109 年專技高考高等考試電子工程技師考古題與詳解

Question 1

如圖一所示，為一圓柱形傳輸線。內導體半徑為 $a$，外導體半徑為 $b$。假設內導體的電位為 $V0$，每單位長度的帶電量為 $Q0$，外導體的電位為 $0$，兩導體之間填充介電係數為 $\varepsilon0$ 的介電質。 （每小題 5 分，共 25 分） （1）推導兩導體間電場分佈 $E(r)$ 的表示式。 （2）推導兩導體間電位分佈 $V(r)$ 的表示式。 （3）將 $Q0$ 表達為 $V0$、$\varepsilon0$、$a$ 及 $b$ 的函數。 （4）推導外導體內側電荷密度 $\rho0$ 的表示式。 （5）推導該傳輸線每單位長度的電容 $C0$ 表示式。

Accepted Answer

核心觀念 本題考查同軸圓柱導體間的靜電場、電位與單位長度電容。利用圓柱對稱性，電場只有徑向分量；再以高斯定律求出 $E(r)$，由 $Er=-dV/dr$ 求電位，最後套用電容定義 $C0=Q0/V0$。 以下假設 $ba$、導體足夠長而可忽略端點效應，且 $Q0$ 表示內導體每單位長度的帶電量。 （1）兩導體間的電場分佈 $E(r)$ 取半徑為 $r$、長度為 $L$ 的同軸圓柱高斯面，其中 $a<r<b$。由圓柱對稱性，電場大小在高斯面側面上相同，且方向為徑向。高斯定律給出 $$ \ointS \mathbf{E}\cdot d\mathbf{S} =Er(r)(2\pi rL) =\frac{Q{\mathrm{enc}}}{\varepsilon0} =\frac{Q0L}{\varepsilon0}. $$ 因此 $$ \boxed{\mathbf{E}(r)=\frac{Q0}{2\pi\varepsilon0r}\,\hat{\mathbf r},\qquad a<r<b.} $$ 若 $Q00$，電場由內導體指向外導體；若 $Q0<0$，方向相反。 （2）兩導體間的電位分佈 $V(r)$ 以外導體電位 $V(b)=0$ 為參考，並使用 $\mathbf{E}=-
abla V$： $$ V(r)-V(b)=-\intb^r \mathbf{E}\cdot d\mathbf{l} =\intr^b \frac{Q0}{2\pi\varepsilon0r'}\,dr'. $$ 積分後得到 $$ \boxed{V(r)=\frac{Q0}{2\pi\varepsilon0}\ln\frac{b}{r},\qquad a<r<b.} $$

Question 2

一矩形導波管，其截面邊長分別為 $a$ 和 $b$，且 $a=2b=3\ \mathrm{cm}$。該導波管內填充空氣，介電係數為 $\varepsilon0$、導磁係數為 $\mu0$。$TE{mn}$ 模態和 $TM{mn}$ 模態的截止頻率皆為 $$ fc=\frac{1}{\sqrt{\mu0\varepsilon0}} \sqrt{\left(\frac{m}{2a}\right)^2+\left(\frac{n}{2b}\right)^2}. $$ （1）標示截止頻率最低的三個 $TE{mn}$ 模態之模態指數 $(m,n)$。（6 分） （2）標示截止頻率最低的三個 $TM{mn}$ 模態之模態指數 $(m,n)$。（6 分） （3）計算僅一個模態可傳播的最低頻率 $f{\min}$ 和最高頻率 $f{\max}$。（6 分） （4）推導具有最低截止頻率的模態在頻率為 $ff{\min}$ 時的群速 $vg$ 表示式。（7 分）

Accepted Answer

核心觀念

矩形導波管各模態的截止頻率由模態指數 $(m,n)$ 決定。令 $c=1/\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}$ ，題目公式可寫成

f_{c,mn}=c\sqrt{\left(\frac{m}{2a}\right)^2+\left(\frac{n}{2b}\right)^2}.

$TE_{mn}$ 模態允許 $m,n$ 其中一個為 $0$ ，但不可同時為 $0$ ； $TM_{mn}$ 模態則要求 $m,n$ 均為正整數。比較截止頻率時，只要比較平方項即可。

解題方法

由 $a=2b=3\ \mathrm{cm}$ ，得

a=3\ \mathrm{cm},\qquad b=1.5\ \mathrm{cm}.

因此

f_{c,mn} =c\sqrt{\left(\frac{m}{6\ \mathrm{cm}}\right)^2+ \left(\frac{n}{3\ \mathrm{cm}}\right)^2} =\frac{c}{6\ \mathrm{cm}}\sqrt{m^2+4n^2}.

（1）截止頻率最低的三個 $TE_{mn}$ 模態

$TE$ 模態的指數可含 $0$ 。依 $m^2+4n^2$ 由小到大排列：

$TE_{10}$ ： $m^2+4n^2=1$
$TE_{20}$ ： $m^2+4n^2=4$
$TE_{01}$ ： $m^2+4n^2=4$

所以最低的三個模態為

\boxed{TE_{10},\ TE_{20},\ TE_{01}}.

$TE_{20}$ 與 $TE_{01}$ 截止頻率相同，皆為最低截止頻率的兩倍。

（2）截止頻率最低的三個 $TM_{mn}$ 模態

$TM$ 模態要求 $m,n\geq 1$ 。比較 $m^2+4n^2$ ：

$TM_{11}$ ： $1+4=5$
$TM_{21}$ ： $4+4=8$
$TM_{31}$ ： $9+4=13$

故最低的三個模態為

\boxed{TM_{11},\ TM_{21},\ TM_{31}}.

（3）僅一個模態可傳播的頻率範圍

最低截止頻率為 $TE_{10}$ ：

f_{\min}=f_{c,10} =\frac{c}{2a} =\frac{2.9979\times10^8}{2(0.03)} \approx 4.997\times10^9\ \mathrm{Hz}.

次低截止頻率由 $TE_{20}$ 與 $TE_{01}$ 共同取得：

Question 3

如圖二所示，一平面波自介質（1）入射，該入射波的電場為 $$ \mathbf{E}i = E0 \left( \frac{3}{2}\hat{\mathbf{x}} - \frac{1}{2}\hat{\mathbf{z}} ight) \cos\left[ 6\pi	imes10^9t-10\pi x+3z ight]. $$ 介質（1）的介電係數與導磁係數分別為 $\varepsilon0$、$\mu0$；介質（2）的介電係數與導磁係數分別為 $1.5\varepsilon0$、$\mu0$。入射角為 $60^\circ$。 （每小題 5 分，共 25 分） （1）計算頻率 $f$（Hz）及波長 $\lambda$（m）。 （2）計算折射角 $	hetar$。 （3）計算反射係數 $\Gamma$。 （4）推導反射波的電場表示式。 （5）推導折射波的電場表示式。

Accepted Answer

核心觀念

本題考平面波的相位常數與波長、斜入射折射，以及介面上的電場與磁場邊界條件。圖中電場位於入射面 $xz$ 平面，屬於平行極化（TM 極化）。

以下依照原頁掃描圖作答：圖中的入射電場為

\mathbf E_i=E_0\left(\frac{\sqrt3}{2}\hat{\mathbf x}-\frac12\hat{\mathbf z}\right) \cos\left[6\pi\times10^9t-10\pi(x+\sqrt3z)\right].

題目文字所列的電場係數與相位，和掃描圖內容不一致；以下採用掃描圖所示內容。

解題方法

（1）頻率 $f$ 與波長 $\lambda$

由入射波相位中的角頻率

\omega=6\pi\times10^9\ \text{rad/s},

可得

f=\frac{\omega}{2\pi}=3\times10^9\ \text{Hz}.

相位中的波數分量為 $k_x=10\pi$ 、 $k_z=10\pi\sqrt3$ ，故波數大小

k_1=\sqrt{(10\pi)^2+(10\pi\sqrt3)^2}=20\pi\ \text{rad/m}.

因此

\lambda_1=\frac{2\pi}{k_1}=0.1\ \text{m}.

（2）折射角 $\theta_r$

入射波向量與界面法線（ $x$ 方向）的夾角為 $60^\circ$ 。由史涅耳定律

\sqrt{\varepsilon_1\mu_1}\sin\theta_i =\sqrt{\varepsilon_2\mu_2}\sin\theta_r.

本題 $\mu_1=\mu_2=\mu_0$ ，且 $\varepsilon_2=1.5\varepsilon_0$ ，所以

\sin\theta_r =\frac{\sin60^\circ}{\sqrt{1.5}} =\frac{1}{\sqrt2}.

因此

\boxed{\theta_r=45^\circ}.

（3）反射係數 $\Gamma$

兩介質的本徵阻抗為

\eta_1=\eta_0,\qquad \eta_2=\frac{\eta_0}{\sqrt{1.5}}.

取圖示相容的反射電場單位方向

\hat{\mathbf e}_r=\frac{\sqrt3}{2}\hat{\mathbf x} +\frac12\hat{\mathbf z},

並令反射電場振幅為 $\Gamma E_0$ 、折射電場振幅為 $T E_0$ 。由界面切向電場連續：

-\frac12+\frac{\Gamma}{2}=-\frac{T}{\sqrt2}, \qquad T=\frac{1-\Gamma}{\sqrt2}.

入射、反射與折射磁場的切向分量連續，得

Question 4

如圖三所示，為一傳輸線，開關 $S$ 於 $t=0$ 時關閉。

（每小題 5 分，共 25 分）

（1）計算負載端（ $z=\ell$ ）的電壓波反射係數 $\Gamma_L$ 。

（2）計算電源端（ $z=0$ ）的電壓波反射係數 $\Gamma_S$ 。

（3）計算在 $z=\ell/2$ 、 $t=3\ \mu\mathrm{s}$ 時的電壓。

（4）計算在 $z=\ell/2$ 、 $t=3\ \mu\mathrm{s}$ 時的電流。

（5）計算在 $z=\ell/2$ 、 $t\to\infty$ 時的電壓。

圖三電路參數如下：

電源電壓： $100\ \mathrm{V}$
電源內阻： $40\ \Omega$
特性阻抗： $Z_0=60\ \Omega$
傳輸時間： $T=1\ \mu\mathrm{s}$
負載阻抗： $120\ \Omega$

Accepted Answer

核心觀念 本題考查無損傳輸線的暫態反射與多重反射。電壓波反射係數定義為 $$ \Gamma=\frac{Z{	ext{端}}-Z0}{Z{	ext{端}}+Z0} $$ 其中，負載端以 $ZL$ 代入；電源端以電源內阻 $RS$ 代入。開關閉合後，電源送入傳輸線的初始入射電壓為 $$ V0^+=VS\frac{Z0}{RS+Z0} $$ 沿 $+z$ 方向傳播的電壓波與電流波同向；沿 $-z$ 方向傳播的電壓波與電流波反向。因此，某點的總電壓是兩方向電壓波相加，總電流則是兩方向電流波相減。 解題方法 先求兩端反射係數與初始入射波，再依傳輸時間排列波前到達各位置的時刻。題目給的 $T=1\,\mu\mathrm{s}$ 為傳輸線單程傳輸時間，因此從一端到線段中點需時 $T/2=0.5\,\mu\mathrm{s}$。 （1）負載端電壓波反射係數 $$ \GammaL=\frac{ZL-Z0}{ZL+Z0} =\frac{120-60}{120+60} =\frac13 $$ （2）電源端電壓波反射係數 $$ \GammaS=\frac{RS-Z0}{RS+Z0} =\frac{40-60}{40+60} =-\frac15 $$ （3）、（4）中點在 $t=3\,\mu\mathrm{s}$ 的電壓與電流 開關閉合後的初始入射波為 $$ V0^+=100\frac{60}{40+60}=60\ \mathrm{V} $$ 各波前的到達時刻與反射振幅如下： | 波前事件 | 時刻 | 電壓波振幅 | |---|---:|---:| | 初始入射波到達中點 | $0.5\,\mu\mathrm{s}$ | $+60\ \mathrm{V}$ | | 初始波到達負載並反射 | $1\,\mu\mathrm{s}$ | $\GammaL(60)=+20\ \mathrm{V}$，向 $-z$ | | 負載反射波到達中點 | $1.5\,\mu\mathrm{s}$ | $+20\ \mathrm{V}$ |

109 專技高考高等考試電子工程技師電磁學與電磁波考古題詳解

第 1 題25 分

核心觀念

（1）兩導體間的電場分佈 $E(r)$

（2）兩導體間的電位分佈 $V(r)$

第 2 題25 分

核心觀念

解題方法

（1）截止頻率最低的三個 $TE_{mn}$ 模態

（2）截止頻率最低的三個 $TM_{mn}$ 模態

（3）僅一個模態可傳播的頻率範圍

第 3 題25 分

核心觀念

解題方法

（1）頻率 $f$ 與波長 $\lambda$

（2）折射角 $\theta_r$

（3）反射係數 $\Gamma$

第 4 題25 分

核心觀念

解題方法

其他考古題

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電子工程技師《電磁學與電磁波》其他年度

109 專技高考高等考試 電子工程技師 電磁學與電磁波 考古題詳解

第 1 題25 分

核心觀念

（1）兩導體間的電場分佈 E(r)E(r)E(r)

（2）兩導體間的電位分佈 V(r)V(r)V(r)

第 2 題25 分

核心觀念

解題方法

（1）截止頻率最低的三個 TEmnTE_{mn}TEmn​ 模態

（2）截止頻率最低的三個 TMmnTM_{mn}TMmn​ 模態

（3）僅一個模態可傳播的頻率範圍

第 3 題25 分

核心觀念

解題方法

（1）頻率 fff 與波長 λ\lambdaλ

（2）折射角 θr\theta_rθr​

（3）反射係數 Γ\GammaΓ

第 4 題25 分

核心觀念

解題方法

其他考古題

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109 專技高考高等考試電子工程技師電磁學與電磁波考古題詳解

（1）兩導體間的電場分佈 $E(r)$

（2）兩導體間的電位分佈 $V(r)$

（1）截止頻率最低的三個 $TE_{mn}$ 模態

（2）截止頻率最低的三個 $TM_{mn}$ 模態

（1）頻率 $f$ 與波長 $\lambda$

（2）折射角 $\theta_r$

（3）反射係數 $\Gamma$