113 年專技高考高等考試電機工程技師考古題與詳解

Question 1

試求常微分方程式 $$y''-4y'+5y=e^{2x}\csc x$$ 之通解。

Accepted Answer

核心觀念 本題考查二階常係數非齊次線性微分方程的變參數法。右端含有 $e^{2x}\csc x$，可先利用齊次解中的 $e^{2x}$ 因子作代換，將方程降為一階可積分形式。 解題方法 先解齊次方程 $$ y''-4y'+5y=0. $$ 特徵方程為 $$ r^2-4r+5=0, $$ 故根為 $r=2\pm i$，齊次解為 $$ yh=e^{2x}\bigl(C1\cos x+C2\sin x\bigr). $$ 令 $$ y=e^{2x}u. $$ 則 $$ y'=e^{2x}(u'+2u),\qquad y''=e^{2x}(u''+4u'+4u). $$ 代回原方程後，左側化簡為 $$ y''-4y'+5y=e^{2x}(u''+u). $$ 因此 $u$ 滿足 $$ u''+u=\csc x. $$ 此方程的齊次解為 $\cos x,\sin x$。用變參數法，取基本解 $y1=\cos x,\ y2=\sin x$，其 Wronskian 為 $$ W=y1y2'-y1'y2=\cos^2x+\sin^2x=1. $$ 非齊次特解可寫成 $$ up=-y1\int\frac{y2g}{W}\,dx +y2\int\frac{y1g}{W}\,dx, \qquad g(x)=\csc x. $$ 所以

Question 2

試求一時間函數 $$f(t)=\frac{1}{2\beta^3}\left(\sin\beta t-\beta t\cos\beta tight),\quad t\geq 0,\ \beta
eq 0$$ 之拉普拉斯轉換（Laplace Transform）$F(s)$。

Accepted Answer

核心觀念 本題考查拉普拉斯轉換的線性性，以及 $$ \mathcal{L}\{\sin\beta t\}=\frac{\beta}{s^2+\beta^2},\qquad \mathcal{L}\{\cos\beta t\}=\frac{s}{s^2+\beta^2}. $$ 另用到乘以 $t$ 的性質： $$ \mathcal{L}\{t\,g(t)\}=-\frac{d}{ds}G(s), \qquad G(s)=\mathcal{L}\{g(t)\}. $$ 解題方法 將原函數拆成兩項： $$ f(t)=\frac{1}{2\beta^3}\sin\beta t -\frac{1}{2\beta^2}t\cos\beta t. $$ 先計算各項的拉普拉斯轉換。第一項為 $$ \mathcal{L}\{\sin\beta t\} =\frac{\beta}{s^2+\beta^2}. $$ 對第二項，令 $$ G(s)=\mathcal{L}\{\cos\beta t\} =\frac{s}{s^2+\beta^2}. $$ 因此 $$ \mathcal{L}\{t\cos\beta t\} =-\frac{d}{ds}\left(\frac{s}{s^2+\beta^2}\right) =-\frac{\beta^2-s^2}{(s^2+\beta^2)^2} =\frac{s^2-\beta^2}{(s^2+\beta^2)^2}. $$

Question 3

試以剩值定理（Residue Theorem）求 $$\int{-\infty}^{\infty}\frac{\sqrt{2}}{1+16x^4}\,dx$$ 之值。

Accepted Answer

核心觀念 利用剩值定理計算實軸上的廣義積分。對有理函數 $$f(z)=\frac{\sqrt{2}}{1+16z^4}$$ 取上半平面的半圓閉合路徑。若半圓弧上的積分在半徑趨於無窮時趨近於 $0$，則 $$ \int{-\infty}^{\infty}f(x)\,dx =2\pi i\sum{\operatorname{Im}zk0}\operatorname{Res}(f;zk), $$ 其中 $zk$ 為上半平面的極點。 解題方法 先求極點： $$ 1+16z^4=0 \quad\Longleftrightarrow\quad z^4=-\frac{1}{16} =\frac{1}{16}e^{i(\pi+2k\pi)}. $$ 四個根的模長為 $\frac12$，幅角為 $\frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2}$。位於上半平面的兩根為 $$ z1=\frac{1+i}{2\sqrt{2}},\qquad z2=\frac{-1+i}{2\sqrt{2}}. $$ 令半徑為 $R$ 的上半圓弧為 $CR$。當 $R$ 充分大時， $$ \left|\int{CR}f(z)\,dz\right| \leq \pi R\frac{\sqrt{2}}{16R^4-1} \longrightarrow 0, $$ 故沿實軸的廣義積分等於上半平面兩個極點的留數總和乘以 $2\pi i$。

Question 4

一矩陣 $$A=\begin{bmatrix}0&1\-5&-6\end{bmatrix}$$ 其轉置矩陣 $$A^T=\begin{bmatrix}0&-5\1&-6\end{bmatrix}$$。 （一）試求另一 $2	imes 2$ 對稱矩陣 $P$，滿足下列矩陣方程式： $$PA+A^TP=-\begin{bmatrix}1&0\0&1\end{bmatrix}。$$ （10 分） （二）試求該對稱矩陣 $P$ 的兩特徵值。（5 分）

Accepted Answer

核心觀念 本題考的是連續時間 Lyapunov 方程 $$PA+A^TP=-I,$$ 其中 $A$ 已知，要求對稱矩陣 $P$。令 $$P=\begin{bmatrix}p&q\q&r\end{bmatrix},$$ 將 $P$ 代入方程，逐項比較矩陣元素即可求得 $p,q,r$。求得 $P$ 後，再由特徵方程 $\det(P-\lambda I)=0$ 求其特徵值。 解題方法 先計算 $$ PA= \begin{bmatrix}p&q\q&r\end{bmatrix} \begin{bmatrix}0&1\-5&-6\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -5q&p-6q\ -5r&q-6r \end{bmatrix}, $$ 以及 $$ A^TP= \begin{bmatrix}0&-5\1&-6\end{bmatrix} \begin{bmatrix}p&q\q&r\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -5q&-5r\ p-6q&q-6r \end{bmatrix}. $$ 因此 $$ PA+A^TP= \begin{bmatrix} -10q&p-6q-5r\ p-6q-5r&2q-12r \end{bmatrix}. $$ 令此矩陣等於 $-I$，比較對角與非對角元素： $$ -10q=-1,\qquad p-6q-5r=0,\qquad 2q-12r=-1. $$ 依序解得 $$ q=\frac{1}{10},\qquad \frac{1}{5}-12r=-1 \ \Longrightarrow\ r=\frac{1}{10}, $$ 且 $$ p=6q+5r=\frac{6}{10}+\frac{5}{10}=\frac{11}{10}. $$ 故

Question 5

（一）一曲線 $C$，其表示式為 $$r(t)=[3t,4t^2,8t^4]，$$ $t$ 為參數，試求其切線向量與單位切線向量。（10 分） （二）試求一向量函數 $$F=7x\mathbf{i}+3y\mathbf{j}-z\mathbf{k}$$ 之面積分 $$\iintS F\cdot\mathbf{n}\,dA，$$ 其中 $\mathbf{n}$ 為 $dA$ 指向外的法線方向單位向量，且此有界封閉曲面的表示式為 $$S:x^2+y^2+z^2=9。$$ （10 分）

Accepted Answer

核心觀念 （一）參數曲線的切線向量為位置向量對參數的導數： $$\mathbf{r}'(t)=\frac{d\mathbf{r}}{dt}。$$ 只要 $\mathbf{r}'(t)
e\mathbf{0}$，單位切線向量就是將切線向量除以其長度： $$\mathbf{T}(t)=\frac{\mathbf{r}'(t)}{\|\mathbf{r}'(t)\|}。$$ （二）封閉曲面的向外通量，可用散度定理將曲面積分轉換為體積分： $$ \iintS\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dA =\iiintV
abla\cdot\mathbf{F}\,dV。 $$ 本題 $S$ 是半徑 $3$ 的球面，$V$ 為其所包圍的球體。 解題方法 （一）切線向量與單位切線向量 將 $$\mathbf{r}(t)=\langle 3t,4t^2,8t^4angle$$ 逐分量對 $t$ 微分： $$ \mathbf{r}'(t) =\left\langle \frac{d(3t)}{dt},\frac{d(4t^2)}{dt},\frac{d(8t^4)}{dt}ightangle =\langle 3,8t,32t^3angle。 $$ 因此，曲線在參數 $t$ 處的切線向量為 $$\boxed{\mathbf{r}'(t)=\langle 3,8t,32t^3angle}。$$ 計算其長度： $$ \|\mathbf{r}'(t)\| =\sqrt{3^2+(8t)^2+(32t^3)^2} =\sqrt{9+64t^2+1024t^6}。 $$ 因為第一分量為 $3$，切線向量對任何 $t$ 都不為零，故單位切線向量存在，且為 $$ \boxed{ \mathbf{T}(t) =\frac{\langle 3,8t,32t^3angle} {\sqrt{9+64t^2+1024t^6}} }。 $$ （二）球面的向外通量

Question 6

$X$ 與 $Y$ 為兩隨機變數（Random variables），其聯合機率密度函數（Joint probability density function）為

p(x,y)= \begin{cases} ke^{-\frac{xy}{2}}, & 0\leq x<\infty,\ 0\leq y<\infty;\\ 0, & \text{其他區域。} \end{cases}

（一）試求 $k$ 值。（5 分）

（二）試求其邊際平均值（Marginal Mean）， $E\{Y\}$ 。（5 分）

（三）試求其期望值（Expected value）， $E\{X^3Y^2\}$ 。（5 分）

Accepted Answer

核心觀念

本題考聯合機率密度函數的正規化、邊際平均值與二變數函數的期望值。對支撐區域 $x,y\geq 0$ 的聯合機率密度函數，必須滿足

\int_0^\infty\int_0^\infty p(x,y)\,dy\,dx=1.

此外，對適當函數 $g(X,Y)$ ，

E[g(X,Y)] =\int_0^\infty\int_0^\infty g(x,y)p(x,y)\,dy\,dx.

計算時會用到伽瑪積分公式

\int_0^\infty t^n e^{-at}\,dt =\frac{n!}{a^{n+1}},\qquad a>0,\ n>-1.

（一）求 $k$

由正規化條件，

1=k\int_0^\infty\int_0^\infty e^{-xy/2}\,dy\,dx.

對每個固定的 $x>0$ ，先積分 $y$ ：

\int_0^\infty e^{-xy/2}\,dy=\frac{2}{x}.

因此外層積分成為

113 專技高考高等考試電機工程技師工程數學（包括線性代數、微分方程、複變函數與機率）考古題詳解

第一、題20 分

第二、題10 分

第三、題20 分

第四、題15 分

核心觀念

解題方法

第五、題20 分

核心觀念

解題方法

（一）切線向量與單位切線向量

（二）球面的向外通量

第六、題15 分

核心觀念

（一）求 $k$

其他考古題

113 年電機工程技師的其他科目

電機工程技師《工程數學（包括線性代數、微分方程、複變函數與機率）》其他年度

113 年專技高考高等考試・其他類科的《工程數學（包括線性代數、微分方程、複變函數與機率）》

113 專技高考高等考試 電機工程技師 工程數學（包括線性代數、微分方程、複變函數與機率） 考古題詳解

第 一、 題20 分

第 二、 題10 分

第 三、 題20 分

第 四、 題15 分

核心觀念

解題方法

第 五、 題20 分

核心觀念

解題方法

（一）切線向量與單位切線向量

（二）球面的向外通量

第 六、 題15 分

核心觀念

（一）求 kkk

其他考古題

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第一、題20 分

第二、題10 分

第三、題20 分

第四、題15 分

第五、題20 分

第六、題15 分

（一）求 $k$