110 年專技高考高等考試電機工程技師考古題與詳解

Question 1

$f(t)=2t^2+\int0^t f(t-	au)e^{-	au}\,d	au$，求解 $f(t)$。

Accepted Answer

核心觀念 本題是第二類 Volterra 卷積積分方程。利用卷積定理，積分項的拉普拉斯轉換可化為兩個函數拉普拉斯轉換的乘積，再代數求出 $F(s)$，最後反轉換得到 $f(t)$。 卷積定義為 $$ (gh)(t)=\int0^t g(t-	au)h(	au)\,d	au, $$ 其拉普拉斯轉換為 $$ \mathcal{L}\{gh\}=G(s)H(s). $$ 解題方法 令 $F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\}$。原式可寫成 $$ f(t)=2t^2+(fe^{-t})(t). $$ 取拉普拉斯轉換，並使用 $\mathcal{L}\{2t^2\}=4/s^3$ 及 $\mathcal{L}\{e^{-t}\}=1/(s+1)$： $$ F(s)=\frac{4}{s^3}+\frac{F(s)}{s+1}. $$

Question 2

求 $y'=y^2e^{-2x}$ 的通解（general solution）。

Accepted Answer

核心觀念 此題考一階可分離變數微分方程。若方程可整理成「含 $y$ 的項」與「含 $x$ 的項」分居等號兩側，就可分離變數後積分。 解題方法 原方程為 $$ \frac{dy}{dx}=y^2e^{-2x}. $$ 當 $y
e 0$ 時，分離變數： $$ \frac{dy}{y^2}=e^{-2x}\,dx. $$ 兩邊積分： $$ \int y^{-2}\,dy=\int e^{-2x}\,dx, $$ $$ -\frac{1}{y}=-\frac{1}{2}e^{-2x}+C. $$

Question 3

求 $f(x)=x-x^2$ 的傅立葉展開（Fourier expansion）。

Accepted Answer

核心觀念

傅立葉展開須先指定函數的定義區間與週期。題目未明示區間，依常見慣例取 $-\pi<x<\pi$ ，並作 $2\pi$ 週期延拓。傅立葉級數為

f(x)\sim \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n\cos nx+b_n\sin nx\right),

其中

a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\,dx,\qquad a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos nx\,dx,\qquad b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin nx\,dx.

解題方法

將 $f(x)=x-x^2$ 分成奇函數部分 $x$ 與偶函數部分 $-x^2$ 。奇函數只產生正弦項，偶函數只產生餘弦項，因此可分別計算。

先求常數項：

a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}(x-x^2)\,dx =-\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x^2\,dx =-\frac{2}{\pi}\int_0^\pi x^2\,dx =-\frac{2\pi^2}{3}.

故 $\frac{a_0}{2}=-\frac{\pi^2}{3}$ 。

對 $n\ge 1$ ，由奇偶性， $x\cos nx$ 為奇函數，積分為零；因此

a_n=-\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x^2\cos nx\,dx =-\frac{2}{\pi}\int_0^\pi x^2\cos nx\,dx.

分部積分兩次：

\int_0^\pi x^2\cos nx\,dx =\left[\frac{x^2\sin nx}{n}\right]_0^\pi -\frac{2}{n}\int_0^\pi x\sin nx\,dx,

而

Question 4

曲線 $C$ 的參數表示式為 $$ x=t^3,\qquad y=-t,\qquad z=t^2， $$ 而 $1\leq t\leq 2$，求 $$ \intC x\,dx-yz\,dy+e^z\,dz。 $$

Accepted Answer

核心觀念 這題考向量場的線積分。若曲線以參數 $t$ 表示為 $$ \mathbf r(t)=\bigl(x(t),y(t),z(t)\bigr),\qquad a\leq t\leq b, $$ 則 $$ \intC P\,dx+Q\,dy+R\,dz =\inta^b\left[P\frac{dx}{dt}+Q\frac{dy}{dt}+R\frac{dz}{dt}\right]dt, $$ 其中 $P,Q,R$ 均沿曲線代入參數表示式。 解題方法 題目給定 $$ x=t^3,\qquad y=-t,\qquad z=t^2,\qquad 1\leq t\leq2. $$ 先求各變數對 $t$ 的導數： $$ \frac{dx}{dt}=3t^2,\qquad \frac{dy}{dt}=-1,\qquad \frac{dz}{dt}=2t. $$ 將參數表示式代入被積函數各項： $$ x\,dx=t^3(3t^2)\,dt=3t^5\,dt, $$ $$ -yz\,dy =-\bigl((-t)(t^2)\bigr)(-1)\,dt =-t^3\,dt, $$ $$ e^z\,dz=e^{t^2}(2t)\,dt. $$ 因此線積分化為

Question 5

求 $f(x,y,z)=x^2y-xy^2+xz^2$ 在點 $(1,-1,1)$ 延 $(1,-2,1)$ 方向的改變率（rate of change）。

Accepted Answer

核心觀念 本題考查多變數函數在指定方向上的方向導數。若 $\mathbf{u}$ 是單位方向向量，則 $f$ 在點 $P$ 沿 $\mathbf{u}$ 方向的改變率為 $$ D{\mathbf{u}}f(P)=
abla f(P)\cdot \mathbf{u}, $$ 其中 $
abla f$ 是梯度，$\cdot$ 表示內積。題目給的方向向量須先正規化為單位向量。 解題方法 函數為 $$ f(x,y,z)=x^2y-xy^2+xz^2. $$ 先求梯度： $$ 
abla f(x,y,z) = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z} ight) = \left( 2xy-y^2+z^2,\; x^2-2xy,\; 2xz ight). $$ 代入點 $P=(1,-1,1)$：

Question 6

$$ A= \begin{bmatrix} 3 & 0 & -2\ 0 & 2 & 0\ -2 & 0 & 0 \end{bmatrix}。 $$ (一) 求其行列式值（determinant）。 (二) 求特徵值（eigenvalues）與其對應的特徵向量（eigenvectors）。 (三) 求 $P$，使 $P^{-1}AP$ 為 $A$ 之對角化（diagonalized）矩陣。

Accepted Answer

核心觀念 本題考查矩陣的行列式、特徵值與特徵向量，以及利用線性獨立的特徵向量組成對角化矩陣。特徵值 $\lambda$ 滿足特徵方程 $$ \det(A-\lambda I)=0； $$ 對應的特徵向量 $v
e 0$ 則滿足 $$ (A-\lambda I)v=0。 $$ 若將三個線性獨立的特徵向量依序排成矩陣 $P$ 的各欄，則 $P^{-1}AP$ 為以相同順序排列特徵值的對角矩陣。 解題方法 矩陣 $$ A= \begin{bmatrix} 3&0&-2\ 0&2&0\ -2&0&0 \end{bmatrix} $$ 中，第二列、第二行只與中間的元素 $2$ 相連；另外兩個座標構成區塊 $$ \begin{bmatrix} 3&-2\ -2&0 \end{bmatrix}。 $$ 因此可先求此 $2	imes2$ 區塊的特徵值，再連同中間座標的特徵值 $2$ 一起整理。 （一）行列式 沿第二列展開： $$ \det(A)=2 \begin{vmatrix} 3&-2\ -2&0 \end{vmatrix} =2\bigl(3\cdot 0-(-2)(-2)\bigr) =-8。 $$ （二）特徵值與特徵向量 特徵多項式為 $$ \begin{aligned} \det(A-\lambda I) &=(2-\lambda) \begin{vmatrix} 3-\lambda&-2\ -2&-\lambda \end{vmatrix}\ &=(2-\lambda)\bigl((3-\lambda)(-\lambda)-4\bigr)\ &=(2-\lambda)(\lambda^2-3\lambda-4)\ &=(2-\lambda)(\lambda-4)(\lambda+1)。 \end{aligned} $$ 故特徵值為 $$ \lambda=4,\quad 2,\quad -1。 $$ 分別解 $(A-\lambda I)v=0$： - $\lambda=4$： $$ A-4I= \begin{bmatrix} -1&0&-2\ 0&-2&0\ -2&0&-4 \end{bmatrix}。 $$ 方程給出 $y=0$、$x=-2z$，可取特徵向量 $$ v4=\begin{bmatrix}-2\0\1\end{bmatrix}。 $$ - $\lambda=2$：

Question 7

機率函數 $p(x)=a(x+1)$，其中 $0\leq x\leq 2$，求該機率函數的期望值（expected value）及變異數（variance）。

Accepted Answer

核心觀念

題目給定連續型隨機變數 $X$ 的機率密度函數 $p(x)=a(x+1)$ ，其中 $0\leq x\leq 2$ 。求期望值與變異數，需先利用密度函數在其範圍內的積分為 $1$ ，求出常數 $a$ ，再計算 $E[X]$ 與 $E[X^2]$ 。

連續型隨機變數的公式為：

E[X]=\int_{-\infty}^{\infty}x\,p(x)\,dx,\qquad \operatorname{Var}(X)=E[X^2]-\bigl(E[X]\bigr)^2.

解題方法

1. 求常數 $a$

機率密度函數的總積分必須為 $1$ ：

\int_0^2 a(x+1)\,dx=1.

因此

a\left[\frac{x^2}{2}+x\right]_0^2 =a(2+2)=4a=1,

得到

a=\frac14.

所以密度函數為 $p(x)=\dfrac{x+1}{4}$ ，在 $0\leq x\leq 2$ 上非負，且總積分為 $1$ 。

2. 求期望值

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解題方法

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