109 專技高考高等考試 電子工程技師 工程數學（包括線性代數、微分方程、向量分析、複變函數與機率） 考古題詳解

核心觀念

本題考查二階變係數線性齊次常微分方程式（Second-Order Linear Homogeneous ODE）之解法。 當已知二階線性齊次方程式

的一個已知非零解 $y_1(x)$ 時，可利用降階法（Reduction of Order）求解另一個與 $y_1(x)$ 線性獨立（Linearly Independent）的解 $y_2(x)$。

降階法之核心理論依據為：

1. 設未知解為 $y(x) = u(x) y_1(x)$，代入原方程式後，因 $y_1(x)$ 為解，會使含 $u(x)$ 的項自動消去，轉化為對 $v(x) = u'(x)$ 的一階可分離變數微分方程式。
2. 亦可直接推導出標準積分公式：

3. 由疊加原理（Superposition Principle），二階齊次線性 ODE 之通解由兩線性獨立解構成：

解題方法

步驟一：整理為標準形式並確認已知條件

題目給定微分方程式：

比對標準型 $y'' + P(x)y' + Q(x)y = 0$，得：

已知特解為：

步驟二：利用降階法推導第二獨立解 $y_2(x)$

令 $y(x) = u(x) y_1(x) = x u(x)$，依連鎖律進行微分：

將 $y, y', y''$ 代入原方程式：

依 $u'', u', u$ 整理各項係數：

此時 $u$ 之項次互相抵消為 $0$（符合降階法特性），中間項化簡為：

方程式簡化為：

步驟三：解一階分離變數方程式求 $u(x)$

令 $v(x) = u'(x)$，則方程式成為：

將右式進行部分分式拆解（Partial Fraction Decomposition）：

兩邊同時積分：

核心觀念

本題屬於工程數學中「含參變數積分（Leibniz 微積分法則）」與「常微分方程式（ODE）」的跨單元綜合題，核心考核以下觀念與公式：

1. 含參變數積分的微分（Leibniz Integral Rule）： 若積分區間與被積函數滿足連續與可微條件，可將對參數的微分移入積分符號內：

2. 定積分的變數代換法（Substitution Method）： 利用對稱性變數代換 $u = \frac{x}{t}$，將微分後的積分式還原為原函數 $y(x)$ 的倍數形式。
3. 一階可分離變數微分方程式： 將積分轉化為 $\frac{dy}{dx} = k y$ 型式之微分方程式，其通解為指數衰減函數 $y(x) = C e^{kx}$。
4. 高斯積分（Gaussian Integral）作為初始條件： 已知 $\int_0^\infty e^{-t^2}\,dt = \frac{1}{2}\sqrt{\pi}$，用以決定常微分方程式的待定常數 $C$。

解題方法

考慮 $x > 0$，將 $y$ 視為 $x$ 的函數，記作 $y(x) = \int_0^\infty e^{-\left(t^2+\frac{x^2}{t^2}\right)}\,dt$。

步驟一：對參數 $x$ 微分（應用 Leibniz 法則）

依題意提示，將 $y(x)$ 對 $x$ 微分，交換微分與積分順序：

對被積函數進行偏微分：

代回得：

步驟二：變數代換，建立微分方程式

令變數 $u = \frac{x}{t}$（因 $x > 0$ 且 $t > 0$，故 $u > 0$），則：

• $t = \frac{x}{u}$
• 微分得 $du = -\frac{x}{t^2}\,dt \implies \left(-\frac{2x}{t^2}\right)\,dt = 2\,du$
• 積分上下限變換：當 $t \to 0^+$ 時，$u \to \infty$；當 $t \to \infty$ 時，$u \to 0^+$
• 指數項變換：$t^2 + \frac{x^2}{t^2} = \left(\frac{x}{u}\right)^2 + u^2 = u^2 + \frac{x^2}{u^2}$

將上述代入微分式中：

由於定積分與積分變數符號無關（$u$ 為虛擬變數 dummy variable），右式即為原定義的 $-2y(x)$：

核心觀念

本題評量拉普拉斯反轉換（Inverse Laplace Transform）中處理「假分式」與「含共軛複數極點之二次式」的標準解題能力，核心包含以下觀念與公式：

1. 假分式處理（多項式長除法）： 若有理函數 $F(s) = \frac{P(s)}{Q(s)}$ 的分子多項式次數大於或等於分母多項式次數（$\deg P \ge \deg Q$），必須先進行長除法分離出商式多項式與真分式餘式。
2. 脈衝函數（Dirac Delta Function）的轉換： $\mathcal{L}\{\delta(t)\} = 1 \iff \mathcal{L}^{-1}\{1\} = \delta(t)$
3. 第一位移定理（$s$-軸平移定理）： 若 $\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\} = f(t)$，則： $\mathcal{L}^{-1}\{F(s-a)\} = e^{at}f(t)$
4. 基本阻尼三角函數的反轉換標準式： $\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{s-a}{(s-a)^2+\omega^2}\right\} = e^{at}\cos(\omega t)$ $\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{\omega}{(s-a)^2+\omega^2}\right\} = e^{at}\sin(\omega t)$

解題方法

給定待求反拉普拉斯轉換之函數： $F(s) = \frac{s(s+2)}{s^2+4s+13}$

步驟一：展開分子並利用長除法化為真分式

分子展開為 $s^2+2s$。因分子與分母同為二次式，先進行多項式除法： $s^2+2s = 1 \cdot (s^2+4s+13) - (2s+13)$

因此，$F(s)$ 可改寫為： $F(s) = 1 - \frac{2s+13}{s^2+4s+13}$

步驟二：分母配方與分子平移對齊

分母二次式具有共軛複數根，進行配方法： $s^2+4s+13 = (s+2)^2 + 9 = (s+2)^2 + 3^2$ 對應平移量為 $s \to s+2$，故分子亦須湊成 $(s+2)$ 的線性組合： $2s+13 = 2(s+2) + 9$

將真分式拆解為標準的餘弦與正弦形式：

核心觀念

本題評量複變函數論中「複數對數函數（Complex Logarithm Function）」之基本定義與求值。

1. 複數的極式（Polar Form）： 任一非零複數 $z = x + iy$ 可表示為極式：

其中：

• 模數（Modulus）：$r = |z| = \sqrt{x^2 + y^2}$
• 主引數（Principal Argument）：$\text{Arg}(z) \in (-\pi, \pi]$
• 一般引數（General Argument）：$\arg(z) = \text{Arg}(z) + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$

2. 複數對數函數的定義： 根據尤拉公式與反函數定義，非零複數 $z$ 之自然對數為多值函數（Multi-valued Function）：

• 主值（Principal Value）（通常以大寫符號 $\text{Ln}\,z$ 表示，或在未特別聲明多值時預設為主值，即取 $k = 0$）：

解題方法

給定方程式為 $\ln(2+2i) = a + ib$（$a, b \in \mathbb{R}$）。求解步驟如下：

步驟一：計算複數 $z = 2+2i$ 的模數與主引數

令 $z = 2 + 2i$，對應於複數平面上之點 $(2, 2)$：

1. 計算模數 $|z|$：

2. 計算主引數 $\text{Arg}(z)$： 因為實部 $x = 2 > 0$ 且虛部 $y = 2 > 0$，該點位於複數平面的第一象限：

步驟二：展開複數對數函數

將模數與引數代入複數對數展開式：

核心觀念

本題評量向量分析（Vector Analysis）中「向量場的線積分」（Line Integrals of Vector Fields）以及「空間直線參數化」之基礎運算能力。涉及之核心定理與公式如下：

1. 向量線積分定義： 設向量場 $\mathbf{v} = v_1\mathbf{i} + v_2\mathbf{j} + v_3\mathbf{k}$，位置向量為 $\mathbf{r} = x\mathbf{i} + y\mathbf{j} + z\mathbf{k}$（故 $d\mathbf{r} = dx\,\mathbf{i} + dy\,\mathbf{j} + dz\,\mathbf{k}$），沿路徑 $C$ 的線積分為：

2. 積分路徑的加成性： 若路徑 $C$ 由兩條分段光滑曲線 $C_1$ 與 $C_2$ 連接而成，則線積分具備加成性：

3. 空間直線線段參數化公式： 從起點 $P_0(x_0, y_0, z_0)$ 指向終點 $P_1(x_1, y_1, z_1)$ 的有向線段，其標準參數式為：

其中向量 $d\mathbf{r} = (P_1 - P_0)\,dt$。

解題方法

步驟一：路徑拆解與策略確立

目標路徑 $C$ 為折線，依序由 $\overrightarrow{AB}$ 與 $\overrightarrow{BD}$ 組成，定義：

• $C_1$：從 $A(0,1,0)$ 到 $B(2,0,1)$ 的線段
• $C_2$：從 $B(2,0,1)$ 到 $D(3,2,1)$ 的線段

因此總積分表示為：

給定之向量場與微分元素展開為：

步驟二：計算第一段線段 $C_1$（由 $A$ 至 $B$）之線積分

1. 求 $C_1$ 之參數式： 起點 $A(0,1,0)$，終點 $B(2,0,1)$，方向向量 $\overrightarrow{AB} = B - A = (2, -1, 1)$。 設參數為 $t \in [0, 1]$：

2. 代入被積函數：

3. 進行積分：

核心觀念

1. 空間曲線的弧長（Arc Length）公式： 若空間曲線 $C$ 以參數式表示為 $\mathbf{r}(t) = \langle x(t), y(t), z(t) \rangle$，當參數由 $t = t_1$ 連續變動至 $t = t_2$ 且曲線不自我重複遍歷時，其弧線長 $L$ 定義為微元 $ds = \|\mathbf{r}'(t)\| \, dt$ 的定積分：

2. 端點與參數的對應關係： 計算弧長前，必須先根據起點 $P_1$ 與終點 $P_2$ 的坐標值，反求出對應的積分上下限 $t_1$ 與 $t_2$。

解題方法

步驟一：求積分上下限（參數範圍） 曲線參數式為：

• 對於起點 $P_1 = (0, 0, 3)$：

故下限取 $t_1 = 0$。

• 對於終點 $P_2 = \left(1, \frac{1}{2}, 4\right)$：

由於點從 $P_1$ 移動至 $P_2$，選取參數單調遞增的方向，取 $t_2 = 1$（參數區間為 $t \in [0, 1]$）。

步驟二：計算切向量與速率大小（微分運算） 各坐標分量對 $t$ 微分：

代入速率項（弧長微元密度）：

核心觀念

1. 累積分布函數（CDF）之性質與區間機率：

• 對於任意隨機變數 $X$，區間機率滿足 $P(a < X \leq b) = F(b) - F(a)$。
• 若 $F(x)$ 為處處連續之函數，則 $X$ 為連續型隨機變數，單點機率 $P(X = c) = 0$，此時端點開閉不影響機率值，即： $P(a \leq X \leq b) = P(a < X \leq b) = F(b) - F(a)$

2. 機率密度函數（PDF）之推導：

• 連續型隨機變數的機率密度函數 $f(x)$ 為累積分布函數 $F(x)$ 之一階導數： $f(x) = \frac{d}{dx}F(x)$

3. 期望值（Expected Value）之定義：

• 連續型隨機變數 $X$ 之期望值定義為： $E[X] = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x)\,dx$
• 對於非負隨機變數（$X \geq 0$），亦可透過尾機率（Survival function）積分求解： $E[X] = \int_{0}^{\infty} [1 - F(x)]\,dx$

解題方法

步驟一：檢驗 $F(x)$ 之連續性

觀察分段點 $x = 0, 1, 2$ 處的左右極限與函數值：

• $x = 0$ 處：$F(0^-) = 0$，$F(0) = \dfrac{0}{4} = 0$，連續。
• $x = 1$ 處：$\lim_{x \to 1^-} F(x) = \dfrac{1}{4}$，$F(1) = \dfrac{3(1)}{4} - \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{4}$，連續。
• $x = 2$ 處：$\lim_{x \to 2^-} F(x) = \dfrac{3(2)}{4} - \dfrac{1}{2} = 1$，$F(2) = 1$，連續。

因 $F(x)$ 處處連續，無跳躍點（jump discontinuity），確認 $X$ 為連續型隨機變數。

步驟二：計算機率 $P\left(\dfrac{1}{2} \leq X \leq \dfrac{3}{2}\right)$

利用連續隨機變數之區間機率公式： $P\left(\frac{1}{2} \leq X \leq \frac{3}{2}\right) = F\left(\frac{3}{2}\right) - F\left(\frac{1}{2}\right)$

分別代入 $F(x)$ 的對應區間定義：

1. 當 $x = \dfrac{1}{2}$ 時，屬於 $0 \leq x < 1$ 區間： $F\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\frac{1}{2}}{4} = \frac{1}{8}$
2. 當 $x = \dfrac{3}{2}$ 時，屬於 $1 \leq x < 2$ 區間： $F\left(\frac{3}{2}\right) = \frac{3\left(\frac{3}{2}\right)}{4} - \frac{1}{2} = \frac{9}{8} - \frac{4}{8} = \frac{5}{8}$

代入相減得： $P\left(\frac{1}{2} \leq X \leq \frac{3}{2}\right) = \frac{5}{8} - \frac{1}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$

步驟三：求機率密度函數 $f(x)$ 並計算期望值 $E[X]$

對 $F(x)$ 分段微分求 $f(x)$：

核心觀念

1. 線性轉換的矩陣表示式（Matrix Representation）： 設 $V$ 與 $W$ 分別為有限維向量空間，且 $\alpha = \{v_1, v_2, \dots, v_n\}$ 為 $V$ 的一組基底，$\beta = \{w_1, w_2, \dots, w_m\}$ 為 $W$ 的一組基底。線性轉換 $L: V \to W$ 對應於基底 $\alpha$ 與 $\beta$ 的矩陣表示式記為 $[L]_\alpha^\beta$，其大小為 $m \times n$。 矩陣的第 $j$ 個行向量（column vector），即為將輸入基底向量 $v_j$ 送入 $L$ 後，所得到的像向量 $L(v_j)$ 在輸出空間基底 $\beta$ 下的座標向量 $[L(v_j)]_\beta$：

2. 標準基底（Standard Basis）： $\mathbb{R}^2$ 的標準基底為 $\mathcal{E}_2 = \left\{ e_1, e_2 \right\} = \left\{ \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} \right\}$； $\mathbb{R}^3$ 的標準基底為 $\mathcal{E}_3 = \left\{ \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} \right\}$。 在此基底下的轉換矩陣簡記為 $[L]$ 或 $[L]_{\mathcal{E}_2}^{\mathcal{E}_3}$。

3. 基底變換公式（Change of Basis）： 若已知標準矩陣 $[L]_{\mathcal{E}_2}^{\mathcal{E}_3}$，亦可藉由基底變換矩陣求得 $[L]_\beta^\gamma$：

其中 $P_\beta$ 為輸入基底向量所組成的矩陣，$P_\gamma$ 為輸出基底向量所組成的矩陣。

解題方法

第一部分：求標準基底下的矩陣表示式

1. 將 $\mathbb{R}^2$ 的標準基底向量代入轉換公式 $L(x_1, x_2) = \begin{bmatrix} x_2 \\ x_1 + x_2 \\ x_1 - x_2 \end{bmatrix}$：

2. 將得到的像向量按行排列，即得標準矩陣表示式 $[L]$：

第二部分：求指定基底下的矩陣表示式

令輸入基底為 $\beta = \{v_1, v_2\}$，輸出基底為 $\gamma = \{w_1, w_2, w_3\}$，其中：

步驟一：計算輸入基底向量的轉換像 $L(v_1)$ 與 $L(v_2)$

步驟二：將 $L(v_1)$ 與 $L(v_2)$ 表示為基底 $\gamma$ 向量的線性組合

1. 求解 $[L(v_1)]_\gamma = \begin{bmatrix} c_1 \\ c_2 \\ c_3 \end{bmatrix}$：

即：

核心觀念

本題旨在測驗線性代數中核心的葛蘭姆－史密特正交化演算法（Gram-Schmidt Orthogonalization Process）。

1. 正交基底定義： 一組非零向量基底 $\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_n\}$ 若滿足任意兩不同向量之歐氏內積為零，即： $\langle \mathbf{v}_i, \mathbf{v}_j \rangle = \mathbf{v}_i^T \mathbf{v}_j = 0 \quad (\forall i \neq j)$ 則稱此向量集合為該空間之正交基底（Orthogonal Basis）。若進一步將各向量單位化（$\|\mathbf{v}_i\| = 1$），則稱為標準正交基底（Orthonormal Basis）。

2. Gram-Schmidt 正交化公式： 給定一組線性獨立的基底 $\{\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \mathbf{u}_3\}$，依序構造正交基底 $\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3\}$ 的遞迴公式為：

• 第一向量： $\mathbf{v}_1 = \mathbf{u}_1$
• 第二向量（減去在 $\mathbf{v}_1$ 上的正交投影分量）： $\mathbf{v}_2 = \mathbf{u}_2 - \text{proj}_{\mathbf{v}_1}(\mathbf{u}_2) = \mathbf{u}_2 - \frac{\langle \mathbf{u}_2, \mathbf{v}_1 \rangle}{\|\mathbf{v}_1\|^2} \mathbf{v}_1$
• 第三向量（減去在 $\mathbf{v}_1$ 與 $\mathbf{v}_2$ 上的正交投影分量）： $\mathbf{v}_3 = \mathbf{u}_3 - \text{proj}_{\mathbf{v}_1}(\mathbf{u}_3) - \text{proj}_{\mathbf{v}_2}(\mathbf{u}_3) = \mathbf{u}_3 - \frac{\langle \mathbf{u}_3, \mathbf{v}_1 \rangle}{\|\mathbf{v}_1\|^2} \mathbf{v}_1 - \frac{\langle \mathbf{u}_3, \mathbf{v}_2 \rangle}{\|\mathbf{v}_2\|^2} \mathbf{v}_2$

解題方法

由矩陣 $A = [\mathbf{u}_1 \ \mathbf{u}_2 \ \mathbf{u}_3]$ 可提取三行向量： $\mathbf{u}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}, \quad \mathbf{u}_2 = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}, \quad \mathbf{u}_3 = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$

依照以 $\mathbf{u}_1$ 為基礎的 Gram-Schmidt 演算法依序計算：

步驟一：求第一個正交向量 $\mathbf{v}_1$

取基準向量： $\mathbf{v}_1 = \mathbf{u}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$ 計算其長度平方（內積）： $\|\mathbf{v}_1\|^2 = \langle \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_1 \rangle = 1^2 + 1^2 + 1^2 = 3$

步驟二：求第二個正交向量 $\mathbf{v}_2$

計算 $\mathbf{u}_2$ 與 $\mathbf{v}_1$ 之內積： $\langle \mathbf{u}_2, \mathbf{v}_1 \rangle = (0)(1) + (1)(1) + (1)(1) = 2$ 扣除投影分量： $\mathbf{v}_2 = \mathbf{u}_2 - \frac{\langle \mathbf{u}_2, \mathbf{v}_1 \rangle}{\|\mathbf{v}_1\|^2} \mathbf{v}_1 = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} - \frac{2}{3} \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2/3 \\ 1/3 \\ 1/3 \end{bmatrix} = \frac{1}{3} \begin{bmatrix} -2 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$

計算其長度平方： $\|\mathbf{v}_2\|^2 = \left(-\frac{2}{3}\right)^2 + \left(\frac{1}{3}\right)^2 + \left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{4 + 1 + 1}{9} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$

步驟三：求第三個正交向量 $\mathbf{v}_3$

計算 $\mathbf{u}_3$ 分別與 $\mathbf{v}_1$、$\mathbf{v}_2$ 之內積： $\langle \mathbf{u}_3, \mathbf{v}_1 \rangle = (0)(1) + (0)(1) + (1)(1) = 1$ $\langle \mathbf{u}_3, \mathbf{v}_2 \rangle = (0)\left(-\frac{2}{3}\right) + (0)\left(\frac{1}{3}\right) + (1)\left(\frac{1}{3}\right) = \frac{1}{3}$

分別計算兩投影項：

• 於 $\mathbf{v}_1$ 上之投影：