109 年專技高考高等考試電子工程技師考古題與詳解

Question 1

對通訊系統作數學分析時，有時候會假設通道（channel）為加成式高斯白雜訊（additive white Gaussian noise, AWGN）通道。在符號上，將進入通道的訊號寫為 $x(t)$ ，它在通道中受到雜訊 $w(t)$ 的影響，然後在接收端收到的訊號則為 $y(t)$ 。

(一) 請問 $x(t)$ 、 $w(t)$ 、 $y(t)$ 三者之間的關係為何？請以數學式子明確寫出。

(二) 請問 $w(t)$ 是否為廣義穩態（wide-sense stationary, WSS）的隨機程序（random process）？同時請描述所謂的廣義穩態指的是什麼。

(三) 在 $t=0$ 的時候， $w(t)$ 的平均值（mean）為何？

(四) 請寫出 $w(t)$ 的自相關函數（auto-correlation function）的形式。

(五) 請寫出 $w(t)$ 的功率頻譜密度（power spectral density）函數的形式。

Accepted Answer

核心觀念

加成式高斯白雜訊（AWGN）通道的模型為：輸入訊號與通道雜訊相加後形成接收訊號。此題並考查白高斯雜訊的廣義穩態（WSS）性質，以及平均值、自相關函數與功率頻譜密度的標準形式。

以下採用通訊系統常見的雙邊功率頻譜密度慣例，以 $N_0/2$ 表示常數頻譜密度； $\delta(\tau)$ 為狄拉克脈衝。

解題方法

（一）輸入、雜訊與輸出的關係

AWGN 通道是加法通道，因此接收訊號等於輸入訊號加上雜訊：

y(t)=x(t)+w(t).

（二） $w(t)$ 是否為 WSS？WSS 的定義為何？

是。理想 AWGN 中的雜訊程序 $w(t)$ 為零均值、廣義穩態的高斯隨機程序。

隨機程序 $w(t)$ 為 WSS，需滿足以下條件：

平均值為常數： $m_w(t)=\mathbb{E}[w(t)]$ 不隨時間改變。
自相關只與時間差有關： $R_w(t_1,t_2)=\mathbb{E}[w(t_1)w(t_2)]$ 可寫成只依賴 $\tau=t_2-t_1$ 的函數，即 $R_w(t_1,t_2)=R_w(\tau)$ 。

高斯性描述隨機變數的機率分布；白性則表示功率頻譜密度在頻率上為常數。在理想 AWGN 模型中，這些性質與 WSS 條件相容。

（三） $t=0$ 時的平均值

AWGN 為零均值程序，且平均值不隨時間改變，因此：

\mathbb{E}[w(0)]=0.

（四）自相關函數

Question 2

本題考慮一些類比調變（analogue modulation）技術。假設 $x(t)$ 代表訊息訊號（message signal），載波訊號（carrier signal）則以 $A\cos(\omega_ct)$ 表示。

考慮如下五個訊號：

s_1(t)=Ax(t)\cos(\omega_ct)

s_2(t)=A\cos(\omega_ct+a x(t))

其中 $a$ 為常數。

s_3(t)=A(1+b x(t))\cos(\omega_ct)

其中 $b$ 為常數， $0<bM<1$ ，其中 $M$ 為 $x(t)$ 之最大值。

s_4(t)=A\left(x(t)\cos(\omega_ct)-\hat{x}(t)\sin(\omega_ct)\right)

其中 $\hat{x}(t)$ 為 $x(t)$ 之希爾伯特轉換（Hilbert transform）。

s_5(t)=A\cos\left(\omega_ct+d\int_0^t x(y)\,dy\right)

其中 $d$ 為常數。

(一) 上面五個訊號，對應到如下五個調變：

單旁帶／載波抑制調幅（Single-Sideband/Suppressed Carrier AM）
雙旁帶／載波抑制調幅（Double-Sideband/Suppressed Carrier AM）
雙旁帶／完全載波調幅（Double-Sideband/Full Carrier AM）
調頻（frequency modulation）
調相（phase modulation）

請指出它們是如何作對應（五個對應全部答對才有得分）。

(二) 五種調變中，那一個所需使用的頻寬（bandwidth）最小？

(三) 五種調變中，那一個的解調（demodulation）電路最簡單？它所付出的代價為何？

(四) 如果 $x(t)=\cos(\omega_0t)$ ，那麼 $\hat{x}(t)=$ ？

(五) 如果 $x(t)=\sin(\omega_0t)$ ，那麼 $\hat{x}(t)=$ ？

Accepted Answer

核心觀念

本題考查類比調變的訊號形式，以及希爾伯特轉換對單頻正弦、餘弦訊號的作用。

雙旁帶／載波抑制調幅（DSB-SC）：訊息直接乘上載波，訊號為 $A x(t)\cos(\omega_ct)$ 。
雙旁帶／完全載波調幅（DSB-FC）：載波振幅隨訊息改變，形式為 $A[1+b x(t)]\cos(\omega_ct)$ 。
單旁帶／載波抑制調幅（SSB-SC）：以訊息及其希爾伯特轉換組成正交分量，保留單一旁帶。
調頻（FM）：瞬時頻率隨訊息變化，故訊息出現在載波相位的積分項中。
調相（PM）：載波相位直接隨訊息變化。
希爾伯特轉換採用頻域定義：正頻率分量乘上 $-j$ ，負頻率分量乘上 $+j$ 。因此

\widehat{\cos(\omega_0t)}=\sin(\omega_0t),\qquad \widehat{\sin(\omega_0t)}=-\cos(\omega_0t)

（假設 $\omega_0>0$ ）。

解題方法與推導

先比對各訊號的振幅、相位如何受 $x(t)$ 控制：

$s_1(t)=Ax(t)\cos(\omega_ct)$ ： $x(t)$ 直接乘載波，沒有獨立載波項，故為 DSB-SC。
$s_2(t)=A\cos[\omega_ct+a x(t)]$ ：訊息直接加到載波相位，故為 PM。
$s_3(t)=A[1+b x(t)]\cos(\omega_ct)$ ：振幅含有載波基準項 $1$ ，故為 DSB-FC。
$s_4(t)=A[x(t)\cos(\omega_ct)-\hat{x}(t)\sin(\omega_ct)]$ ：訊息與希爾伯特轉換分別乘上正交載波，形成單旁帶訊號，故為 SSB-SC。
$s_5(t)=A\cos\left[\omega_ct+d\int_0^t x(y)\,dy\right]$ ：訊息的積分加到載波相位；相位微分後，瞬時角頻率含有 $d x(t)$ ，故為 FM。

(一) 五種訊號的對應

題目列出的編號對應如下：

訊號	調變方式
$s_1(t)$	2. 雙旁帶／載波抑制調幅（DSB-SC）

Question 3

考慮一個二元調變（binary modulation）機制，其中資料位元（data bit） $0$ 與 $1$ 分別以如下所示的 $s_0(t)$ 與 $s_1(t)$ 訊號來對應：

s_0(t)=\sqrt{\frac{2E_b}{T}}\cos(2\pi f_0t),\qquad 0<t<T

s_1(t)=\sqrt{\frac{2E_b}{T}}\cos(2\pi f_1t),\qquad 0<t<T

其中 $T$ 為位元時長（bit duration）。在此假設訊號的傳輸通道為加成式高斯白雜訊（AWGN）通道，其中雜訊的雙邊功率頻譜密度（two-sided power spectral density）為 $\frac{N_0}{2}$ （換言之，單邊功率頻譜密度（single-sided power spectral density）為 $N_0$ ）。

(一) 此調變機制屬於下列選項其中的那一個：

(A) BPSK（binary phase shift keying）

(B) BFSK（binary frequency shift keying）

(C) BASK（binary amplitude shift keying）

(二) 請畫出此調變機制的同調解調（coherent demodulation）器。

(三) 為達到同調解調時， $s_0(t)$ 與 $s_1(t)$ 兩個訊號之間的正交性（orthogonality）， $f_0$ 與 $f_1$ 兩個頻率有一個最小間隔之限制，請問此最小頻率間隔值為何？答案請以 $E_b$ 、 $T$ 、 $f_0$ 、 $f_1$ 、 $N_0$ 等參數表示之。

(四) 請寫出此同調解調器所對應的位元錯誤率（bit error rate）。答案請以 error function 或類似函數（例如 $Q$ 、 $\operatorname{erf}$ 或 $\operatorname{erfc}$ 等）與 $E_b$ 、 $T$ 、 $f_0$ 、 $f_1$ 、 $N_0$ 等參數表示之。

Accepted Answer

核心觀念 兩個訊號的振幅相同，載波頻率分別為 $f0$ 與 $f1$，因此位元資訊由載波頻率承載，屬於二元頻移鍵控（BFSK）。同調解調可將接收訊號分別與兩個載波相關，再比較相關器輸出。 解題方法 令接收訊號為 $r(t)=si(t)+n(t)$，其中 $i\in\{0,1\}$。同調接收器使用兩個與訊號波形匹配的基底函數： $$ \phi0(t)=\sqrt{\frac{2}{T}}\cos(2\pi f0t),\qquad \phi1(t)=\sqrt{\frac{2}{T}}\cos(2\pi f1t),\quad 0<t<T. $$ 將 $r(t)$ 分別與兩個基底函數相關並積分： $$ y0=\int0^T r(t)\phi0(t)\,dt,\qquad y1=\int0^T r(t)\phi1(t)\,dt. $$ 判決規則為：若 $y0y1$，判為位元 $0$；若 $y1y0$，判為位元 $1$。等價地，可用差值 $y1-y0$ 與門檻 $0$ 比較。 (一) 調變方式與選項分析 訊號振幅相同，但頻率依位元而改變，所以答案為 (B) BFSK。 - (A) BPSK：錯。 BPSK 以兩個相位相差 $\pi$ 的訊號表示位元，通常頻率相同、相位相反；題目中的兩個訊號頻率不同。 - (B) BFSK：對。 兩個位元分別使用 $f0$ 與 $f1$，正是二元頻移鍵控。 - (C) BASK：錯。 BASK 以振幅改變表示位元；題目兩個訊號振幅相同，改變的是頻率。 (二) 同調解調器 下圖為兩支路相關器實作；本地載波須與收訊載波同頻且相位同步。 $$ \begin{array}{ccccc} &\times \phi0(t)&\longrightarrow&\displaystyle\int0^T(\cdot)\,dt&\longrightarrow y0\ r(t)&\searrow&&&\[-2pt] &\times \phi1(t)&\longrightarrow&\displaystyle\int0^T(\cdot)\,dt&\longrightarrow y1\ &&&&\searrow\ \text{比較 } y0,y1\ \longrightarrow\ \hat b \end{array} $$ 亦可使用兩個匹配濾波器，在位元區間結束時取樣，再比較兩路輸出。 (三) 正交條件與最小頻率間隔 兩訊號的內積為

Question 4

針對無線（wireless）傳輸通道，時常以如下的數學模型來描述： $$ r(t)=g\,s(t)+n(t) $$ 其中 $s(t)$、$r(t)$、$n(t)$ 與 $g$ 分別為傳送訊號（transmitted signal）、接收訊號（received signal）、雜訊（noise）與衰減因子（fading factor）。有一個常見的作法是把 $g$ 當作萊利（Rayleigh）隨機變數（random variable），並且用這樣子的方式來產生： $$ g=\sqrt{X^2+Y^2} $$ 其中 $X$ 和 $Y$ 是平均值（mean）為 $0$、方差（variance）為 $\sigma^2$、且兩者獨立（independent）的高斯（Gaussian）隨機變數。 (一) 請寫出 $X$ 的機率密度函數（probability density function）。 (二) 請寫出 $g$ 的機率密度函數。 (三) 若是 $\sigma=1$，那麼 $E(g^2)=$？（$E(g^2)$ 表示 $g^2$ 的期望值（expectation）。）

Accepted Answer

核心觀念

本題考高斯隨機變數的機率密度函數，以及兩個相互獨立、同分布的零均值高斯變數所形成的包絡值。令

g=\sqrt{X^2+Y^2},

則 $g$ 是平面隨機向量 $(X,Y)$ 的長度，服從萊利分布（Rayleigh distribution）。

解題方法

（一） $X$ 的機率密度函數

已知 $X\sim\mathcal{N}(0,\sigma^2)$ ，套用平均數為 $0$ 、方差為 $\sigma^2$ 的高斯分布密度函數：

f_X(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} \exp\left(-\frac{x^2}{2\sigma^2}\right), \qquad -\infty<x<\infty.

（二） $g$ 的機率密度函數

由 $g=\sqrt{X^2+Y^2}$ ，可改用極座標表示：

X=g\cos\theta,\qquad Y=g\sin\theta, \qquad g\ge 0,\;0\le\theta<2\pi.

因 $X,Y$ 獨立，聯合機率密度函數為

f_{X,Y}(x,y) =\frac{1}{2\pi\sigma^2} \exp\left(-\frac{x^2+y^2}{2\sigma^2}\right).

極座標轉換的雅可比行列式為 $g$ ，因此

f_{g,\Theta}(g,\theta) =\frac{g}{2\pi\sigma^2} \exp\left(-\frac{g^2}{2\sigma^2}\right).

對 $\theta$ 從 $0$ 到 $2\pi$ 積分，得到 $g$ 的邊際密度：

Question 5

有一個資訊源（information source），它會傳送出去的訊符（symbol）包括 $x_k$ ， $k=1,2,\ldots,7$ 等 7 種，而且傳送 $x_k$ 的機率為 $p_k$ 。假設 $p_k$ 的數值如下所示：

p_1=\frac{3}{32},\quad p_2=\frac{1}{32},\quad p_3=\frac{5}{32},\quad p_4=\frac{2}{32},\quad p_5=\frac{10}{32},\quad p_6=\frac{4}{32},\quad p_7=\frac{7}{32}

(一) 請計算此資訊源的熵值（entropy）。請將熵值的衡量單位以位元（bits）來表示；也就是說，當你作相關的對數計算時，請以 $2$ 為底。

附註：你可能會需要這些數值：

\log_2(3)\approx1.585,\qquad \log_2(5)\approx2.322,\qquad \log_2(7)\approx2.807

(二) 請以霍夫曼編碼（Huffman coding）來對此資訊源作編碼，使其平均碼長（average code-length）盡量小。

(三) 經過霍夫曼編碼之後，此資訊源的平均碼長之數值為何？

Accepted Answer

核心觀念 本題考資訊源的熵與霍夫曼編碼。 離散資訊源的熵為 $$ H(X)=-\sum{k=1}^{7}pk\log2pk, $$ 單位是 bits，代表每個訊符平均所含的資訊量。霍夫曼編碼則反覆合併機率最小的兩個節點，直到形成一棵二元樹；由根節點到各訊符的路徑即為其碼字。 （一）計算資訊源熵值 令 $pk=ak/32$，其中 $$ (a1,a2,\ldots,a7)=(3,1,5,2,10,4,7),\qquad \sum{k=1}^7 ak=32. $$ 因此 $$ \begin{aligned} H(X) &=-\sum{k=1}^{7}\frac{ak}{32}\log2\frac{ak}{32}\ &=\log2 32-\frac{1}{32}\sum{k=1}^{7}ak\log2ak\ &=5-\frac{3\log2 3+5\log2 5+10\log2 10+4\log2 4+7\log2 7}{32}. \end{aligned} $$ 其中 $1\log2 1=0$、$2\log2 2=2$，且 $\log2 10=1+\log2 5$。代入題目提供的近似值： $$ \begin{aligned} H(X) &\approx 5-\frac{3(1.585)+5(2.322)+10(3.322)+4(2)+7(2.807)}{32}\ &\approx 2.702\ 	ext{bits/訊符}. \end{aligned} $$ （二）霍夫曼編碼 以分子 $ak$ 表示各訊符的權重，依序合併最小的兩個權重： | 合併步驟 | 合併的權重 | 新權重 | |---|---:|---:| | 1 | $1(x2)+2(x4)$ | $3$ | | 2 | $3(x1)+3(x2,x4)$ | $6$ | | 3 | $4(x6)+5(x3)$ | $9$ | | 4 | $6(x1,x2,x4)+7(x7)$ | $13$ | | 5 | $9(x3,x6)+10(x5)$ | $19$ | | 6 | $13+19$ | $32$ |

Question 6

在本問題中將探討通訊鏈結預算之分析（link budget analysis）。假設有一艘太空船對著地球傳送電波，傳送功率為 $1$ 瓦特；太空船的天線增益（gain）為 $10\ \mathrm{dB}$ ，在地球上接收訊號的碟形天線之增益為 $50\ \mathrm{dB}$ ；在傳送過程中訊號衰減了 $180\ \mathrm{dB}$ 。假設在接收端等效的熱雜訊（thermal noise）之雜訊溫度（noise temperature）為絕對溫度 $300^\circ\mathrm{K}$ ；以 $N_0$ 代表此雜訊的單邊功率頻譜密度（single-sided power spectral density）。

(一) 在地球上所收到的訊號之功率為何？

(二) 請算出 $N_0$ 的數值。

附註：其中要用到波茲曼常數（Boltzmann's constant）：

k=1.38\times10^{-23}\ \mathrm{watt\text{-}sec/K}

(三) 以 $E_b$ 代表在接收端所收到的一個位元之能量。若要求 $\frac{E_b}{N_0}$ 須達到 $7\ \mathrm{dB}$ 以上，那麼在此通訊傳輸場景中，可以容許的最大傳輸速率為何？

Accepted Answer

核心觀念

本題考查通訊鏈結預算、熱雜訊功率頻譜密度，以及位元能量與雜訊比的關係。

鏈結預算以分貝表示時，發射功率、天線增益與傳輸衰減可以直接相加減。瓦特轉為 dBW 的公式為

P_{\mathrm{dBW}}=10\log_{10}\left(\frac{P}{1\ \mathrm{W}}\right)

接收端的熱雜訊單邊功率頻譜密度為

N_0=kT

其中 $k$ 為波茲曼常數， $T$ 為絕對溫度。若位元速率為 $R_b$ ，則每位元能量為 $E_b=P_r/R_b$ ，因此

\frac{E_b}{N_0}=\frac{P_r}{R_bN_0}

解題方法

（一）接收訊號功率

發射功率為 $1\ \mathrm{W}$ ，即 $0\ \mathrm{dBW}$ 。鏈結預算中，發射天線增益與接收天線增益相加，傳輸衰減則扣除：

P_r(\mathrm{dBW}) =0+10+50-180 =-120\ \mathrm{dBW}

換算為瓦特：

P_r=10^{-120/10}\ \mathrm{W} =10^{-12}\ \mathrm{W}

（二）單邊雜訊功率頻譜密度 $N_0$

將 $T=300\ \mathrm{K}$ 代入 $N_0=kT$ ：

N_0=(1.38\times10^{-23})(300) =4.14\times10^{-21}\ \mathrm{W/Hz}

因為 $\mathrm{Hz}^{-1}=\mathrm{sec}$ ，也可寫成 $\mathrm{W\cdot sec}$ 。

109 專技高考高等考試電子工程技師通訊系統考古題詳解

第 1 題16 分

核心觀念

解題方法

（一）輸入、雜訊與輸出的關係

（二） $w(t)$ 是否為 WSS？WSS 的定義為何？

（三） $t=0$ 時的平均值

（四）自相關函數

第 2 題17 分

核心觀念

解題方法與推導

(一) 五種訊號的對應

第 3 題20 分

核心觀念

解題方法

(一) 調變方式與選項分析

(二) 同調解調器

(三) 正交條件與最小頻率間隔

第 4 題12 分

核心觀念

解題方法

第 5 題17 分

核心觀念

（一）計算資訊源熵值

（二）霍夫曼編碼

第 6 題18 分

核心觀念

解題方法

（一）接收訊號功率

（二）單邊雜訊功率頻譜密度 $N_0$

（三）最大位元傳輸速率

其他考古題

109 年電子工程技師的其他科目

電子工程技師《通訊系統》其他年度

109 專技高考高等考試 電子工程技師 通訊系統 考古題詳解

第 1 題16 分

核心觀念

解題方法

（一）輸入、雜訊與輸出的關係

（二）w(t)w(t)w(t) 是否為 WSS？WSS 的定義為何？

（三）t=0t=0t=0 時的平均值

（四）自相關函數

第 2 題17 分

核心觀念

解題方法與推導

(一) 五種訊號的對應

第 3 題20 分

核心觀念

解題方法

(一) 調變方式與選項分析

(二) 同調解調器

(三) 正交條件與最小頻率間隔

第 4 題12 分

核心觀念

解題方法

第 5 題17 分

核心觀念

（一）計算資訊源熵值

（二）霍夫曼編碼

第 6 題18 分

核心觀念

解題方法

（一）接收訊號功率

（二）單邊雜訊功率頻譜密度 N0N_0N0​

（三）最大位元傳輸速率

其他考古題

109 年電子工程技師的其他科目

電子工程技師《通訊系統》其他年度

109 專技高考高等考試電子工程技師通訊系統考古題詳解

（二） $w(t)$ 是否為 WSS？WSS 的定義為何？

（三） $t=0$ 時的平均值

（二）單邊雜訊功率頻譜密度 $N_0$