻抗分別為

Z_C(s)=\frac{1}{sC}, \qquad Z_L(s)=sL.

解題方法

由左至右，此電路依序為串聯電容、並聯電阻、串聯電感。其 $s$ 域阻抗與導納為

Z_C=\frac{1}{2s},\qquad Y_R=\frac{1}{8},\qquad Z_L=2s.

串聯阻抗、並聯導納的傳輸矩陣分別為

\begin{bmatrix}1&Z\\0&1\end{bmatrix}, \qquad \begin{bmatrix}1&0\\Y&1\end{bmatrix}.

因此整體傳輸矩陣為

Question 7

如下面所示理想變壓器電路中，請求出 $V1$ 和 $V2$。 🖼️【此處有附圖，請對照原卷】 電路配置如下：理想變壓器匝數比為 $1:4$，一次側並聯一個 $16\angle 0^\circ\ \mathrm{A}$ 電流源及一個 $10\ \Omega$ 電阻；二次側並聯一個 $8\angle 0^\circ\ \mathrm{A}$ 電流源及一個 $12\ \Omega$ 電阻。 兩側電流源箭頭均由下向上。$V1$ 與 $V2$ 的正端均在變壓器線圈上端，負端均在下端；兩側變壓器線圈的點標記均位於上端。

Accepted Answer

核心觀念

理想變壓器兩側的電壓與匝數成正比。兩側點標記都在上端，因此以線圈上端為電壓正端時：

\frac{V_1}{N_1}=\frac{V_2}{N_2}, \qquad V_2=4V_1

若 $i_1$ 、 $i_2$ 分別定義為流入兩側點端的電流，理想變壓器的安匝平衡為：

N_1i_1+N_2i_2=0

解題方法

在兩側上端節點分別套用 KCL。電流源箭頭向上，代表電流注入上端節點；電阻電流與流入點端的線圈電流則由上往下。因此：

i_1=16-\frac{V_1}{10}

i_2=8-\frac{V_2}{12}

代入安匝平衡，並使用 $N_1:N_2=1:4$ ：

i_1+4i_2=0

再代入 $V_2=4V_1$ ：

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第一題15 分

第二題15 分

第三題15 分

第四題15 分

核心觀念

解題方法與推導

第五題15 分

核心觀念

解題方法

濾波器種類與截止頻率

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核心觀念

解題方法

第七題10 分

核心觀念

解題方法

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