114 專技高考高等考試 電子工程技師 工程數學（包括線性代數、微分方程、向量分析、複變函數與機率） 考古題詳解

核心觀念

向量 $\mathbf{W}$ 能表示為 $\mathbf{V}_1,\mathbf{V}_2,\mathbf{V}_3$ 的線性組合，表示存在純量 $a,b,c$，使得

將向量分量對應相等，可得到聯立線性方程組，解出 $a,b,c$ 即可。

解題方法

代入題目給定的向量：

比較三個座標分量，得到

由第一式得 $c=a-2$；由第二式得 $b=\dfrac{1-4a}{3}$。代入第三式：

整理得

核心觀念

這題考三階常係數線性微分方程的通解，包含兩個部分：

1. 先解齊次方程，求特徵方程的根。
2. 再為非齊次項 $16e^{3x}$ 求一個特解，並與齊次解相加。

若右側為 $Ce^{ax}$，且 $a$ 不是特徵方程的根，可設特解為 $y_p=Ae^{ax}$。

解題方法

先解對應的齊次方程：

令 $y=e^{rx}$，得到特徵方程

分組因式分解：

特徵根為 $r=1,-1,4$，所以齊次解為

接著求特解。由於非齊次項是 $16e^{3x}$，且 $3$ 不是特徵根，設

其導數為

核心觀念

本題考格林定理的適用條件，以及向量場在原點有奇異點時的處理方式。令

格林定理為

其中 $P,Q$ 及其一階偏導數須在區域 $D$ 上適當連續。此向量場在原點沒有定義，因此若 $D$ 包含原點，不能直接對整個 $D$ 使用格林定理；須將原點附近挖除，再對剩餘區域使用定理。

解題方法

先計算旋度：

因此在 $(x,y)\ne(0,0)$ 處，

一、$C$ 不包含原點

若 $C$ 所圍區域不含原點，向量場在整個區域內光滑，直接套用格林定理：

二、$C$ 包含原點

設 $C$ 為正向（逆時針）曲線。以半徑 $\varepsilon$ 的圓盤挖去原點，剩餘區域的邊界包含外側的 $C$，以及方向為順時針的小圓 $C_\varepsilon$。由格林定理，

核心觀念

被積函數在 $z=1$ 有二階極點，在 $z=-2i$ 有一階極點；兩點都在圓 $|z|=3$ 內，因為 $|1|=1<3$、$|-2i|=2<3$。由留數定理，逆時鐘方向閉曲線積分等於 $2\pi i$ 乘以曲線內各孤立奇點的留數總和：

解題方法

先化簡分子：

因此

在二階極點 $z=1$，留數公式為

利用商數微分法則：

核心觀念

機率密度函數 $f(x)$ 必須滿足：

1. $f(x)\geq 0$。
2. 全部範圍下的總面積為 $1$： $\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx=1.$

累積分布函數定義為

解題方法

由題意，密度函數只在 $0\leq x\leq 1$ 非零，因此利用總面積為 $1$ 求 $k$：

故

將 $k=\frac32$ 代回密度函數。依累積分布函數的定義，分別處理 $x<0$、$0\leq x\leq1$ 與 $x>1$：