112 專技高考高等考試 電機工程技師 電機機械 考古題詳解

112 年・專技高考・高等考試・電機工程技師
試題代碼 電機機械

第 一 題20 分

圖一所示的電感器，鐵心的相對導磁係數為 μr=950\mu_r=950，磁路平均長度為 ℓc=32 cm\ell_c=32\ \mathrm{cm}，磁路的平均截面積為 Ac=20 cm2A_c=20\ \mathrm{cm^2}，繞組的匝數為 N=70N=70 匝。

此電感器與 60 Ω60\ \Omega 的電阻器串聯後，連接至 220 V220\ \mathrm{V}、60 Hz60\ \mathrm{Hz} 的單相交流電源，試計算：

(一) 此電感器的電感值。（10 分）

(二) 鐵心中，磁通量 Φ\Phi 的最大值。（10 分）

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核心觀念

磁路未飽和且忽略漏磁時，電感器的電感為

L=N2Rm=μ0μrN2AcℓcL=\frac{N^2}{\mathcal{R}_m} =\frac{\mu_0\mu_rN^2A_c}{\ell_c}

其中磁阻 Rm=ℓc/(μ0μrAc)\mathcal{R}_m=\ell_c/(\mu_0\mu_rA_c)。串聯電阻不改變電感器本身的電感值，但會影響電路電流，進而影響鐵心磁通。

解題方法

先將題目數據換成 SI 單位：

ℓc=0.32 m,Ac=20×10−4=0.002 m2\ell_c=0.32\ \mathrm{m},\qquad A_c=20\times10^{-4}=0.002\ \mathrm{m^2}

(一) 代入電感公式：

L=(70)2(4π×10−7)(950)(0.002)0.32=0.03656 HL=\frac{(70)^2(4\pi\times10^{-7})(950)(0.002)}{0.32} =0.03656\ \mathrm{H}

所以電感值約為 36.56 mH36.56\ \mathrm{mH}。

(二) 電源電壓 220 V220\ \mathrm{V} 為有效值。先求電感的感抗與串聯電路阻抗：

XL=2πfL=2π(60)(0.03656)=13.78 ΩX_L=2\pi fL=2\pi(60)(0.03656)=13.78\ \Omega
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第 二 題20 分

一部 5000 kVA5000\ \mathrm{kVA}、230 kV/13.8 kV230\ \mathrm{kV}/13.8\ \mathrm{kV} 的單相變壓器，銘牌上標示電阻標么值為 1%1\%，電抗標么值為 5%5\%。在低壓側作開路試驗所量測到的數據為 Voc=13.8 kVV_{oc}=13.8\ \mathrm{kV}、Ioc=21.1 AI_{oc}=21.1\ \mathrm{A}、Poc=90.8 kWP_{oc}=90.8\ \mathrm{kW}。

(一) 試繪出此變壓器參照至低壓側的等效電路圖，並求出所有的參數值。（12 分）

(二) 若低壓側電壓為 13.8 kV13.8\ \mathrm{kV}，供應 4000 kW4000\ \mathrm{kW}、功率因數 0.80.8 落後的負載時，計算此變壓器的電壓調整率。（8 分）

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核心觀念

本題考查單相變壓器的等效電路、開路試驗，以及以每單位值計算電壓調整率。

  • 開路試驗主要用來求激磁支路參數：鐵損電阻 RcR_c 與激磁電抗 XmX_m。
  • 銘牌的電阻、電抗標麼值可換算為串聯等效阻抗。
  • 感應性負載下，電壓調整率可由近似公式計算： VR≈I2Reqcos⁡ϕ+I2Xeqsin⁡ϕV2×100%\mathrm{VR}\approx \frac{I_2R_{eq}\cos\phi+I_2X_{eq}\sin\phi}{V_2}\times 100\% 其中 ϕ\phi 為負載功率因數角；落後功率因數時，電抗壓降項為正。

解題方法

（一）參照低壓側的等效電路與參數

低壓側額定電壓、容量分別為 Vbase=13.8 kVV_{base}=13.8\ \mathrm{kV}、Sbase=5000 kVAS_{base}=5000\ \mathrm{kVA}。因此低壓側基準阻抗為

Zbase=Vbase2Sbase=(13.8 kV)25000 kVA=38.088 ΩZ_{base}=\frac{V_{base}^2}{S_{base}} =\frac{(13.8\ \mathrm{kV})^2}{5000\ \mathrm{kVA}} =38.088\ \Omega

銘牌串聯電阻與電抗標麼值分別為 Rpu=0.01R_{pu}=0.01、Xpu=0.05X_{pu}=0.05，換算成低壓側歐姆值：

Req=RpuZbase=0.01(38.088)=0.3809 ΩR_{eq}=R_{pu}Z_{base}=0.01(38.088)=0.3809\ \Omega Xeq=XpuZbase=0.05(38.088)=1.9044 ΩX_{eq}=X_{pu}Z_{base}=0.05(38.088)=1.9044\ \Omega

開路試驗在低壓側施加額定電壓，因此量得的 PocP_{oc} 為鐵損，且 VocV_{oc}、IocI_{oc} 用來求激磁支路。

Rc=Voc2Poc=(13 800)290 800=2096.9 ΩR_c=\frac{V_{oc}^2}{P_{oc}} =\frac{(13\,800)^2}{90\,800} =2096.9\ \Omega Ic=PocVoc=90 80013 800=6.5797 AI_c=\frac{P_{oc}}{V_{oc}} =\frac{90\,800}{13\,800} =6.5797\ \mathrm{A}

激磁電流為

Im=Ioc2−Ic2=21.12−6.57972=20.047 AI_m=\sqrt{I_{oc}^2-I_c^2} =\sqrt{21.1^2-6.5797^2} =20.047\ \mathrm{A}

故激磁電抗為

Xm=VocIm=13 80020.047=688.4 ΩX_m=\frac{V_{oc}}{I_m} =\frac{13\,800}{20.047} =688.4\ \Omega

參照低壓側的等效電路可表示為：輸入端並聯激磁支路 Rc∥jXmR_c\parallel jX_m，串聯總漏阻抗 Req+jXeqR_{eq}+jX_{eq}，再接負載。參數為

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第 三 題20 分

額定 25 Hp25\ \mathrm{Hp}、208 V208\ \mathrm{V}、60 Hz60\ \mathrm{Hz}、Y 接之三相同步電動機，每相同步電抗為 1.6 Ω1.6\ \Omega，一切損失均可忽略。

此電動機工作在某一負載下，調整其激磁電流為 2.7 A2.7\ \mathrm{A} 時，電動機從電源汲取 50 A50\ \mathrm{A} 的電流，功率因數恰為 1.01.0。

(一) 求此操作條件下，每相內部生成電壓 EAE_A 之大小及轉矩角 δ\delta。（10 分）

(二) 若機械負載不變，欲使此電動機運轉於功率因數 0.80.8 超前，求新的激磁電流值。（10 分）

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核心觀念

同步電動機忽略電樞電阻時，每相相量方程式為

V‾ϕ=E‾A+jXsI‾A\underline V_\phi=\underline E_A+jX_s\underline I_A

因此

E‾A=V‾ϕ−jXsI‾A\underline E_A=\underline V_\phi-jX_s\underline I_A

其中 E‾A\underline E_A 為內部生成電壓，對電動機而言通常落後端電壓，轉矩角 δ\delta 以其落後角度表示。Y 接時，相電壓為線電壓除以 3\sqrt{3}，而線電流等於相電流。

忽略所有損失時，輸入電功率等於機械負載功率：

P=3VϕIAcos⁡θP=3V_\phi I_A\cos\theta

題目第二問負載不變，故輸入實功率也不變。

（一）求內部生成電壓與轉矩角

相電壓為

Vϕ=2083=120.09 VV_\phi=\frac{208}{\sqrt{3}}=120.09\ \mathrm{V}

功率因數為 11，所以電流與相電壓同相。取相電壓為參考相量：

V‾ϕ=120.09∠0∘ V,I‾A=50∠0∘ A\underline V_\phi=120.09\angle 0^\circ\ \mathrm{V},\qquad \underline I_A=50\angle 0^\circ\ \mathrm{A}

代入同步電動機相量方程式：

E‾A=120.09−j(1.6)(50)=120.09−j80\underline E_A =120.09-j(1.6)(50) =120.09-j80

故內部生成電壓大小為

∣EA∣=120.092+802=144.28 V|E_A|=\sqrt{120.09^2+80^2}=144.28\ \mathrm{V}

其相角為

∠EA=−tan⁡−1(80120.09)=−33.69∘\angle E_A =-\tan^{-1}\left(\frac{80}{120.09}\right) =-33.69^\circ

因此內部生成電壓落後端電壓 33.69∘33.69^\circ，轉矩角為

δ=33.69∘\delta=33.69^\circ

（二）負載不變，功率因數改為 0.80.8 超前

原操作條件的實功率為

P=3VϕIAcos⁡θ=3(120.09)(50)(1)=18.01 kWP=3V_\phi I_A\cos\theta =3(120.09)(50)(1) =18.01\ \mathrm{kW}
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第 四 題20 分

額定 35 Hp35\ \mathrm{Hp}、380 V380\ \mathrm{V}、60 Hz60\ \mathrm{Hz}、Y 接之三相感應電動機，以 380 V380\ \mathrm{V} 全壓啟動時，啟動電流 IstI_{st} 為 330 A330\ \mathrm{A}，功率因數 PFst=0.51PF_{st}=0.51 落後。

若欲降低此電動機之啟動電流至 200 A200\ \mathrm{A}（落後），於啟動時並聯一組 Δ\Delta 接的電容器如圖二所示，試計算電容 CΔC_{\Delta} 之值。（20 分）

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核心觀念

這題考三相感應電動機啟動時的功率因數補償。電容器與電動機並聯後，電容提供超前無功電流，抵銷一部分電動機的落後無功電流，因此可降低電源側的線電流。

以電源端電流分解為有功與無功分量：

IP=Icos⁡ϕ,IQ=Isin⁡ϕI_P=I\cos\phi,\qquad I_Q=I\sin\phi

並聯電容器不改變題目假設下的有功電流分量；補償後仍為落後，表示剩餘無功電流仍是落後分量。Δ 接電容器的三相無功功率為：

QC=3ωCΔVL2,ω=2πfQ_C=3\omega C_{\Delta}V_L^2,\qquad \omega=2\pi f

其中 CΔC_{\Delta} 是每一相電容器的電容量，VLV_L 是線電壓。

解題方法

原電源線電流為 330 A330\ \mathrm{A}，功率因數為 0.510.51 落後。其有功分量為：

IP=330(0.51)=168.3 AI_P=330(0.51)=168.3\ \mathrm{A}

補償後電源線電流為 200 A200\ \mathrm{A}，有功分量不變，因此新的落後無功分量為：

IQ2=2002−168.32=108.05 AI_{Q2}=\sqrt{200^2-168.3^2} =108.05\ \mathrm{A}

原啟動電流的落後無功分量為：

IQ1=3301−0.512=283.86 AI_{Q1}=330\sqrt{1-0.51^2} =283.86\ \mathrm{A}

所以電容器須提供的無功電流對應之無功功率為：

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第 五 題20 分

額定 5050 馬力、250 V250\ \mathrm{V}、1200 rpm1200\ \mathrm{rpm} 的直流並激電動機（DC shunt motor），其等效電路如圖三所示。

圖三中，電樞電阻 Ra=0.12 ΩR_a=0.12\ \Omega，可調式場電阻 Rf=50 ΩR_f=50\ \Omega，無載轉速 n0=1200 rpmn_0=1200\ \mathrm{rpm}，無載時電樞電流為零，並激磁場繞組每極為 10001000 匝。電樞反應在輸入電流 IL=150 AI_L=150\ \mathrm{A} 時產生 15001500 安－匝的去磁磁動勢。

此電動機在固定轉速 1200 rpm1200\ \mathrm{rpm} 時的磁化曲線如圖四所示。考慮磁飽和及電樞反應，計算輸入電流 IL=150 AI_L=150\ \mathrm{A} 時，電動機之有效磁場電流、轉速及轉矩。（20 分）

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核心觀念

直流並激電動機的輸入線電流分為電樞電流與磁場電流：

IL=Ia+IfI_L=I_a+I_f

磁化曲線給出固定轉速下，磁場電流與感應電勢的關係。考慮電樞反應時，先將去磁磁動勢換算成等效磁場電流，再由磁化曲線讀取感應電勢。不同轉速下，在相同磁通時，感應電勢與轉速成正比。

解題方法

磁場繞組與電源並聯，因此磁場電流為

If=VRf=25050=5 AI_f=\frac{V}{R_f}=\frac{250}{50}=5\ \mathrm{A}

電樞電流為

Ia=IL−If=150−5=145 AI_a=I_L-I_f=150-5=145\ \mathrm{A}

每極磁場繞組有 10001000 匝，電樞反應去磁磁動勢為 15001500 安－匝，換算成等效磁場電流：

IAR=15001000=1.5 AI_{\mathrm{AR}}=\frac{1500}{1000}=1.5\ \mathrm{A}

因此有效磁場電流為

If,eff=If−IAR=5−1.5=3.5 AI_{f,\mathrm{eff}}=I_f-I_{\mathrm{AR}}=5-1.5=3.5\ \mathrm{A}

由圖四在 1200 rpm1200\ \mathrm{rpm} 的磁化曲線，讀取 If=3.5 AI_f=3.5\ \mathrm{A} 時的感應電勢，約為 200 V200\ \mathrm{V}。這是依圖估讀的近似值。

負載時電樞感應電勢為

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