111 專技高考高等考試 電機工程技師 電機機械 考古題詳解

核心觀念

電感值定義為磁通鏈結與電流的比值：

環形磁心中，磁場強度約為 $H=Ni/\ell_m$，而 $B=\mu H$、$\Phi\approx BA$。因此：

其中 $\mu$ 是磁心材料的導磁係數，$N$ 是線圈匝數，$A$ 是磁心截面積，$\ell_m$ 是平均磁路長度。對圖示環形磁心，平均磁路長度約為 $\ell_m=2\pi r$。

解題方法

由 $L\approx\mu N^2A/\ell_m$ 逐項判斷：增加分子中的量，或減少分母中的磁路長度，即可提高電感值。圓形截面的環形磁心若直徑為 $2a$，則 $A=\pi a^2$，故亦可寫成：

核心觀念

1. 同步轉速與轉差率 感應馬達之同步轉速 $n_s$ 僅由電源頻率 $f$ 與極數 $P$ 決定： $n_s = \frac{120f}{P}$ 轉子實際轉速 $n$ 與轉差率 $s$ 之關係為： $s = \frac{n_s - n}{n_s} \iff n = n_s(1 - s)$

2. 感應馬達戴維寧等效轉矩方程式 由題目提示之感應馬達機械扭力公式： $T_{\mathrm{mech}} = \frac{1}{\omega_s} \left[ \frac{3V_{12,\mathrm{eq}}^2\left(\frac{R_2}{s}\right)}{\left(R_{1,\mathrm{eq}}+\frac{R_2}{s}\right)^2+\left(X_{1,\mathrm{eq}}+X_2\right)^2} \right]$ 可知在定子電壓、頻率與等效阻抗固定下，$T_{\mathrm{mech}}$ 完全取決於比值 $\dfrac{R_2}{s}$。

3. 繞線式感應馬達轉子電阻控制特性 若外加負載扭矩 $T_L$ 維持定值，則維持平衡所需之電磁轉矩 $T_{\mathrm{mech}}$ 亦為定值。由此推得： $\frac{R_2}{s} = \text{常數} \implies \frac{R_2'}{s'} = \frac{R_2}{s} \implies \frac{R_2'}{R_2} = \frac{s'}{s}$ 即在定轉矩負載下，轉差率 $s$ 與轉子總電阻 $R_2$ 成正比。

解題方法

(一) 求帶動 $100\ \mathrm{N\cdot m}$ 負載時之轉速

1. 計算同步轉速 $n_s$ 馬達為三相、$f = 60\ \mathrm{Hz}$、$P = 4$ 極： $n_s = \frac{120 \times 60}{4} = 1800\ \mathrm{rpm}$

2. 求解對應轉差率 $s$ 將負載扭矩 $T_{\mathrm{mech}} = 100\ \mathrm{N\cdot m}$ 代入題給數值關係式： $100 = \frac{207.63s}{s^2 + 0.0925s + 0.0382}$ 整理為一元二次方程式： $100(s^2 + 0.0925s + 0.0382) = 207.63s$ $100s^2 + 9.25s + 3.82 = 207.63s$ $100s^2 - 198.38s + 3.82 = 0 \iff s^2 - 1.9838s + 0.0382 = 0$

利用二次方程公式解求解 $s$： $s = \frac{1.9838 \pm \sqrt{(-1.9838)^2 - 4 \times 1 \times 0.0382}}{2}$ $s = \frac{1.9838 \pm \sqrt{3.93546 - 0.1528}}{2} = \frac{1.9838 \pm \sqrt{3.78266}}{2} \approx \frac{1.9838 \pm 1.94491}{2}$ 解得兩根： $s_1 = \frac{1.9838 - 1.94491}{2} \approx 0.01945$ $s_2 = \frac{1.9838 + 1.94491}{2} \approx 1.96436$

感應馬達於正常電動機運轉狀態下，工作點位於最大轉矩轉差率以下之穩定工作區（$0 < s < s_{\max,T} \approx \sqrt{0.0382} \approx 0.195$），故捨去不穩定且超過 $1$ 之根 $s_2$，取合理轉差率： $s = 0.01945$

3. 計算轉子轉速 $n$ $n = n_s(1 - s) = 1800 \times (1 - 0.01945) = 1800 \times 0.98055 \approx 1765\ \mathrm{rpm}$

核心觀念

直流發電機的電壓方程式為

$E_a=V_t+I_aR_a+\text{其他串聯電阻壓降}$

長分路複激發電機的並激繞組跨接輸出端；串激繞組則與負載串聯，因此串激電流 $I_s=I_L$。積複勵時，串激磁勢與並激磁勢相加。磁化曲線提供在 $1800\ \mathrm{rpm}$ 下，總激磁電流與感應電勢 $E_a$ 的對應關係。

額定負載電流為

$I_L=\frac{20\,000}{200}=100\ \mathrm{A}$

（一）無載時的最大端電壓

無載時要得到最大端電壓，將激磁控制電阻 $R_{fc}$ 調至最小，即 $R_{fc}=0$。此時並激場電流約為 $1.48\ \mathrm{A}$，磁化曲線給出 $E_a=222\ \mathrm{V}$。

並激發電機即使外部無負載，仍有並激場電流流過電樞，因此 $I_a\approx I_f$。端電壓為

考量表列數據的取位，最大端電壓約為 $222\ \mathrm{V}$。

（二）額定滿載時的等效總激磁電流

以額定端電壓 $V_t=200\ \mathrm{V}$、負載電流 $I_L=100\ \mathrm{A}$ 計算。串激繞組與電樞的壓降約為

$I_L(R_a+R_{sr})=100(0.1+0.04)=14\ \mathrm{V}$

故額定滿載時的感應電勢約為

$E_a\approx200+14=214\ \mathrm{V}$

核心觀念

本題評量三相同步發電機之運轉特性、標麼系統（Per-Unit System）、電壓調整率（Voltage Regulation, VR）計算，以及開路特性曲線（OCC）、短路特性曲線（SCC）與短路比（Short-Circuit Ratio, SCR）之物理意義與數學關聯。

1. 同步發電機等效電路與相量關係： 圓桶式轉子同步發電機未特別提及電樞電阻時，常態忽略電樞電阻（$R_a \approx 0$）。每相內部感應電勢 $\vec{E}_f$ 與端電壓 $\vec{V}_\phi$ 之關係式為： $\vec{E}_f = \vec{V}_\phi + j \vec{I}_a X_s$ 以標麼值表示時，若取端電壓為參考相量 $\vec{V} = 1.0\angle 0^\circ\ \mathrm{pu}$，負載落後功率因數角為 $\theta$（即 $\vec{I}_a = 1.0\angle -\theta\ \mathrm{pu}$），則： $E_{f,\mathrm{pu}} = \left| 1.0 + j X_{s,\mathrm{pu}}(\cos\theta - j\sin\theta) \right| = \sqrt{(1 + X_{s,\mathrm{pu}}\sin\theta)^2 + (X_{s,\mathrm{pu}}\cos\theta)^2}$

2. 電壓調整率（Voltage Regulation, VR）： 在場電流 $I_f$ 維持不變的情況下，發電機自額定滿載切至無載時，端電壓將由額定值 $V_{\mathrm{rated}}$ 上升至內部感應電勢 $E_f$： $\mathrm{VR} = \frac{V_{\mathrm{nl}} - V_{\mathrm{fl}}}{V_{\mathrm{fl}}} \times 100\% = \frac{E_f - V_{\phi,\mathrm{rated}}}{V_{\phi,\mathrm{rated}}} \times 100\% = \frac{E_{f,\mathrm{pu}} - 1.0}{1.0} \times 100\%$

3. 短路比（SCR）之定義與關係式： 短路比 $\mathrm{SCR}$ 定義為「產生開路額定電壓所需之場電流 $I_{f0}$」與「產生短路額定電流所需之場電流 $I_{f\mathrm{sc}}$」之比值： $\mathrm{SCR} = \frac{I_{f0}}{I_{f\mathrm{sc}}}$ 依題目提示，飽和同步電抗標麼值 $X_{s,\mathrm{pu}}$ 與短路比之關係為： $X_{s,\mathrm{pu}} = \frac{1}{\mathrm{SCR}} \implies \mathrm{SCR} = \frac{1}{X_{s,\mathrm{pu}}}$

4. 場電流之比例關係： 在飽和同步電抗模型下，滿載額定輸出時之激磁電流 $I_f = 200\ \mathrm{A}$ 所建立之磁通對應於內部感應電勢 $E_{f,\mathrm{pu}}$；而產生開路額定電壓（$1.0\ \mathrm{pu}$）所需之場電流為 $I_{f0}$，故兩者滿足正比關係： $I_f = E_{f,\mathrm{pu}} \times I_{f0} \implies I_{f0} = \frac{I_f}{E_{f,\mathrm{pu}}}$

解題方法

前置計算：基準值與標麼阻抗

發電機額定參數：

• 額定容量：$S_{\mathrm{base}} = 25\ \mathrm{MVA}$
• 額定線電壓：$V_{L,\mathrm{rated}} = 11\ \mathrm{kV}$
• 額定相電壓：$V_{\phi,\mathrm{base}} = \frac{11\ \mathrm{kV}}{\sqrt{3}} \approx 6350.85\ \mathrm{V}$

計算阻抗基準值 $Z_{\mathrm{base}}$： $Z_{\mathrm{base}} = \frac{V_{L,\mathrm{rated}}^2}{S_{\mathrm{base}}} = \frac{(11\ \mathrm{kV})^2}{25\ \mathrm{MVA}} = \frac{121}{25} = 4.84\ \Omega$

換算每相飽和同步電抗之標麼值 $X_{s,\mathrm{pu}}$： $X_{s,\mathrm{pu}} = \frac{X_s}{Z_{\mathrm{base}}} = \frac{4.5\ \Omega}{4.84\ \Omega} \approx 0.92975\ \mathrm{pu}$

計算短路比 $\mathrm{SCR}$： $\mathrm{SCR} = \frac{1}{X_{s,\mathrm{pu}}} = \frac{4.84}{4.5} \approx 1.0756$

負載條件：

• 額定電壓、額定電流運轉，即 $V = 1.0\ \mathrm{pu}$、$I_a = 1.0\ \mathrm{pu}$。
• 功率因數 $\cos\theta = 0.85$（落後）$\implies \sin\theta = \sqrt{1 - 0.85^2} = \sqrt{0.2775} \approx 0.5268$。

(一) 計算發電機之電壓調整率

以相量法求額定負載運轉時之內部感應電勢標麼值 $\vec{E}_{f,\mathrm{pu}}$：

核心觀念

1. 功率三角形與虛功率補償（功因改善）：

• 三相負載的實功率 $P$、虛功率 $Q$ 與視在功率 $S$ 符合直角三角形幾何關係： $S = \sqrt{P^2 + Q^2} = \frac{P}{\cos\theta}$ $Q = P \tan\theta$
• 當負載為電感性（滯後功因，Lagging）時，$Q_L > 0$。欲將系統總功率因數改善至 $\cos\theta' = 1.0$，並聯的無功補償設備必須提供等量且相位相差 $180^\circ$ 的超前虛功率（即吸收負的虛功率，相當於提供正的電容性虛功率 $Q_C = Q_L$），使電源端合成虛功率為零。

2. 同步電容器（Synchronous Capacitor / Condenser）特性：

• 同步電容器本質上為「無機械負載運轉之同步電動機」，忽略內部微小損耗時，其消耗之實功率可視為零（$P_M \approx 0$）。
• 當同步機處於**過激磁（Over-excited）**狀態時，由電網端視之，其電樞電流 $\mathbf{I}_a$ 超前端電壓 $\mathbf{V}_\phi$ 近 $90^\circ$，對電網而言等效為一組可連續無段調整的三相電容器，其額定容量由所需提供之最大虛功率決定： $S_\text{rated} \ge Q_C$

3. 同步機相量關係與電壓方程式：

• 題目給定同步阻抗 $Z_s = 1.6\ \Omega$，在未特別標註電樞電阻 $R_a$ 的情況下，依命題慣例視為純同步電抗，即 $X_s \approx Z_s = 1.6\ \Omega$（單相每相值）。
• 依電動機單相等效電路，端電壓 $\mathbf{V}_\phi$、電樞電流 $\mathbf{I}_a$ 與內部激磁感應電勢 $\mathbf{E}_A$ 之關係為： $\mathbf{V}_\phi = \mathbf{E}_A + j X_s \mathbf{I}_a \implies \mathbf{E}_A = \mathbf{V}_\phi - j X_s \mathbf{I}_a$
• 題目所稱「調整同步機之電樞電壓值」，因三相輸電電纜端電壓 $V_L = 2300\ \mathrm{V}$ 為匯流排箝制之固定值，運轉時現場運轉人員僅能透過調節激磁電流（直流轉子磁場）來改變同步機內部的「電樞感應電勢 $\mathbf{E}_A$」（亦稱激磁電勢或反電動勢），故所求即為維持此補償狀態所需之 $\mathbf{E}_A$。

解題方法

(一) 計算所選用之同步機額定 $\mathrm{kVA}$ 值

1. 工廠原始用電之負載角與虛功率： 已知工廠實功率 $P = 3000\ \mathrm{kW}$，功因 $\cos\theta_1 = 0.85$（滯後）： $\sin\theta_1 = \sqrt{1 - \cos^2\theta_1} = \sqrt{1 - 0.85^2} = \sqrt{0.2775} \approx 0.5268$ $\tan\theta_1 = \frac{\sin\theta_1}{\cos\theta_1} = \frac{0.5268}{0.85} \approx 0.6197$ 工廠原始電感性虛功率為： $Q_L = P \tan\theta_1 = 3000 \times 0.6197 = 1859.24\ \mathrm{kVAR}$

2. 同步電容器所需容量： 欲將整體功因改善為 $\cos\theta_2 = 1.0$，系統改善後之總虛功率應為 $Q_\text{total} = 0\ \mathrm{kVAR}$。 因此，同步電容器必須提供等額的超前虛功率： $Q_C = Q_L = 1859.24\ \mathrm{kVAR}$ 同步電容器不承載機械負載，忽略鐵損與旋轉損耗（$P_C \approx 0$），其所需之視在功率額定值為： $S_C = \sqrt{P_C^2 + Q_C^2} = Q_C = 1859.24\ \mathrm{kVA}$

(二) 計算輸電電纜提供給工廠之線電流改變量

三相系統線電流公式為 $I_L = \frac{P}{\sqrt{3} V_L \cos\theta}$，其中線電壓 $V_L = 2300\ \mathrm{V}$。

1. 安裝同步電容器前之線電流 $I_{L1}$： $I_{L1} = \frac{P}{\sqrt{3} V_L \cos\theta_1} = \frac{3000 \times 10^3}{\sqrt{3} \times 2300 \times 0.85} = \frac{3000 \times 10^3}{3386.16} \approx 885.96\ \mathrm{A}$

2. 安裝同步電容器後之線電流 $I_{L2}$： 安裝後功因提升至 $\cos\theta_2 = 1.0$：