110 專技高考高等考試 電子工程技師 通訊系統 考古題詳解

核心觀念

本題比較三組通訊技術，重點在辨認各技術「改變什麼物理量」、「頻譜如何配置」，以及「多個訊號如何共用通道」。

• 類比調變：以載波傳送基頻訊號，分別改變載波的振幅、瞬時頻率或瞬時相位。
• 旁帶調變：依訊號頻譜在載波兩側的配置，區分 DSB、SSB 與 VSB。
• 多工：讓多路訊號共用傳輸媒介，分別以時間、頻率或碼序列區隔。

(一) AM、FM 與 PM

設基頻訊號為 $m(t)$，載波角頻率為 $\omega_c$，振幅為 $A_c$。

振幅調變（AM）

AM 讓載波的振幅隨 $m(t)$ 改變，載波頻率與相位維持固定。一般 AM 訊號可寫為

其中 $k_a$ 為振幅靈敏度。當 $m(t)=\cos(\omega_m t)$ 時，頻譜包含載波分量，以及位於 $f_c-f_m$、$f_c+f_m$ 的下、上旁帶。

傳統 AM 的優點是解調器簡單，可用包絡檢波；缺點是載波與上下旁帶都占用功率，頻譜效率及功率效率較低。若要避免包絡失真，需使調變指數不超過 $1$。

頻率調變（FM）

FM 讓載波的瞬時頻率隨 $m(t)$ 改變，載波振幅維持固定。其瞬時角頻率與訊號可表示為

其中 $k_f$ 為頻率靈敏度。對單音訊號 $m(t)=A_m\cos(\omega_m t)$，FM 調變指數為 $\beta=\Delta f/f_m$，其中 $\Delta f$ 是峰值頻率偏移。FM 的振幅固定，抗振幅雜訊能力較佳；但頻寬通常大於 AM，實際頻寬常用 Carson 定則估算：

相位調變（PM）

PM 讓載波的瞬時相位隨 $m(t)$ 改變，載波振幅維持固定：

其中 $k_p$ 為相位靈敏度。PM 的瞬時角頻率為相位對時間的導數：

因此 PM 的瞬時頻率偏移與基頻訊號的變化率相關；FM 的頻率偏移則與基頻訊號本身相關。對單音調變，PM 的相位偏移與 $A_m$ 成正比，頻率偏移則也會隨調變頻率 $f_m$ 增加。

比較重點： AM 改振幅；FM 改瞬時頻率；PM 改瞬時相位。FM 與 PM 都屬於角度調變，且可透過積分器或微分器互相實現。

(二) SSB、DSB 與 VSB

設基頻訊號的最高頻率為 $W$，載波頻率為 $f_c$。調變後的頻譜通常分布在載波頻率附近。

雙旁帶調變（DSB）

DSB 同時傳送載波兩側的上旁帶與下旁帶。以抑制載波的雙旁帶訊號 DSB-SC 為例：

核心觀念

本題考查正弦波調變下的頻率調變指數。VCO 的頻率偏移量與調變電壓振幅成正比：

其中 $k_o$ 為偏差敏感度，單位為 $\mathrm{kHz/V}$；$V_m$ 為調變信號的峰值電壓。FM 調變指數定義為最大頻率偏移量除以調變頻率：

因此，調變電壓振幅加倍會使 $\Delta f_c$ 加倍；調變頻率加倍則會使 $m_f$ 減半。

解題方法與計算

（一）求頻率偏移量與調變指數

已知 $k_o=3\ \mathrm{kHz/V}$、$V_m=2\ \mathrm{V}$、$f_m=4\ \mathrm{kHz}$。

先求最大頻率偏移量：

再代入調變指數定義：

（二）調變電壓振幅增為兩倍

此時 $V_m=4\ \mathrm{V}$，調變頻率仍為 $4\ \mathrm{kHz}$。新的最大頻率偏移量為：

核心觀念

本題考查有限時間脈衝的傅立葉轉換、正弦調變的頻移性質，以及最佳匹配濾波器的時間反轉與輸出自相關特性。

依圖形，訊號在 $0\le t\le T$ 時為

在區間外皆為零。採用角頻率傅立葉轉換定義 $X(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-j\omega t}\,dt$，並令 $\operatorname{sinc}(x)=\sin(x)/x$。

題目標示 $\omega_c=6\ \mathrm{cycle/s}$；若以角頻率表示，應換算為 $\omega_c=2\pi(6)=12\pi\ \mathrm{rad/s}$。

解題方法

(一) 調變波的頻譜

矩形脈衝 $s(t)$ 的傅立葉轉換為

將調變波寫成

利用正弦調變的頻移性質

可得

因此頻譜由三個 sinc 型頻譜分量組成：一個以 $\omega=0$ 為中心，另兩個分別以 $\omega=\omega_c$ 與 $\omega=-\omega_c$ 為中心。依正弦調變的係數，兩個頻移分量帶有相反符號的複數係數；各分量重疊時，總頻譜須作複數相加。

題目所列的 $\frac12[V(\omega-\omega_c)+V(\omega+\omega_c)]$ 是餘弦相乘時的頻移形式；本題含有直流項與正弦項，故須使用上式分別處理。

(二) 最佳匹配濾波器脈衝響應

對實數訊號，匹配濾波器的脈衝響應是輸入訊號在觀察區間內的時間反轉，整體乘上一個不影響匹配的常數。此處取比例常數為 $1$：

所以

圖形上，將 $v(t)$ 在 $0\le t\le T$ 內左右翻轉，即為 $h_{\mathrm{opt}}(t)$。

(三) 匹配濾波器輸出

輸出為

核心觀念

本題考查數位調變的每符號承載位元數、星座圖幾何形狀，以及在相同位元能量雜訊比 $E_b/N_0$ 下，不同調變的位元錯誤率（BER）比較。

若調變有 $M$ 個可能符號，每個符號承載 $\log_2 M$ 個位元，因此：

比較錯誤率時，星座點間距越大，判錯機率通常越低；但在固定平均位元能量下，$M$ 越大，星座點通常越密，所需 $E_b/N_0$ 越高。

解題方法

（一）位元速率與總率

• 4-PSK（QPSK）：$M=4$，每個符號承載 $\log_2 4=2$ 個位元。

• 8-QAM：$M=8$，每個符號承載 $\log_2 8=3$ 個位元。

（二）8-PSK 與 8-QAM 星座圖

8-PSK 將八個符號等角度放在同一圓周上，相鄰相位差為 $2\pi/8=\pi/4$：

 •
 • •

 • 原點 •

 • •
 •

8-QAM 的幾何排列不只一種；以下採用常見的矩形 4×2 星座。其八點可用 $(I,Q)$ 座標表示為：

Q
↑
+1 • • • •
 │ │ │ │
 0 ──────┼───────┼───────┼───────┼──→ I
 │ │ │ │
−1 • • • •

 −3 −1 +1 +3

實際繪圖時，星座點依上述座標等距排列即可。8-PSK 的點在圓周上；此矩形 8-QAM 的點則排列成兩排四列。

（三）BER 與 $E_b/N_0$ 曲線

令 $\gamma_b=E_b/N_0$。相位鍵移的常用 Gray 編碼近似式為：

核心觀念

散射矩陣 $S$ 描述的是信號振幅如何由輸入埠傳到輸出埠；功率則與振幅平方成正比。輸入向量為 $[E_{\mathrm{in},1},E_{\mathrm{in},2}]^{\mathsf T}$ 時，

本題第 2 輸入埠沒有信號，因此 $E_{\mathrm{in},2}=0$。兩輸出振幅為

由於 $|j|=1$，虛數因子 $j$ 只影響相位，不影響功率。因此

解題方法與計算

（一）$\varepsilon=\frac12$

代入功率分配公式：

因此兩個輸出埠各得到輸入功率的一半。

核心觀念

本題以二元區塊碼為背景，所有多項式係數與矩陣運算都在 $\mathrm{GF}(2)$ 上進行，也就是加法等同 XOR。若訊息多項式為 $m(X)$、產生多項式為 $g(X)$，則碼字為 $V(X)=g(X)m(X)$。

產生矩陣 $G$ 的各列，是 $g(X)$ 依訊息位元位置逐次平移後的係數列。檢查矩陣 $H$ 的列空間須與碼字空間正交，因此要滿足 $GH^{T}=0$。線性回授移位暫存器則以 XOR 接點形成回授；要產生長度 $2^r-1$ 的最大長度序列，對應的 $r$ 次連結多項式必須是本原多項式。

解題方法

（一）產生矩陣 $G$

採用係數由低次至高次排列，並令碼字欄位依序為 $(v_0,\ldots,v_6)$。由

可得係數列 $(1,1,1,0,1,0,0)$。依序乘上 $1、X、X^2$，即得三列：

（二）同位元查核矩陣 $H$

題目給定

在欄位由低次至高次的約定下，$H$ 的列採用倒數多項式 $X^3h(X^{-1})=1+X^2+X^3$ 的係數列，再逐次右移，得到：

此矩陣符合 $GH^T=0$，且有 $n-k=4$ 列，符合檢查矩陣的維度。