113 專技高考高等考試 電機工程技師 電機機械 考古題詳解

113 年・專技高考・高等考試・電機工程技師
試題代碼 電機機械

第 一 題20 分

如圖所示，一單相變壓器一次側、二次側的電壓、電流、匝數、漏磁通分別為 V1/V2V_1/V_2、I1/I2I_1/I_2、N1/N2N_1/N_2、ϕl1/ϕl2\phi_{l1}/\phi_{l2}，鐵心磁通為 ϕM\phi_M，鐵心的磁阻為 RMR_M，一次側、二次側漏磁阻分別為 Rl1/Rl2R_{l1}/R_{l2}。

請繪出此變壓器的磁路，並標示磁動勢、磁阻及磁通。考量線圈銅損及鐵心損後，畫出變壓器的等效電路，並列出等效電路中的各電感公式（以匝數及磁阻表示）。

原卷圖示包含：一次側電壓 V1V_1、二次側電壓 V2V_2、一次側電流 I1I_1、二次側電流 I2I_2、一次側匝數 N1N_1、二次側匝數 N2N_2、鐵心磁通 ϕM\phi_M、一次側漏磁通 ϕl1\phi_{l1}、二次側漏磁通 ϕl2\phi_{l2}。

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核心觀念

本題考變壓器的磁路與等效電路如何互相對應：

  • 磁動勢為 F=NI\mathcal{F}=NI，磁路定律為 F=Rϕ\mathcal{F}=\mathcal{R}\phi。
  • 主磁通 ϕM\phi_M 經過鐵心磁阻 RMR_M，並同時與一次、二次繞組交鏈。
  • 漏磁通 ϕl1\phi_{l1}、ϕl2\phi_{l2} 分別由一次、二次繞組產生，只與各自的繞組交鏈。
  • 繞組銅損以串聯電阻表示；鐵心損以並聯電阻表示；磁通造成的感應效應以電感表示。

解題方法

依磁通是否與兩側繞組交鏈，將磁路分成主磁路與兩個漏磁路。再用「電感等於磁通鏈結除以電流」換算各磁阻對應的電感：

L=λI=NϕIL=\frac{\lambda}{I}=\frac{N\phi}{I}

其中主磁通由兩側磁動勢共同決定。依圖中電流參考方向，取一次側磁動勢為正、二次側磁動勢為反向，則

ϕM=N1I1−N2I2RM\phi_M=\frac{N_1I_1-N_2I_2}{R_M}

兩側漏磁通分別由各自繞組的磁動勢建立：

ϕl1=N1I1Rl1,ϕl2=N2I2Rl2\phi_{l1}=\frac{N_1I_1}{R_{l1}}, \qquad \phi_{l2}=\frac{N_2I_2}{R_{l2}}

磁路表示

主磁路： N₁I₁ ── [鐵心磁阻 R_M] ── N₂I₂（反向）
 φ_M

一次側漏磁路： N₁I₁ ── [漏磁阻 R_l1] ── φ_l1
二次側漏磁路： N₂I₂ ── [漏磁阻 R_l2] ── φ_l2

主磁路中的一次、二次磁動勢方向相反；漏磁通則各自形成局部磁路，分別交鏈一次側與二次側繞組。

等效電路與電感公式

一次側端點 ── R₁ ── Lσ1 ──●──── 理想變壓器 N₁:N₂ ── R₂ ── Lσ2 ── 二次側端點
 │
 ├── Rfe ──┤
 └── Lm ───┘

R1、R2R_1、R_2 為一次、二次繞組電阻，表示銅損；RfeR_{fe} 為鐵心損耗電阻；Lσ1、Lσ2L_{\sigma1}、L_{\sigma2} 為兩側漏感；LmL_m 為激磁電感。激磁支路與鐵心損耗支路並聯，理想變壓器匝數比為 N1:N2N_1:N_2。

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第 二 題20 分

一台 600 kVA600\ \mathrm{kVA}、1800 rpm1800\ \mathrm{rpm}、4.2 kV4.2\ \mathrm{kV}、60 Hz60\ \mathrm{Hz}、3ϕ3\phi、效率 0.90.9 的同步發電機，在 0.90.9 滯後功率因數下提供額定電流。其每相同步阻抗為 2+j20 Ω2+j20\ \Omega。

請求出：

  1. 此發電機的極數。
  2. 以其額定容量及電壓為基準之同步阻抗標么值。
  3. 定子銅損耗。
  4. 所產生的電機轉矩。

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核心觀念

本題考查同步發電機的同步轉速與極數、三相標么值換算、定子銅損，以及輸出功率與轉矩的關係。

三相系統若以線電壓 VLLV_{LL} 和三相容量 S3ϕS_{3\phi} 為基準，阻抗基準值為

Zbase=VLL2S3ϕ.Z_{\mathrm{base}}=\frac{V_{LL}^{2}}{S_{3\phi}}.

定子銅損由每相電阻計算：

Pcu=3Irated2Ra.P_{\mathrm{cu}}=3I_{\mathrm{rated}}^{2}R_a.

發電機效率定義為輸出電功率除以輸入機械功率，因此

Pmech,in=Pelec,outη,Tmech=Pmech,inωm.P_{\mathrm{mech,in}}=\frac{P_{\mathrm{elec,out}}}{\eta}, \qquad T_{\mathrm{mech}}=\frac{P_{\mathrm{mech,in}}}{\omega_m}.

解題方法

1. 求極數

同步機的轉速、頻率與極數關係為

ns=120fP,n_s=\frac{120f}{P},

其中 nsn_s 的單位為 rpm\mathrm{rpm}，ff 為頻率，PP 為極數。代入 ns=1800 rpmn_s=1800\ \mathrm{rpm}、f=60 Hzf=60\ \mathrm{Hz}：

P=120fns=120×601800=4.P=\frac{120f}{n_s} =\frac{120\times 60}{1800} =4.

2. 求同步阻抗標么值

額定線電壓為 4.2 kV4.2\ \mathrm{kV}，三相額定容量為 600 kVA600\ \mathrm{kVA}，所以阻抗基準值為

Zbase=(4.2 kV)2600 kVA=29.4 Ω.Z_{\mathrm{base}} =\frac{(4.2\ \mathrm{kV})^2}{600\ \mathrm{kVA}} =29.4\ \Omega.

每相同步阻抗為 Zs=2+j20 ΩZ_s=2+j20\ \Omega，換算成標么值：

Zs,pu=ZsZbase=2+j2029.4=0.0680+j0.6803 pu.Z_{s,\mathrm{pu}} =\frac{Z_s}{Z_{\mathrm{base}}} =\frac{2+j20}{29.4} =0.0680+j0.6803\ \mathrm{pu}.

3. 求定子銅損耗

額定線電流為

Irated=S3ϕ3VLL=600×1033(4.2×103)=82.48 A.I_{\mathrm{rated}} =\frac{S_{3\phi}}{\sqrt{3}V_{LL}} =\frac{600\times10^3}{\sqrt{3}(4.2\times10^3)} =82.48\ \mathrm{A}.

每相電阻為 Ra=2 ΩR_a=2\ \Omega，故定子銅損為

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第 三 題20 分

一台 300 V300\ \mathrm{V}、60 A60\ \mathrm{A}、1800 rpm1800\ \mathrm{rpm} 的串激直流馬達，其串聯的電樞電阻及場電阻皆為 0.10 Ω0.10\ \Omega。當一個 0.10 Ω0.10\ \Omega 電阻並聯於場繞組時，馬達的扭矩增加一倍。

假設可以忽略電樞反應及旋轉損失，試求：

  1. 馬達的電樞電流。
  2. 馬達的轉速。
  3. 馬達的效率。

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核心觀念

串激直流馬達的電樞電流與場電流相同。忽略電樞反應時，磁通量與場電流成正比；未飽和區內，電磁轉矩與磁通量、電樞電流的乘積成正比：

T∝ΦIa,Φ∝IfT \propto \Phi I_a,\qquad \Phi \propto I_f

馬達反電動勢與轉速及磁通量的乘積成正比：

Ea∝ΦnE_a \propto \Phi n

電樞電壓方程式為 V=Ea+IaRtotalV=E_a+I_aR_{\text{total}}。本題以並聯電阻後的轉矩加倍條件，求出新磁通與電流的關係，再利用電壓方程式求電流及轉速。

解題方法

原始狀態下，串激場電流等於電樞電流 60 A60\ \mathrm{A}。場繞組電阻為 0.10 Ω0.10\ \Omega，並聯一個 0.10 Ω0.10\ \Omega 電阻後，等效場電阻為

Rf′=0.10∥0.10=0.05 ΩR_f' = 0.10 \parallel 0.10 = 0.05\ \Omega

並聯後的場電流為總電樞電流的一半，因此 If′=Ia′/2I_f'=I_a'/2。忽略電樞反應且採用未飽和線性磁路假設，磁通量與場電流成正比，故

Φ′Φ=If′60=Ia′120\frac{\Phi'}{\Phi}=\frac{I_f'}{60}=\frac{I_a'}{120}

轉矩加倍，依 T∝ΦIaT\propto\Phi I_a：

2=T′T=Φ′Ia′Φ(60)=Ia′120Ia′602=\frac{T'}{T} =\frac{\Phi'I_a'}{\Phi(60)} =\frac{I_a'}{120}\frac{I_a'}{60}

因此

Ia′2=14400,Ia′=120 AI_a'^2=14400,\qquad I_a'=120\ \mathrm{A}

電流取正值，故新狀態的場電流為 If′=60 AI_f'=60\ \mathrm{A}，磁通量與原狀態相同。

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第 四 題20 分

一台 220 V220\ \mathrm{V}、60 Hz60\ \mathrm{Hz}、1120 rpm1120\ \mathrm{rpm} 的三相感應馬達，其每相等效電路如原卷圖所示。在忽略旋轉損失及激磁阻抗的情況下，計算：

  1. 啟動電流。
  2. 滿載電流、功率因數、扭矩及效率。
  3. 最大扭矩時之滑差率及電流。
  4. 將激磁阻抗考慮在內之啟動電流。

提示：扭矩 == 產生功率／實際轉速；產生功率為等效機械負載電阻 0.1(1−s)s\dfrac{0.1(1-s)}{s} 的功率，其中 ss 為轉差率。

原卷等效電路圖中可辨識之標示為 0.2s\dfrac{0.2}{s}；完整電路圖請參考原卷。

🖼️ 本題原卷含圖表。基於試題來源之版權考量，本站不轉載原卷影像； 題目文字已完整轉錄，圖表請自行參閱考選部公告之試題原檔。

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核心觀念

同步轉速與轉差率的關係為

ns=120fP,s=ns−nrns.n_s=\frac{120f}{P},\qquad s=\frac{n_s-n_r}{n_s}.

本題轉速為 1120 rpm1120\ \mathrm{rpm}，由 60 Hz60\ \mathrm{Hz} 感應馬達可判定為六極，故同步轉速為 1200 rpm1200\ \mathrm{rpm}。每相電壓為 Vϕ=220/3 VV_\phi=220/\sqrt{3}\ \mathrm{V}。

依原卷電路圖，轉子支路電阻為 0.2/s0.2/s，因此轉子等效機械負載電阻應為 0.2(1−s)/s0.2(1-s)/s。題目提示寫成 0.1(1−s)/s0.1(1-s)/s，與圖中標示不一致。以下以圖示電路為計算依據，並在最後列出若照提示係數計算的差異。

解題方法與計算

忽略激磁阻抗時，每相電路是串聯電路：

Zϕ=(0.1+j0.25)+j0.35+0.2s=(0.1+0.2s)+j0.60.Z_\phi=(0.1+j0.25)+j0.35+\frac{0.2}{s} =\left(0.1+\frac{0.2}{s}\right)+j0.60.

滿載轉差率為

sFL=1200−11201200=115.s_{\mathrm{FL}}=\frac{1200-1120}{1200}=\frac{1}{15}.
  1. 啟動電流

啟動時 s=1s=1，故

Zst=0.3+j0.60 Ω,Ist=220/3∣0.3+j0.60∣≈189.4 A.Z_{\mathrm{st}}=0.3+j0.60\ \Omega, \qquad I_{\mathrm{st}}=\frac{220/\sqrt{3}}{|0.3+j0.60|} \approx \boxed{189.4\ \mathrm{A}}.
  1. 滿載電流、功率因數、扭矩及效率

滿載時

ZFL=3.1+j0.60 Ω,IFL=220/33.12+0.602≈40.23 A.Z_{\mathrm{FL}}=3.1+j0.60\ \Omega, \qquad I_{\mathrm{FL}}=\frac{220/\sqrt{3}}{\sqrt{3.1^2+0.60^2}} \approx \boxed{40.23\ \mathrm{A}}.

功率因數為

cos⁡ϕ=3.13.12+0.602≈0.982 滯後.\cos\phi=\frac{3.1}{\sqrt{3.1^2+0.60^2}} \approx \boxed{0.982\ \text{滯後}}.

輸入功率、氣隙功率與產生功率分別為

Pin=3IFL2(3.1)≈15.05 kW,P_{\mathrm{in}}=3I_{\mathrm{FL}}^2(3.1)\approx 15.05\ \mathrm{kW}, Pag=3IFL2(0.2s)≈14.57 kW,P_{\mathrm{ag}}=3I_{\mathrm{FL}}^2\left(\frac{0.2}{s}\right) \approx 14.57\ \mathrm{kW}, Pout=Pag(1−s)≈13.59 kW.P_{\mathrm{out}}=P_{\mathrm{ag}}(1-s) \approx 13.59\ \mathrm{kW}.

實際角速度為 ωr=2π(1120/60)≈117.29 rad/s\omega_r=2\pi(1120/60)\approx117.29\ \mathrm{rad/s}，因此

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第 五 題20 分

一台 240 V240\ \mathrm{V}、60 Hz60\ \mathrm{Hz}、44 極電容啟動單相感應馬達。在轉子靜止時，主繞組的輸入阻抗為 3.5+j6.2 Ω3.5+j6.2\ \Omega，輔助繞組的輸入阻抗為 7.2+j4.8 Ω7.2+j4.8\ \Omega。

在靜止狀態下，試求為使主繞組電流與輔助繞組電流產生 90∘90^\circ 相角差所需的啟動電容大小，並比較有啟動電容及無啟動電容二者的啟動扭力。

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核心觀念

單相感應馬達在轉子靜止時，可將主繞組與輔助繞組視為各自接上電源的交流阻抗。電容串聯於輔助繞組後，會改變該支路電流的相位。啟動時要讓兩繞組電流相差 90∘90^\circ，可令輔助繞組電流超前主繞組電流 90∘90^\circ。

單相感應馬達的啟動扭力與兩繞組電流的相位差及電流大小有關，可寫成比例關係：

Tst∝∣Im∣∣Ia∣sin⁡δT_{\mathrm{st}}\propto |I_m||I_a|\sin\delta

其中 ImI_m、IaI_a 分別為主繞組與輔助繞組電流，δ\delta 為兩者的相位差。相位差為 90∘90^\circ 時，sin⁡δ=1\sin\delta=1，旋轉磁場效果最佳；沒有電容時，電流相位差較小，啟動扭力也較低。

解題方法

主繞組阻抗為

Zm=3.5+j6.2Z_m=3.5+j6.2

其相角為

θm=tan⁡−1(6.23.5)=60.6∘\theta_m=\tan^{-1}\left(\frac{6.2}{3.5}\right)=60.6^\circ

因此主繞組電流相對電源電壓的相角為 −60.6∘-60.6^\circ。

輔助繞組串聯電容後的總阻抗為

Za=7.2+j(4.8−XC)Z_a=7.2+j(4.8-X_C)

令輔助繞組電流超前主繞組電流 90∘90^\circ，則輔助支路阻抗角需為

θa=θm−90∘=−29.4∘\theta_a=\theta_m-90^\circ=-29.4^\circ

因此

tan⁡θa=4.8−XC7.2\tan\theta_a=\frac{4.8-X_C}{7.2}

代入 θa=−29.4∘\theta_a=-29.4^\circ：

4.8−XC7.2=tan⁡(−29.4∘)\frac{4.8-X_C}{7.2}=\tan(-29.4^\circ)
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