112 專技高考高等考試 電子工程技師 工程數學（包括線性代數、微分方程、向量分析、複變函數與機率） 考古題詳解

112 年・專技高考・高等考試・電子工程技師
試題代碼 工程數學（包括線性代數、微分方程、向量分析、複變函數與機率）

第 一 題20 分

TT 是 R3R^3 到 R3R^3 的線性轉換，且

T[111]=[302],T[121]=[402],T\begin{bmatrix}1\\1\\1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}3\\0\\2\end{bmatrix},\qquad T\begin{bmatrix}1\\2\\1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}4\\0\\2\end{bmatrix}, T[123]=[404].T\begin{bmatrix}1\\2\\3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}4\\0\\4\end{bmatrix}.

求

T[xyz].T\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}.

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核心觀念

線性轉換遵守線性組合性質：若向量 vv 可寫成已知向量 v1,v2,v3v_1,v_2,v_3 的線性組合，則

T(v)=T(av1+bv2+cv3)=aT(v1)+bT(v2)+cT(v3).T(v)=T(a v_1+b v_2+c v_3)=aT(v_1)+bT(v_2)+cT(v_3).

題目給的三個輸入向量線性獨立，因此可作為 R3R^3 的一組基底。將一般向量 [xyz]T\begin{bmatrix}x&y&z\end{bmatrix}^{\mathsf T} 表成這組基底的線性組合，再利用線性即可求出其像。

解題方法

令

v1=[111],v2=[121],v3=[123].v_1=\begin{bmatrix}1\\1\\1\end{bmatrix},\qquad v_2=\begin{bmatrix}1\\2\\1\end{bmatrix},\qquad v_3=\begin{bmatrix}1\\2\\3\end{bmatrix}.

設

[xyz]=av1+bv2+cv3.\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix} =a v_1+b v_2+c v_3.

比較分量得

{a+b+c=x,a+2b+2c=y,a+b+3c=z.\begin{cases} a+b+c=x,\\ a+2b+2c=y,\\ a+b+3c=z. \end{cases}

由第二式減第一式，得 b+c=y−xb+c=y-x；由第三式減第一式，得 2c=z−x2c=z-x。因此

c=z−x2,b=2y−x−z2,a=3x−2y+z2.c=\frac{z-x}{2},\qquad b=\frac{2y-x-z}{2},\qquad a=\frac{3x-2y+z}{2}.
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第 二 題20 分

求解二階微分方程

y′′(t)+4y′(t)+3y(t)=3δ(t−2),y''(t)+4y'(t)+3y(t)=3\delta(t-2),

其中 δ(t)\delta(t) 為脈衝函數，且

y(0)=0,y′(0)=0。y(0)=0,\qquad y'(0)=0。

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核心觀念

本題考查狄拉克脈衝作用下的二階線性微分方程。脈衝 δ(t−2)\delta(t-2) 集中作用於 t=2t=2，其在該點的積分為 11，因此右側的 3δ(t−2)3\delta(t-2) 會使 y′(t)y'(t) 在 t=2t=2 發生大小為 33 的跳躍，而 y(t)y(t) 保持連續。

也可用單位階躍函數 u(t−2)u(t-2) 與拉普拉斯轉換處理，其中

L{δ(t−a)}=e−as.\mathcal{L}\{\delta(t-a)\}=e^{-as}.

解題方法

對方程

y′′(t)+4y′(t)+3y(t)=3δ(t−2)y''(t)+4y'(t)+3y(t)=3\delta(t-2)

作拉普拉斯轉換。由初始條件 y(0)=y′(0)=0y(0)=y'(0)=0，

(s2+4s+3)Y(s)=3e−2s.(s^2+4s+3)Y(s)=3e^{-2s}.

因為 s2+4s+3=(s+1)(s+3)s^2+4s+3=(s+1)(s+3)，故

Y(s)=3e−2s(s+1)(s+3).Y(s)=\frac{3e^{-2s}}{(s+1)(s+3)}.

先作部分分式分解：

3(s+1)(s+3)=32(1s+1−1s+3).\frac{3}{(s+1)(s+3)} =\frac{3}{2}\left(\frac{1}{s+1}-\frac{1}{s+3}\right).

因此

L−1{3(s+1)(s+3)}=32(e−t−e−3t).\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{3}{(s+1)(s+3)}\right\} =\frac{3}{2}\left(e^{-t}-e^{-3t}\right).
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第 三 題20 分

利用史托克定理（Stokes' Theorem）計算封閉曲線積分

∮C(−yi+xj−xyzk)⋅dR,\oint_C(-y\mathbf{i}+x\mathbf{j}-xyz\mathbf{k})\cdot d\mathbf{R},

其中 R\mathbf{R} 為位置向量（position vector），CC 為

x2+y2+z2=1,z≥0x^2+y^2+z^2=1,\qquad z\geq 0

半球表面之邊界曲線。

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核心觀念

史托克定理（Stokes’ Theorem）將封閉曲線上的線積分轉換為曲面上的旋度通量：

∮CF⋅dR=∬S(∇×F)⋅n dS,\oint_C \mathbf F\cdot d\mathbf R = \iint_S(\nabla\times\mathbf F)\cdot\mathbf n\,dS,

其中 F=(−y,x,−xyz)\mathbf F=(-y,x,-xyz)，SS 可取以 CC 為邊界的上半球面。曲線方向須與曲面法向量符合右手定則。

解題方法

先計算向量場的旋度：

∇×F=∣ijk∂x∂y∂z−yx−xyz∣=(−xz, yz, 2).\nabla\times\mathbf F = \begin{vmatrix} \mathbf i&\mathbf j&\mathbf k\\ \partial_x&\partial_y&\partial_z\\ -y&x&-xyz \end{vmatrix} = \left(-xz,\ yz,\ 2\right).

在單位球面上取外向法向量。因 x2+y2+z2=1x^2+y^2+z^2=1，球面上的單位外法向量為

n=(x,y,z).\mathbf n=(x,y,z).

因此旋度與法向量的內積為

(∇×F)⋅n=(−xz)x+(yz)y+2z=z(2−x2+y2).(\nabla\times\mathbf F)\cdot\mathbf n = (-xz)x+(yz)y+2z = z(2-x^2+y^2).

在上半球面 z≥0z\geq 0 上，以球座標表示：

x=sin⁡ϕcos⁡θ,y=sin⁡ϕsin⁡θ,z=cos⁡ϕ,x=\sin\phi\cos\theta,\qquad y=\sin\phi\sin\theta,\qquad z=\cos\phi,
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第 四 題20 分

請計算複變積分

∮C(z2+1z2−16+eπzz2+4+z21ez)dz\oint_C\left( z^2+\frac{1}{z^2-16} +\frac{e^{\pi z}}{z^2+4} +z^2\frac{1}{e^z} \right)dz

之值，其中 CC 為複數平面上 ∣z∣=3|z|=3 逆時鐘方向之圓。

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核心觀念

本題考複變函數的柯西積分定理與留數定理。若被積函數在閉曲線 CC 及其內部解析，則積分為 00；若有孤立奇點位於 CC 內，則逆時鐘方向的積分為

∮Cf(z) dz=2πi∑Res⁡(f;zk).\oint_C f(z)\,dz=2\pi i\sum \operatorname{Res}(f;z_k).

先確認各項的奇點是否落在 ∣z∣<3|z|<3 內，再計算內部奇點的留數。

解題方法

將被積函數拆成四項：

f(z)=z2+1z2−16+eπzz2+4+z2ez.f(z)=z^2+\frac{1}{z^2-16} +\frac{e^{\pi z}}{z^2+4} +\frac{z^2}{e^z}.

其中 z2ez=z2e−z\frac{z^2}{e^z}=z^2e^{-z}。

  1. z2z^2 在全平面解析，因此
∮Cz2 dz=0.\oint_C z^2\,dz=0.
  1. 1z2−16\frac{1}{z^2-16} 的奇點為 z=±4z=\pm4，兩者皆在 ∣z∣=3|z|=3 之外，因此此項在圓周及其內部解析：
∮C1z2−16 dz=0.\oint_C\frac{1}{z^2-16}\,dz=0.
  1. eπzz2+4\frac{e^{\pi z}}{z^2+4} 的奇點為 z=±2iz=\pm2i，兩者皆在 ∣z∣=3|z|=3 內。兩者皆為簡單極點，留數為
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第 五 題20 分

XX 和 YY 為連續隨機變數，其聯合分布機率密度函數為

fX,Y(x,y)={12,0≤y≤x≤2,0,其他.f_{X,Y}(x,y)= \begin{cases} \dfrac{1}{2}, & 0\leq y\leq x\leq 2,\\ 0, & \text{其他}. \end{cases}

求條件期望值

E[X∣Y=y]。E[X\mid Y=y]。

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核心觀念

本題考查連續型隨機變數的條件期望。先由聯合機率密度函數求出 YY 的邊際密度，再以

fX∣Y(x∣y)=fX,Y(x,y)fY(y)f_{X\mid Y}(x\mid y)=\frac{f_{X,Y}(x,y)}{f_Y(y)}

求條件密度，最後依條件期望的定義計算

E[X∣Y=y]=∫−∞∞xfX∣Y(x∣y) dx。E[X\mid Y=y]=\int_{-\infty}^{\infty}x f_{X\mid Y}(x\mid y)\,dx。

解題方法

由聯合密度的支撐區域 0≤y≤x≤20\le y\le x\le 2 可知，固定 yy 時，xx 的範圍是 y≤x≤2y\le x\le 2，且 0≤y≤20\le y\le 2。

先對 xx 積分，求 YY 的邊際密度：

fY(y)=∫y2fX,Y(x,y) dx=∫y212 dx=2−y2,0≤y≤2。f_Y(y)=\int_y^2 f_{X,Y}(x,y)\,dx =\int_y^2 \frac12\,dx =\frac{2-y}{2},\qquad 0\le y\le 2。

因此，對 0≤y<20\le y<2，

fX∣Y(x∣y)=fX,Y(x,y)fY(y)=122−y2=12−y,y≤x≤2。f_{X\mid Y}(x\mid y) =\frac{f_{X,Y}(x,y)}{f_Y(y)} =\frac{\frac12}{\frac{2-y}{2}} =\frac{1}{2-y},\qquad y\le x\le 2。

也就是說，給定 Y=yY=y 後，XX 在區間 [y,2][y,2] 上均勻分布。故

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