110 年專技高考高等考試電機工程技師考古題與詳解

Question 1

如圖一所示之磁路，鐵心平均長度 $lc=45\ \mathrm{cm}$，截面積 $Ac=15\ \mathrm{cm^2}$，相對導磁係數 $\mur=3300$，繞組匝數 $N1=100$、$N2=85$。繞組通以 $I=550\ \mathrm{mA}$ 之直流電流，忽略漏磁效應。計算鐵心中的磁通密度及儲能。 【圖一：磁路示意圖。圖中標示鐵心平均長度 $lc$、電流 $I$、繞組匝數 $N1$ 與 $N2$，以及端電壓 $E1$ 的正負極性。】

Accepted Answer

核心觀念 本題考磁路的磁動勢、磁阻與線性磁路的磁能。磁路關係式為 $$ \mathcal{F}=NI,\qquad \mathcal{R}=\frac{lc}{\mu0\mur Ac},\qquad \Phi=\frac{\mathcal{F}}{\mathcal{R}},\qquad B=\frac{\Phi}{Ac}. $$ 依圖中接線與繞組方向，$N1$、$N2$ 串聯反向，兩繞組的磁動勢相減，因此合成磁動勢為 $(N1-N2)I$。鐵心視為線性磁性材料時，儲能可用 $W=\frac12\Phi\mathcal{F}$ 計算。 解題方法 先換算單位： $$ lc=0.45\ \mathrm{m},\qquad Ac=15	imes10^{-4}=1.5	imes10^{-3}\ \mathrm{m^2},\qquad I=0.55\ \mathrm{A}. $$ 合成磁動勢為 $$ \mathcal{F}=(N1-N2)I=(100-85)(0.55)=8.25\ \mathrm{A\cdot turn}. $$ 鐵心磁阻為

Question 2

一部 $60\ \mathrm{Hz}$、$220/160\ \mathrm{V}$、$30\ \mathrm{kVA}$、雙繞組之單相變壓器，連接成自耦變壓器，從 $380\ \mathrm{V}$ 電源供應 $220\ \mathrm{V}$ 之單相負載。 (一) 繪出此自耦變壓器之電路圖，標註變壓器繞組的極性及電壓值。（5 分） (二) 計算此自耦變壓器之 $\mathrm{kVA}$ 容量。（5 分） (三) 欲使用兩部上述的自耦變壓器，連接成一個三相變壓器組，從三相 $380\ \mathrm{V}$ 電源，供應三相 $220\ \mathrm{V}$ 之負載。試繪出此三相變壓器組的連接電路圖，標註變壓器繞組的極性及電壓值。（5 分） (四) 計算此三相變壓器組的 $\mathrm{kVA}$ 容量。（5 分）

Accepted Answer

核心觀念

本題考查自耦變壓器的串聯增壓接法、容量換算，以及兩部單相變壓器組成三相自耦變壓器組的容量計算。

原雙繞組變壓器的高、低壓繞組額定電壓分別為 $220\ \mathrm{V}$ 、 $160\ \mathrm{V}$ ，額定容量為 $30\ \mathrm{kVA}$ 。自耦接線時，將兩繞組串聯，使電源接在總電壓 $380\ \mathrm{V}$ 的兩端，負載接在 $220\ \mathrm{V}$ 高壓繞組兩端。兩繞組的電壓相加，因此是串聯增壓接法； $160\ \mathrm{V}$ 繞組為串聯繞組， $220\ \mathrm{V}$ 繞組為共用繞組。

（一）單相自耦變壓器接線

令 $220\ \mathrm{V}$ 繞組端點為 $A$ 、 $B$ ， $160\ \mathrm{V}$ 繞組端點為 $C$ 、 $D$ 。將 $B$ 與 $C$ 相接，使兩繞組串聯相加；電源接在 $A$ 、 $D$ 兩端，負載接在 $A$ 、 $B$ 兩端。

 220 V 共用繞組
 A ●───────((((((───────● B
 │ │
 │ ● C
 │ │
 │ (((((( 160 V 串聯繞組
 │ │
 │ ● D
 ├──── 220 V 負載 ───────┤
 │ │
 └──────── 380 V 電源 ───┘

其中 $B$ 、 $C$ 相接，兩繞組串聯相加，故電源端電壓為 $220+160=380\ \mathrm{V}$ ，負載端電壓為 $220\ \mathrm{V}$ 。圖中同名端以黑點表示；接線使串聯電壓相加。

（二）單相自耦變壓器容量

原變壓器各繞組的額定電流為

I_{220}=\frac{30\,000}{220}=136.36\ \mathrm{A}, \qquad I_{160}=\frac{30\,000}{160}=187.5\ \mathrm{A}.

自耦接線中，串聯的 $160\ \mathrm{V}$ 繞組承受負載電流與電源電流之差；在理想變壓器下，兩側電流比與端電壓成反比。因此最大容量由 $160\ \mathrm{V}$ 串聯繞組的額定電流限制。

等效地，利用自耦容量公式：

S_{\text{auto}} =S_{\text{two-winding}}\frac{V_{\text{source}}}{V_{\text{series}}} =30\frac{380}{160} =71.25\ \mathrm{kVA}.

（三）兩部變壓器組成三相自耦變壓器組

採用開三角形（V-V）接法：兩部單相自耦變壓器分別接於三相線間，第三相線電壓由兩個線間電壓的向量差形成。每部變壓器的高壓端接三相 $380\ \mathrm{V}$ 電源的線間，低壓端提供 $220\ \mathrm{V}$ 負載線間電壓。

Question 3

一部 $380\ \mathrm{V}$、$60\ \mathrm{Hz}$、$15\ \mathrm{kW}$、八極、Y 接之三相同步電動機，每相同步電抗為 $5.80\ \Omega$，電樞電阻、鐵心損失及機械損失均可忽略。 (一) 此電動機工作在額定電壓並輸出額定機械功率時，調整其激磁電流，使電動機的功率因數為 $0.8$ 落後。繪出電動機的每相等效電路圖，計算其電樞電流 $Ia$、每相激勵電勢 $Ea$ 及轉矩角 $\delta$。（10 分） (二) 若此電動機的供電電壓下降 $10\%$，成為 $342\ \mathrm{V}$，但激磁電流及機械輸出功率保持不變，計算其轉矩角 $\delta$、電樞電流 $Ia$ 及功率因數。（10 分）

Accepted Answer

核心觀念 三相同步電動機忽略電樞電阻時，每相相量方程式為 $$ \mathbf V\phi=\mathbf Ea+jXs\mathbf Ia $$ 其中 $\mathbf V\phi$ 為相電壓、$\mathbf Ea$ 為每相激勵電勢，$Xs$ 為每相同步電抗。電動機的激勵電勢落後端電壓，功率因數落後時，電樞電流也落後端電壓。 電磁功率與轉矩角的關係為 $$ P=\frac{3V\phi Ea}{Xs}\sin\delta $$ 其中 $\delta$ 是端電壓超前激勵電勢的角度。題目忽略鐵心損失、機械損失及電樞電阻，因此機械輸出功率等於電磁功率。 解題方法 三相 Y 接的相電壓為線電壓除以 $\sqrt 3$。先由額定功率與功率因數求電樞電流，再用每相相量方程式求激勵電勢與轉矩角。供電電壓下降時，激磁電流不變代表 $Ea$ 大小不變；功率維持不變則依功率角公式求新的 $\delta$，再由相量方程式求電流。 （一）額定電壓、額定輸出，功率因數 0.8 落後 額定線電壓 $VL=380\ \mathrm V$，故每相電壓為 $$ V\phi=\frac{380}{\sqrt3}=219.39\ \mathrm V $$ 由三相功率公式 $P=\sqrt3VLIa\cos\phi$，且 $\cos\phi=0.8$、$\phi=36.87^\circ$： $$ Ia=\frac{15\,000}{\sqrt3(380)(0.8)} =28.50\ \mathrm A $$ 以端電壓為相位基準，$\mathbf Ia=28.50\angle-36.87^\circ\ \mathrm A$。由電動機相量方程式： $$ \mathbf Ea=\mathbf V\phi-jXs\mathbf Ia $$ $$ \mathbf Ea =219.39\angle0^\circ -j(5.80)(28.50\angle-36.87^\circ) =318.49-j131.93 $$ 因此 $$ Ea=344.72\ \mathrm V,\qquad \angle\mathbf Ea=-22.49^\circ $$ 激勵電勢落後端電壓，故轉矩角為 $$ \delta=22.49^\circ $$ 每相等效電路可表示為端電壓 $\mathbf V\phi$ 串聯同步電抗 $jXs$，電流為 $\mathbf Ia$，內部激勵電勢 $\mathbf Ea$ 位於電抗後方；電動機電壓方程式為 $\mathbf V\phi=\mathbf Ea+jXs\mathbf Ia$。

Question 4

額定 $3$ 馬力、$180\ \mathrm{V}$ 之永磁式直流電動機，電樞電阻 $Ra=2.01\ \Omega$，無載時之轉速為 $4200\ \mathrm{rpm}$。機械損失、鐵心損失及無載時之電樞電流均可忽略。 當此電動機以直流 $180\ \mathrm{V}$ 供電，輸出額定機械功率時： (一) 繪出此直流電動機的等效電路圖，計算其電樞電壓 $Ea$ 及電樞電流 $Ia$。（10 分） (二) 計算其轉速（以 $\mathrm{rpm}$ 表示）及轉矩。（10 分）

Accepted Answer

核心觀念

永磁式直流電動機的磁通量固定，因此反電勢與轉速成正比，電磁轉矩與電樞電流成正比：

E_a = K\omega,\qquad T_e=K I_a

電樞迴路的電壓方程式為

V_t=E_a+I_aR_a

題目忽略機械損失、鐵心損失及無載電樞電流，因此輸出機械功率可視為電磁轉換功率：

P_{\mathrm{out}}=E_aI_a=T_e\omega

解題方法

(一) 等效電路、電樞電壓與電流

電動機以 $180\ \mathrm{V}$ 供電時，等效電路為電源電壓 $V_t$ 串聯電樞電阻 $R_a$ ，並串接反電勢 $E_a$ 。電流 $I_a$ 流經電樞電阻，反電勢方向與電源電壓相反：

 Iₐ →
 Rₐ = 2.01 Ω
 + ───/\/\/\/───────┐
180 V │
 − ────────( Eₐ )───┘
 反電勢

額定馬力換算為瓦特：

P_{\mathrm{out}}=3\times746=2238\ \mathrm{W}

由電壓方程式，

E_a=180-2.01I_a

又因 $P_{\mathrm{out}}=E_aI_a$ ，代入得

(180-2.01I_a)I_a=2238

2.01I_a^2-180I_a+2238=0

解此二次式：

I_a=\frac{180\pm\sqrt{180^2-4(2.01)(2238)}}{2(2.01)}

兩根約為 $14.84\ \mathrm{A}$ 與 $74.71\ \mathrm{A}$ 。依無載轉速判斷，無載時反電勢近似等於電源電壓，負載時電樞電流增加、反電勢略降，故應取電流較小、反電勢較大的根：

I_a\approx14.84\ \mathrm{A}

Question 5

額定 $60\ \mathrm{Hz}$、$208\ \mathrm{V}$、Y 接、$30$ 馬力之三相六極鼠籠式感應電動機，每相等效電路如圖二中虛線所包圍的部分。$s$ 為轉差率。參照至定子側的等效電路，每相歐姆值為： $R1=0.10$、$R2=0.07$、$X1=X2=0.21$、$Xm=10$。 此電動機在額定電壓下啟動。 (一) 若不使用啟動電抗器 $X{st}$（啟動時 $SW$ 閉合），計算此電動機之啟動電流與啟動轉矩。（10 分） (二) 若欲抑制啟動電流為原來的 $\frac{1}{3}$，計算啟動電抗 $X{st}$ 之值及使用此啟動電抗時的啟動轉矩。（10 分） 【圖二：三相感應電動機每相等效電路示意圖。圖中包含串聯啟動電抗器 $jX{st}$、開關 $SW$、定子電阻 $R1$、定子漏電抗 $jX1$、激磁電抗 $jXm$、轉子漏電抗 $jX2$、轉子電阻除以轉差率 $\frac{R2}{s}$，以及輸入電壓 $208\ \mathrm{V}$ 與定子電流 $Is$。】

Accepted Answer

核心觀念 啟動瞬間轉子靜止，故轉差率 $s=1$。Y 接時每相電壓為 $$ V\phi=\frac{208}{\sqrt{3}}=120.09\ \mathrm{V} $$ 啟動電流由每相等效電路的輸入阻抗求得。啟動轉矩則由氣隙功率計算： $$ T{\mathrm{st}}=\frac{P{\mathrm{ag}}}{\omega{\mathrm{syn}}} =\frac{3|I2|^2(R2/s)}{\omega{\mathrm{syn}}} $$ 其中 $I2$ 為轉子支路電流，六極、$60\ \mathrm{Hz}$ 的同步轉速為 $1200\ \mathrm{rpm}$，故 $$ \omega{\mathrm{syn}}=\frac{2\pi(1200)}{60}=125.66\ \mathrm{rad/s} $$ 解題方法 在 $s=1$ 時，激磁支路 $jXm$ 與轉子支路 $R2+jX2$ 並聯。先求並聯阻抗 $Zp$，再加上定子串聯阻抗 $R1+jX1$，即可求定子電流。並聯部分的電壓再除以轉子支路阻抗，得到 $I2$。 （一）不使用啟動電抗器 每相激磁支路與轉子支路的並聯阻抗為 $$ Zp=j10\parallel(0.07+j0.21) =0.06715+j0.20614\ \Omega $$ 每相輸入阻抗為 $$ Z{\mathrm{in}}=0.10+j0.21+Zp =0.16715+j0.41614\ \Omega $$ 因此啟動電流為 $$ I{\mathrm{st}}=\frac{V\phi}{Z{\mathrm{in}}} $$ 其大小為 $$ |I{\mathrm{st}}| =\frac{120.09}{|0.16715+j0.41614|} =267.8\ \mathrm{A} $$ Y 接時線電流等於相電流，所以線啟動電流也是 $267.8\ \mathrm{A}$。 並聯支路電壓大小為 $$ |Vp|=V\phi\frac{|Zp|}{|Z{\mathrm{in}}|} =58.06\ \mathrm{V} $$ 故轉子支路電流大小為 $$ |I2|=\frac{|Vp|}{|0.07+j0.21|} =262.3\ \mathrm{A} $$ 啟動時 $s=1$，啟動轉矩為

110 專技高考高等考試電機工程技師電機機械考古題詳解

第一題20 分

第二題20 分

核心觀念

（一）單相自耦變壓器接線

（二）單相自耦變壓器容量

（三）兩部變壓器組成三相自耦變壓器組

第三題20 分

第四題20 分

核心觀念

解題方法

(一) 等效電路、電樞電壓與電流

第五題20 分

核心觀念

解題方法

（一）不使用啟動電抗器

其他考古題

110 年電機工程技師的其他科目

電機工程技師《電機機械》其他年度

110 專技高考高等考試 電機工程技師 電機機械 考古題詳解

第 一 題20 分

第 二 題20 分

核心觀念

（一）單相自耦變壓器接線

（二）單相自耦變壓器容量

（三）兩部變壓器組成三相自耦變壓器組

第 三 題20 分

第 四 題20 分

核心觀念

解題方法

(一) 等效電路、電樞電壓與電流

第 五 題20 分

核心觀念

解題方法

（一）不使用啟動電抗器

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