110 專技高考高等考試 電子工程技師 工程數學（包括線性代數、微分方程、向量分析、複變函數與機率） 考古題詳解

核心觀念

矩陣指數定義為

若矩陣滿足簡單的多項式關係，例如 $A^2=\lambda I$，便可將冪次分成偶次與奇次，進而套用雙曲函數的級數公式。

解題方法

先計算 $A^2$：

因此對任意非負整數 $n$，

代入矩陣指數級數，並分離偶次項與奇次項：

核心觀念

本題考「常係數線性微分方程組」，可將方程組寫成矩陣形式，利用矩陣特徵值解齊次系統，再求外力項 $4\sin 2t$ 對應的特解，最後代入初始條件決定積分常數。

解題方法

令

則原方程組為

先解齊次系統 $\mathbf y'=A\mathbf y$。特徵方程為

故特徵值為 $\lambda=2,-2$。

當 $\lambda=2$ 時，可取特徵向量 $\begin{bmatrix}3\\1\end{bmatrix}$；當 $\lambda=-2$ 時，可取特徵向量 $\begin{bmatrix}-1\\1\end{bmatrix}$。因此齊次解為

接著求非齊次特解。由於外力為正弦函數，設

其中 $\mathbf a,\mathbf b$ 為常向量。代入 $\mathbf y'=A\mathbf y+\mathbf f(t)$，比較 $\sin 2t$ 與 $\cos 2t$ 係數，得到

核心觀念

正三角形的第三頂點位於已知線段的中垂線上，且到線段中點的距離為邊長的 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 倍。平面向量逆時針旋轉 $90^\circ$ 的公式為

解題方法

令

其中 $M$ 是線段兩端點的中點，$\vec v$ 是由 $(x_1,y_1)$ 指向 $(x_2,y_2)$ 的向量。

正三角形的高為邊長的 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 倍，因此從中點 $M$ 到第三頂點的向量，是將 $\vec v$ 逆時針旋轉 $90^\circ$ 後再乘上 $\frac{\sqrt{3}}{2}$：

核心觀念

本題考柱面側面的向量通量。向量面積元素為 $d\vec{s}=\hat{n}\,dS$，其中 $\hat{n}$ 是指定方向的單位法向量。因此

題目沒有另外指定方向，以下採用圓柱側面的外向法向量。

解題方法

以圓柱的角度與高度參數化側面：

參數切向量為

外向面積向量元素由叉積給出：

核心觀念

固有值問題的定義是尋找非零函數 $f\in V$ 與純量 $\lambda\in\mathbb{R}$，使得

本題 $Tf=f''$，因此須解二階常係數微分方程

並同時滿足空間 $V$ 所規定的邊界條件 $f(0)=0$、$f'(L)=0$。只有符合邊界條件的非零解，才是 $T$ 的固有函數。

解題方法

依固有值 $\lambda$ 的正負分三種情形，求解微分方程並套用邊界條件。

一、$\lambda=0$

此時 $f''=0$，通解為

由 $f(0)=0$ 得 $B=0$；由 $f'(L)=A=0$ 得 $A=0$。只有零函數，故 $\lambda=0$ 不是固有值。

二、$\lambda>0$

令 $\lambda=\mu^2$，其中 $\mu>0$。方程 $f''=\mu^2f$ 的通解為

由 $f(0)=0$ 得 $A=0$，所以 $f(x)=B\sinh(\mu x)$。再由

可知 $B=0$，因為 $\mu>0$ 且 $\cosh(\mu L)>0$。仍只有零函數，因此 $\lambda>0$ 不是固有值。

三、$\lambda<0$

令 $\lambda=-\mu^2$，其中 $\mu>0$。方程 $f''=-\mu^2f$ 的通解為

由 $f(0)=0$ 得 $A=0$，故

其導數為