109 專技高考高等考試 電機工程技師 工程數學（包括線性代數、微分方程、複變函數與機率） 考古題詳解

核心觀念

本題考查二階常係數非齊次線性常微分方程式（Second-Order Non-homogeneous Linear ODE with Constant Coefficients）的求解。

對於形如 $y'' + py' + qy = R(x)$ 的方程式，其通解 $y(x)$ 由兩部分疊加而成： $y(x) = y_h(x) + y_p(x)$

1. 齊次解（Homogeneous Solution, $y_h$）： 對應齊次方程式 $y'' - 10y' + 25y = 0$。透過建立特徵方程式 $\lambda^2 - 10\lambda + 25 = 0$ 求解特徵根。若遇二重實根 $\lambda_1 = \lambda_2 = \lambda$，依基底獨立性原理，其齊次解形式為： $y_h(x) = (c_1 + c_2 x)e^{\lambda x} \quad (c_1, c_2 \text{ 為任意常數})$

2. 特解（Particular Solution, $y_p$）： 針對非齊次項 $R(x) = 75x + 20$（一次多項式），可採用未定係數法（Method of Undetermined Coefficients）或逆微分算子法（Inverse Differential Operator Method）求出一組滿足原式的特定解。

解題方法

步驟一：求齊次解 $y_h(x)$

考慮對應的齊次微分方程式： $\frac{d^2y}{dx^2} - 10\frac{dy}{dx} + 25y = 0$

令 $y = e^{\lambda x}$，代入可得特徵方程式（Characteristic Equation）： $\lambda^2 - 10\lambda + 25 = 0$ 因式分解得： $(\lambda - 5)^2 = 0 \implies \lambda = 5 \text{（二重根）}$

由重根之通解通則，齊次解為： $y_h(x) = c_1 e^{5x} + c_2 x e^{5x} = (c_1 + c_2 x)e^{5x}$ 其中 $c_1, c_2$ 為任意實數常數。

步驟二：求特解 $y_p(x)$

方程式右側為一次多項式 $R(x) = 75x + 20$。 由於齊次解的基底為 $e^{5x}$ 與 $x e^{5x}$，與一次多項式無線性相依（無共振現象），故可直接假設特解形式為一般一次多項式： $y_p(x) = Ax + B$

對 $x$ 連續微分： $y_p'(x) = A$ $y_p''(x) = 0$

核心觀念

本題評量**多變數微積分中雙重積分（Double Integral）的計算與「交換積分次序（Change of Order of Integration）」**之技巧，涉及以下核心觀念與定理：

1. 富比尼定理（Fubini's Theorem）： 若連續函數 $f(x, y)$ 在平面封閉有界區域 $R$ 上可積，則二重積分可轉化為逐次積分（Iterated Integral）。積分順序可依區域幾何特性與被積函數形式自由選擇。
2. 非初等反導函數之化簡原理： 函數 $e^{y^2}$ 對 $y$ 之不定積分 $\int e^{y^2}\,dy$ 無法以初等函數（Elementary Functions）表示。若直接對 $y$ 積分將窒礙難行，必須透過交換積分次序，先對 $x$ 積分產生 $x$ 的多項式，進而為外層對 $y$ 的積分提供代換微元（如 $y\,dy = \frac{1}{2}d(y^2)$）。
3. 區域劃分型態：

• 第 I 型區域（$y$-simple）：固定 $x$ 的範圍，垂直切片，先對 $y$ 積分。
• 第 II 型區域（$x$-simple）：固定 $y$ 的範圍，水平切片，先對 $x$ 積分。

解題方法

步驟一：確定積分區域 $R$ 之邊界與交點

積分區域 $R$ 位於第一象限（$x \ge 0, y \ge 0$），其邊界方程式為：

• 下/右邊界：拋物線 $y = x^2$
• 上邊界：水平線 $y = 4$
• 左邊界：垂直線 $x = 0$（$y$ 軸）

求出各交點坐標：

• $x = 0$ 與 $y = x^2$ 交於 $(0, 0)$
• $x = 0$ 與 $y = 4$ 交於 $(0, 4)$
• $y = x^2$ 與 $y = 4$ 在第一象限交於 $(2, 4)$

步驟二：評估並變更積分次序

若將 $R$ 視為第 I 型區域： $0 \le x \le 2, \quad x^2 \le y \le 4$ 積分式為： $\int_{0}^{2} \left( \int_{x^2}^{4} x e^{y^2}\,dy \right) dx$ 由於 $\int e^{y^2}\,dy$ 不具初等反導函數，此路徑無法直接求解。

故將 $R$ 改以第 II 型區域（水平切片）表示：

• 外層變數 $y$ 的取值範圍由下至上為：$0 \le y \le 4$
• 內層變數 $x$ 沿水平方向由左邊界 $x = 0$ 延伸至右邊界拋物線。由 $y = x^2$ 且 $x \ge 0$ 可解得 $x = \sqrt{y}$，因此： $0 \le x \le \sqrt{y}$

步驟三：改寫並執行逐次積分

改寫雙重積分式為： $\iint_R xe^{y^2}\,dA = \int_{0}^{4} \left( \int_{0}^{\sqrt{y}} x e^{y^2}\,dx \right) dy$

核心觀念

1. 二維連續型隨機變數的事件機率： 若隨機變數 $(X, Y)$ 具有聯合機率密度函數（Joint Probability Density Function, Joint PDF）$f_{X,Y}(x,y)$，則事件 $A$ 發生的機率定義為在該事件區域上的二重積分： $P[(X,Y) \in A] = \iint_{A} f_{X,Y}(x,y) \,dx\,dy$
2. 二維均勻分配（2D Uniform Distribution）與幾何機率： 本題之聯合機率密度函數在支撐集（Support）$R = [0, 5] \times [0, 3]$ 內為常數值 $\dfrac{1}{15}$，且矩形 $R$ 的面積為 $5 \times 3 = 15$。由於密度在定義域內均勻分佈，此問題亦可完全等價轉化為「幾何機率」求解： $P[A] = \frac{\text{區域 } A \text{ 的面積}}{\text{總支撐集 } R \text{ 的面積}}$
3. 二重積分的切片方向與區域切割： 在積分區域不規則或被對角線截斷時，適當選擇積分順序（先積 $x$ 或先積 $y$），能避免將積分區間分割為兩塊，大幅簡化計算。

解題方法

方法一：微積分重積分法（標準規範作法）

欲求機率 $P[X > Y]$，即求在區域 $D = \{(x,y) \mid 0 \leq x \leq 5,\ 0 \leq y \leq 3,\ x > y\}$ 上的重積分： $P[X > Y] = \iint_{D} f_{X,Y}(x,y) \,dA = \iint_{D} \frac{1}{15} \,dx\,dy$

觀察區域 $D$：

• $y$ 的取值範圍為 $0 \leq y \leq 3$。
• 對於任意固定的 $y$，因要求 $x > y$ 且 $x \leq 5$，故 $x$ 的範圍為 $y \leq x \leq 5$。

先對 $x$ 積分，再對 $y$ 積分：

核心觀念

1. 三角傅立葉級數定義： 週期為 $T = 2L = 2\pi$（半週期 $L = \pi$）之可積函數 $f(x)$，其三角傅立葉級數表示式為： $f(x) = a_0 + \sum_{n=1}^\infty \left[ a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx) \right]$ （亦有部分教材定義常數項為 $\frac{a_0}{2}$，兩者實質數值相等） 其係數公式分別為： $a_0 = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x)\, dx$ $a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x) \cos(nx)\, dx \quad (n \ge 1)$ $b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x) \sin(nx)\, dx \quad (n \ge 1)$

2. 對稱性（奇偶函數性質）簡化：

• 若 $f(x)$ 為偶函數（$f(-x) = f(x)$），則 $b_n = 0$，級數僅含直流項與餘弦項（傅立葉餘弦級數）。
• 若 $f(x)$ 為奇函數（$f(-x) = -f(x)$），則 $a_0 = 0$ 且 $a_n = 0$，級數僅含正弦項（傅立葉正弦級數），此時： $b_n = \frac{2}{\pi} \int_0^\pi f(x) \sin(nx)\, dx$

3. 分部積分法（Integration by Parts）： 計算 $x \sin(nx)$ 之定積分必備公式：$\int u\, dv = uv - \int v\, du$。

解題方法

步驟一：判斷函數奇偶性

給定區間 $-\pi < x < \pi$ 內 $f(x) = \frac{x}{\pi}$： $f(-x) = \frac{-x}{\pi} = -\frac{x}{\pi} = -f(x)$ 此函數在對稱區間 $(-\pi, \pi)$ 上為奇函數（Odd Function）。

因此無須個別積分即可判定： $a_0 = 0$ $a_n = 0 \quad (n = 1, 2, 3, \dots)$

步驟二：計算傅立葉正弦係數 $b_n$

利用奇函數在半區間積分乘 2 的化簡公式： $b_n = \frac{2}{\pi} \int_0^\pi \left( \frac{x}{\pi} \right) \sin(nx)\, dx = \frac{2}{\pi^2} \int_0^\pi x \sin(nx)\, dx$

採用分部積分法，令：

• $u = x \implies du = dx$
• $dv = \sin(nx)\, dx \implies v = -\frac{\cos(nx)}{n}$

代入推導： $\int_0^\pi x \sin(nx)\, dx = \left[ -\frac{x \cos(nx)}{n} \right]_0^\pi - \int_0^\pi \left( -\frac{\cos(nx)}{n} \right) dx$ $= \left( -\frac{\pi \cos(n\pi)}{n} - 0 \right) + \frac{1}{n} \left[ \frac{\sin(nx)}{n} \right]_0^\pi$

已知 $\sin(n\pi) = 0$、$\sin(0) = 0$ 且 $\cos(n\pi) = (-1)^n$： $\int_0^\pi x \sin(nx)\, dx = -\frac{\pi (-1)^n}{n} + 0 = \frac{\pi (-1)^{n+1}}{n}$

將積分結果代回 $b_n$： $b_n = \frac{2}{\pi^2} \cdot \left[ \frac{\pi (-1)^{n+1}}{n} \right] = \frac{2(-1)^{n+1}}{n\pi}$

步驟三：寫出完整的三角傅立葉級數

將 $a_0 = 0$、$a_n = 0$ 與 $b_n$ 代回定義式：

核心觀念

本題評量線性代數中反矩陣（Inverse Matrix）之求解。

1. 反矩陣定義與存在條件： 對於 $n \times n$ 方陣 $A$，若存在方陣 $B$ 使得 $A B = B A = I$（$I$ 為單位矩陣），則稱 $B$ 為 $A$ 之反矩陣，記為 $A^{-1}$。 反矩陣存在的充要條件為其行列式值不為零，即 $\det(A) \neq 0$（非奇異矩陣，Non-singular Matrix）。
2. 伴隨矩陣法公式： $A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \text{adj}(A) = \frac{1}{\det(A)} C^T$ 其中：

• $C_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}$ 為元素 $a_{ij}$ 對應的餘因數（Cofactor），$M_{ij}$ 為劃去第 $i$ 列與第 $j$ 行後所剩子矩陣的子行列式（Minor）。
• $\text{adj}(A) = C^T$ 為伴隨矩陣（Adjugate Matrix），即餘因數矩陣 $C$ 的轉置矩陣。

解題方法

求 $3 \times 3$ 矩陣之反矩陣，最穩健不易出錯的解法為伴隨矩陣法。解題流程分為三步驟：

步驟一：計算矩陣 $A$ 之行列式 $\det(A)$

利用第一列降階展開（Cofactor Expansion）： $\det(A) = \begin{vmatrix} -7 & 2 & 3 \\ -13 & -2 & 7 \\ 8 & 2 & -2 \end{vmatrix}$

$= -7 \cdot \begin{vmatrix} -2 & 7 \\ 2 & -2 \end{vmatrix} - 2 \cdot \begin{vmatrix} -13 & 7 \\ 8 & -2 \end{vmatrix} + 3 \cdot \begin{vmatrix} -13 & -2 \\ 8 & 2 \end{vmatrix}$

各二階子行列式計算如下：

• $\begin{vmatrix} -2 & 7 \\ 2 & -2 \end{vmatrix} = (-2)(-2) - (7)(2) = 4 - 14 = -10$
• $\begin{vmatrix} -13 & 7 \\ 8 & -2 \end{vmatrix} = (-13)(-2) - (7)(8) = 26 - 56 = -30$
• $\begin{vmatrix} -13 & -2 \\ 8 & 2 \end{vmatrix} = (-13)(2) - (-2)(8) = -26 + 16 = -10$

代入得： $\det(A) = -7(-10) - 2(-30) + 3(-10) = 70 + 60 - 30 = 100$ 因為 $\det(A) = 100 \neq 0$，$A^{-1}$ 存在。

步驟二：計算各元素之餘因數 $C_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}$

• 第 1 列元素的餘因數： $C_{11} = (-1)^{1+1} \begin{vmatrix} -2 & 7 \\ 2 & -2 \end{vmatrix} = +(4 - 14) = -10$ $C_{12} = (-1)^{1+2} \begin{vmatrix} -13 & 7 \\ 8 & -2 \end{vmatrix} = -(26 - 56) = 30$ $C_{13} = (-1)^{1+3} \begin{vmatrix} -13 & -2 \\ 8 & 2 \end{vmatrix} = +(-26 + 16) = -10$

• 第 2 列元素的餘因數： $C_{21} = (-1)^{2+1} \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 2 & -2 \end{vmatrix} = -(-4 - 6) = 10$ $C_{22} = (-1)^{2+2} \begin{vmatrix} -7 & 3 \\ 8 & -2 \end{vmatrix} = +(14 - 24) = -10$ $C_{23} = (-1)^{2+3} \begin{vmatrix} -7 & 2 \\ 8 & 2 \end{vmatrix} = -(-14 - 16) = 30$

• 第 3 列元素的餘因數： $C_{31} = (-1)^{3+1} \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ -2 & 7 \end{vmatrix} = +(14 - (-6)) = 20$