112 年專技高考高等考試電子工程技師考古題與詳解

Question 1

離散隨機變數（discrete random variable）$X$ 與 $Y$ 具有下列聯合機率質量函數（joint probability mass function）： $$ \begin{array}{c|ccc} P(x,y) & x=-1 & x=0 & x=2\ \hline y=-1 & 0 & \frac{1}{4} & 0\ y=0 & \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{6}\ y=1 & 0 & \frac{1}{4} & 0 \end{array} $$ (一) 請詳述理由，判斷 $X$ 與 $Y$ 是否無關（uncorrelated）。（7 分） (二) 請詳述理由，判斷 $X$ 與 $Y$ 是否獨立（independent）。（7 分） (三) 請計算此聯合隨機變數 $X$ 與 $Y$ 的熵值（entropy）$H(X,Y)$，衡量單位以位元（bits）表示。換句話說，請以 $2$ 為底執行相關的對數計算。 註：$\log2 3\approx 1.585$。（6 分）

Accepted Answer

核心觀念 「無關」與「獨立」是不同概念： - $X$ 與 $Y$ 無關，是指共變異數為零： $$\operatorname{Cov}(X,Y)=E[XY]-E[X]E[Y]=0.$$ - $X$ 與 $Y$ 獨立，是指對所有 $x,y$，聯合機率都滿足： $$P(X=x,Y=y)=PX(x)PY(y).$$ - 聯合熵依聯合機率質量函數計算： $$H(X,Y)=-\sumx\sumy P(x,y)\log2 P(x,y),$$ 並約定 $0\log2 0=0$。 （一）判斷 $X$ 與 $Y$ 是否無關 先由聯合機率表求邊際機率。 $X$ 的邊際分布為： $$ \begin{aligned} PX(-1)&=\frac{1}{3},\ PX(0)&=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2},\ PX(2)&=\frac{1}{6}. \end{aligned} $$ $Y$ 的邊際分布為： $$ \begin{aligned} PY(-1)&=\frac{1}{4},\ PY(0)&=\frac{1}{3}+\frac{1}{6}=\frac{1}{2},\ PY(1)&=\frac{1}{4}. \end{aligned} $$ 計算期望值： $$ E[X]=(-1)\frac{1}{3}+0\cdot\frac{1}{2}+2\cdot\frac{1}{6}=0, $$ $$ E[Y]=(-1)\frac{1}{4}+0\cdot\frac{1}{2}+1\cdot\frac{1}{4}=0. $$ 聯合機率非零的格子中，只有 $(X,Y)=(-1,0)$ 與 $(2,0)$ 對 $E[XY]$ 有貢獻，但兩者的 $Y$ 值皆為 $0$；其餘非零格子的 $X$ 值皆為 $0$。因此 $$ E[XY]=\sum{x,y}xyP(x,y)=0. $$ 故 $$ \operatorname{Cov}(X,Y)=E[XY]-E[X]E[Y]=0-(0)(0)=0. $$ 因此，$X$ 與 $Y$ 無關。 （二）判斷 $X$ 與 $Y$ 是否獨立 獨立要求每一組 $(x,y)$ 都滿足 $P(x,y)=PX(x)PY(y)$。只要找到一組不符合，即可判定不獨立。

Question 2

考慮一組由下列 $4$ 個字碼（codeword）組成的二位元碼（binary code），其字碼長度（codeword length）為 $n=5$ ，且訊息長度（information length）為 $k=2$ 。亦即：

C=\{(00100),(10010),(01001),(11111)\}

(一) 請求出此組二位元碼 $C$ 的最小距離（minimum distance）。（5 分）

(二) 請求出此組二位元碼 $C$ 的最大權重（maximum weight），使得所有的錯誤模式（error pattern）都保證能被偵測出來。（5 分）

(三) 請求出此組二位元碼 $C$ 的最大權重，使得所有的錯誤模式都保證能被更正出來。（5 分）

(四) 請詳述理由，判斷此組二位元碼 $C$ 是否為線性（linear）碼。（5 分）

Accepted Answer

核心觀念 本題考二元碼的漢明距離、錯誤偵測與更正能力，以及線性碼的判斷。 兩個碼字的漢明距離，是兩者在相同位置上符號不同的個數。碼的最小距離為任意兩個不同碼字間距離的最小值： $$ d{\min}=\min{ci
e cj} d(ci,cj) $$ 若 $d{\min}=d$，則： - 可保證偵測所有重量不超過 $d-1$ 的錯誤模式。 - 可保證更正所有重量不超過 $\left\lfloor\frac{d-1}{2}ightfloor$ 的錯誤模式。 錯誤模式的重量是其中 $1$ 的個數。以上更正界限來自漢明球不重疊的條件：任兩個碼字的距離至少須為 $2t+1$，才能保證更正 $t$ 個錯誤。 解題方法 令四個碼字依序為 $$ c1=00100,\quad c2=10010,\quad c3=01001,\quad c4=11111 $$ 逐對計算漢明距離： | 碼字配對 | 不同位置 | 距離 | |---|---|---:| | $c1,c2$ | 第 $1,2,4$ 位 | $3$ | | $c1,c3$ | 第 $2,3,5$ 位 | $3$ | | $c1,c4$ | 第 $1,3,4,5$ 位 | $4$ | | $c2,c3$ | 第 $1,2,3,4,5$ 位 | $5$ | | $c2,c4$ | 第 $2,3,5$ 位 | $3$ | | $c3,c4$ | 第 $1,3,4$ 位 | $3$ | 因此最小距離為 $$ d{\min}=3 $$ (一) 最小距離 由上表，最小的兩兩距離為 $3$，故 $$ \boxed{d{\min}=3} $$

Question 3

讓具有自相關函數（autocorrelation function） $$ R{xx}[k]=\delta[k] $$ 的白色雜訊（white noise）且廣義平穩（wide-sense stationary）訊號，通過一個線性非移變（linear shift-invariant）系統。此系統的脈衝響應（impulse response）如下： $$ h[n]=2\delta[n]-\delta[n-1]-\delta[n-2] $$ (一) 請決定輸出序列（output sequence）的功率頻譜（power spectrum）$\Phi{yy}(\omega)$。（5 分） (二) 請決定輸出序列的自相關函數 $R{yy}[k]$。（5 分） (三) 請決定交互功率頻譜（cross power spectrum）$\Phi{yx}(\omega)$。（5 分） (四) 請決定交互相關函數（cross-correlation function）$R{yx}[k]$。（5 分）

Accepted Answer

核心觀念

本題考查廣義平穩白色雜訊通過離散時間線性非移變系統後，輸出功率頻譜、自相關，以及輸入與輸出的交互功率頻譜、交互相關。

採用下列離散時間傅立葉轉換慣例：

\Phi_{xx}(\omega)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}R_{xx}[k]e^{-j\omega k}, \qquad R_{xx}[k]=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\Phi_{xx}(\omega)e^{j\omega k}\,d\omega.

輸入自相關為 $R_{xx}[k]=\delta[k]$ ，故其功率頻譜為

\Phi_{xx}(\omega)=1.

系統頻率響應為

H(\omega)=\sum_n h[n]e^{-j\omega n}.

輸出為 $y[n]=h[n]*x[n]$ 。對實係數 LSI 系統，有

\Phi_{yy}(\omega)=|H(\omega)|^2\Phi_{xx}(\omega), \qquad \Phi_{yx}(\omega)=H(\omega)\Phi_{xx}(\omega).

其中交互頻譜採用 $R_{yx}[k]=E\{y[n+k]x^*[n]\}$ 的定義。

解題方法

由脈衝響應

h[n]=2\delta[n]-\delta[n-1]-\delta[n-2]

可得

H(\omega)=2-e^{-j\omega}-e^{-j2\omega}.

因為 $\Phi_{xx}(\omega)=1$ ，輸出功率頻譜為

Question 4

一個二位元（binary）通訊系統傳送具有事前機率（prior probability）

\Pr(0)=0.6,\qquad \Pr(1)=0.4

的符元（symbol） $\{0,1\}$ 。此通道受到加性高斯白雜訊（additive white Gaussian noise）的干擾。當二位元符元「0」被傳送時，加性高斯白雜訊的期望值為 $0$ 、變異數為 $9$ ，即 $N(0,9)$ ；當二位元符元「1」被傳送時，加性高斯白雜訊的期望值為 $0$ 、變異數為 $4$ ，即 $N(0,4)$ 。

(一) 請寫出這兩個符元的概似函數（likelihood function）。（4 分）

(二) 請求出這兩個符元的決策區域（decision region） $H_0$ 與 $H_1$ 。（6 分）

(三) 請求出此通訊系統的平均最小錯誤機率（average minimum error probability）。請以 $Q$ -函數表示：

Q(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_x^{\infty}e^{-u^2/2}\,du

（10 分）

Accepted Answer

核心觀念 本題考的是非等先驗機率、不同雜訊變異數下的二元最佳判決。依最小平均錯誤機率準則，使用最大後驗機率（MAP）判決：觀測值 $r$ 若使 $\Pr(0)f{R|0}(r)$ 較大，判為 $0$；若使 $\Pr(1)f{R|1}(r)$ 較大，判為 $1$。 題目未提供傳送符元的訊號振幅，因此將接收值視為雜訊觀測值；在符元 $i$ 傳送時，$R|i$ 服從題目給定的零均值高斯分布。 （一）概似函數 零均值、變異數為 $\sigma^2$ 的高斯機率密度函數為 $$ f(r)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} \exp\left(-\frac{r^2}{2\sigma^2}\right). $$ 因此兩個符元的條件概似函數為 $$ f{R|0}(r)=\frac{1}{3\sqrt{2\pi}} \exp\left(-\frac{r^2}{18}\right), $$ $$ f{R|1}(r)=\frac{1}{2\sqrt{2\pi}} \exp\left(-\frac{r^2}{8}\right). $$ 前者使用變異數 $9$，後者使用變異數 $4$。 （二）決策區域 $H0$ 與 $H1$ 依 MAP 準則，判為 $0$ 的條件是 $$ \Pr(0)f{R|0}(r)\geq \Pr(1)f{R|1}(r). $$ 代入先驗機率及概似函數： $$ \frac{0.6}{3\sqrt{2\pi}}e^{-r^2/18} \geq \frac{0.4}{2\sqrt{2\pi}}e^{-r^2/8}. $$ 兩側係數同為 $0.2/\sqrt{2\pi}$，故化為 $$ e^{-r^2/18}\geq e^{-r^2/8}. $$ 因為指數函數遞增，比較指數可得

Question 5

一個具有平均傳送能量（energy）為 $E$ 之二位元相位偏移調變（binary phase-shift keying，BPSK）的傳送器（transmitter），其脈波整形（pulse shaping）是具有能量 $Eg$ 的 $g(t)$，而載波頻率（carrier frequency）為 $fc$。 正常情況下載波的相位偏移是 $0^\circ$ 或是 $	heta=180^\circ$，來代表傳送的是一個「0」或是「1」的位元（bit）。然而現在這個 BPSK 傳送器發生問題，導致傳送「1」位元時偏移的相位 $	heta
e180^\circ$。假設系統使用最大概似接收器（maximum-likelihood receiver），且通過一個具有功率頻譜（power spectrum）為 $N0/2$ 的加性高斯白雜訊（additive white Gaussian noise）通道。 (一) 請寫出這組二位元相位偏移調變的傳送訊號 $s0(t)$ 與 $s1(t)$。（4 分） (二) 請為這組二位元相位偏移調變的傳送訊號找出一組合理的正交歸一基底（orthonormal basis）$\{f1(t),f2(t)\}$。（4 分） (三) 請用上一小題的合理正交歸一基底，表示出這組二位元相位偏移調變傳送訊號的向量模式 $\{s0,s1\}$。（4 分） (四) 請用 $\gamma$、$	heta$ 及 $Q$-函數表示此通訊系統的錯誤機率 $Pe$。這裡的 $\gamma=Eb/N0$ 是每位元的訊雜比（signal-to-noise ratio，SNR），且對 $M$ 符元訊號源（$M$-ary signaling）而言： $$ Eb=\frac{E}{\log2 M} $$ $$ Q(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\intx^{\…

Accepted Answer

核心觀念

本題考查 BPSK 訊號表示、正交歸一基底、訊號空間向量，以及 AWGN 通道中最大概似（ML）接收的錯誤機率。

BPSK 的兩個訊號可視為振幅相同、相位不同的載波。當相位差不是 $180^\circ$ 時，兩訊號不再互為反相，需用二維訊號空間表示。對等概似、等能量的兩個訊號，ML 接收器等同選擇與接收向量距離較近的訊號；其錯誤機率由兩訊號間的歐氏距離決定。

解題方法

令位元時間為 $T_b$ ，脈波 $g(t)$ 的能量為

E_g=\int_{-\infty}^{\infty} g^2(t)\,dt.

將傳送訊號寫成脈波乘上載波，並以 $E_g$ 正規化，使訊號能量為題目所給的 $E$ 。

(一) 傳送訊號

以位元「0」的載波相位為 $0^\circ$ ，位元「1」的載波相位為 $\theta$ ，則

s_0(t)=\sqrt{\frac{2E}{E_g}}\,g(t)\cos(2\pi f_ct),

s_1(t)=\sqrt{\frac{2E}{E_g}}\,g(t)\cos(2\pi f_ct+\theta).

此寫法採用通帶載波常見的正弦波能量近似，即 $\int g^2(t)\cos^2(2\pi f_ct+\phi)\,dt\approx E_g/2$ ，因此兩訊號能量皆為 $E$ 。

(二) 正交歸一基底

選用同相與正交載波方向：

f_1(t)=\sqrt{\frac{2}{E_g}}\,g(t)\cos(2\pi f_ct),

f_2(t)=-\sqrt{\frac{2}{E_g}}\,g(t)\sin(2\pi f_ct).

在通帶正交條件下，兩基底的內積為零，且各自能量為 $1$ ，因此構成一組正交歸一基底。利用

\cos(2\pi f_ct+\theta) =\cos\theta\cos(2\pi f_ct)-\sin\theta\sin(2\pi f_ct),

兩訊號可分解為上述兩個基底的線性組合。

(三) 訊號向量

由 $s_0(t)$ 與 $s_1(t)$ 在基底方向上的投影係數，可得

\boxed{s_0=(\sqrt{E},\,0)}

以及

\boxed{s_1=(\sqrt{E}\cos\theta,\,\sqrt{E}\sin\theta)}.

兩訊號間的距離平方為

\begin{aligned} d^2 &=\|s_0-s_1\|^2\\ &=E(1-\cos\theta)^2+E\sin^2\theta\\ &=2E(1-\cos\theta)\\ &=4E\sin^2\frac{\theta}{2}. \end{aligned}

112 專技高考高等考試電子工程技師通訊系統考古題詳解

第一題20 分

核心觀念

（一）判斷 $X$ 與 $Y$ 是否無關

（二）判斷 $X$ 與 $Y$ 是否獨立

第二題20 分

核心觀念

解題方法

(一) 最小距離

第三題20 分

核心觀念

解題方法

第四題20 分

核心觀念

（一）概似函數

（二）決策區域 $H_0$ 與 $H_1$

第五題20 分

核心觀念

解題方法

(一) 傳送訊號

(二) 正交歸一基底

(三) 訊號向量

其他考古題

112 年電子工程技師的其他科目

電子工程技師《通訊系統》其他年度

112 專技高考高等考試 電子工程技師 通訊系統 考古題詳解

第 一 題20 分

核心觀念

（一）判斷 XXX 與 YYY 是否無關

（二）判斷 XXX 與 YYY 是否獨立

第 二 題20 分

核心觀念

解題方法

(一) 最小距離

第 三 題20 分

核心觀念

解題方法

第 四 題20 分

核心觀念

（一）概似函數

（二）決策區域 H0H_0H0​ 與 H1H_1H1​

第 五 題20 分

核心觀念

解題方法

(一) 傳送訊號

(二) 正交歸一基底

(三) 訊號向量

其他考古題

112 年電子工程技師的其他科目

電子工程技師《通訊系統》其他年度

112 專技高考高等考試電子工程技師通訊系統考古題詳解

第一題20 分

（一）判斷 $X$ 與 $Y$ 是否無關

（二）判斷 $X$ 與 $Y$ 是否獨立

第二題20 分

第三題20 分

第四題20 分

（二）決策區域 $H_0$ 與 $H_1$

第五題20 分