112 專技高考高等考試 電機工程技師 電路學 考古題詳解

112 年・專技高考・高等考試・電機工程技師
試題代碼 電路學

第 一 題25 分

如圖一所示之理想變壓器電路，已知該電路之參數為：

Ra=1 ΩR_a=1\,\Omega、Rb=8 ΩR_b=8\,\Omega、C=0.25 FC=0.25\,\mathrm{F}、vs(t)=10e−tu(t) Vv_s(t)=10e^{-t}u(t)\,\mathrm{V}，其中 u(t)u(t) 為單位步階（Unit Step）函數。

變壓器匝數比為 1:21:2。

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試以拉普拉斯轉換（Laplace Transform），求解電流 i(t)i(t)。

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核心觀念

本題考查理想變壓器的阻抗折算，以及以拉普拉斯轉換處理電容與指數輸入。理想變壓器匝數比為 N1:N2=1:2N_1:N_2=1:2，次側阻抗折算至一次側為

Zin(s)=(N1N2)2ZL(s).Z_{\text{in}}(s)=\left(\frac{N_1}{N_2}\right)^2 Z_L(s).

題目未給電容初始電壓，以下依一般考題慣例，假設電容初始未充電。

解題方法

次側的 RbR_b 與電容 CC 並聯。電容在 ss 域的阻抗為

ZC(s)=1sC=4s.Z_C(s)=\frac{1}{sC}=\frac{4}{s}.

因此次側等效負載阻抗為

ZL(s)=8∥4s=8⋅(4/s)8+4/s=4s+0.5.Z_L(s)=8\parallel\frac{4}{s} =\frac{8\cdot(4/s)}{8+4/s} =\frac{4}{s+0.5}.

折算到一次側：

Zin(s)=(12)2ZL(s)=1s+0.5.Z_{\text{in}}(s) =\left(\frac{1}{2}\right)^2 Z_L(s) =\frac{1}{s+0.5}.

輸入電壓的拉普拉斯轉換為

Vs(s)=L{10e−tu(t)}=10s+1.V_s(s)=\mathcal{L}\{10e^{-t}u(t)\} =\frac{10}{s+1}.
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第 二 題25 分

如圖二所示之交流穩態電路，已知該電路之兩電壓源分別為：

vs1(t)=10cos⁡(2t) Vv_{s1}(t)=10\cos(2t)\,\mathrm{V}、

vs2(t)=6sin⁡(2t) Vv_{s2}(t)=6\sin(2t)\,\mathrm{V}。

電路中包含 4 Ω4\,\Omega 電阻、2 H2\,\mathrm{H} 電感，以及 14 F\frac{1}{4}\,\mathrm{F} 電容。

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試以網目分析法（Mesh Analysis），求解電流 i(t)i(t)。

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核心觀念

本題考交流穩態下的網目分析。先將正弦源轉成以餘弦為基準的相量，再以阻抗表示電阻、電感與電容，列出網目方程。圖中電流 i(t)i(t) 的方向向下，正好是左、右網目電流在共用電容支路上的差。

解題方法

角頻率為 ω=2 rad/s\omega=2\ \mathrm{rad/s}，元件阻抗為

ZR=4 Ω,ZL=jωL=j4 Ω,ZC=1jωC=−j2 Ω.Z_R=4\ \Omega,\qquad Z_L=j\omega L=j4\ \Omega,\qquad Z_C=\frac{1}{j\omega C}=-j2\ \Omega.

將電壓源轉成相量：

V~s1=10∠0∘=10,V~s2=6sin⁡(2t)=6cos⁡(2t−90∘)=−j6.\tilde V_{s1}=10\angle 0^\circ=10,\qquad \tilde V_{s2}=6\sin(2t)=6\cos(2t-90^\circ) =-j6.

令左、右網目電流皆採順時針方向，分別為 I~1\tilde I_1、I~2\tilde I_2。左網目沿電容向下，右網目沿電容向上，因此電容支路的向下電流為

I~=I~1−I~2.\tilde I=\tilde I_1-\tilde I_2.

套用網目法，左網目方程為

(4−j2)I~1−(−j2)I~2=10,(4-j2)\tilde I_1-(-j2)\tilde I_2=10,

也就是

(4−j2)I~1+j2I~2=10.(4-j2)\tilde I_1+j2\tilde I_2=10.
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第 三 題25 分

如圖三所示之電路，已知該電路之輸入阻抗為：

Z(s)=500(s+1)(s+1+j100)(s+1−j100),s=jωZ(s)=\frac{500(s+1)}{(s+1+j100)(s+1-j100)},\qquad s=j\omega

試求 RR、LL、CC、GG 之值。

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核心觀念

圖三是三個並聯支路：RR 與 LL 串聯、電容 CC、電導 GG。並聯電路適合先將輸入阻抗取倒數，改以總導納比較：

Y(s)=1Z(s)=1R+sL+sC+GY(s)=\frac{1}{Z(s)} =\frac{1}{R+sL}+sC+G

解題方法

先整理題目給定的阻抗：

Z(s)=500(s+1)(s+1)2+10000Z(s)=\frac{500(s+1)}{(s+1)^2+10000}

因此輸入導納為

Y(s)=(s+1)2+10000500(s+1)=s+1500+20s+1Y(s)=\frac{(s+1)^2+10000}{500(s+1)} =\frac{s+1}{500}+\frac{20}{s+1}

依照電路的並聯導納表示式：

Y(s)=1R+sL+sC+GY(s)=\frac{1}{R+sL}+sC+G

將各項對照。第一項可寫成

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第 四 題25 分

如圖四所示為含有互感之雙埠網路（Two-Port Network），已知該電路之參數為：

Z1=1 ΩZ_1=1\,\Omega、Z2=−j3 ΩZ_2=-j3\,\Omega、jωL1=j2 Ωj\omega L_1=j2\,\Omega、jωL2=j1 Ωj\omega L_2=j1\,\Omega、jωM=j1 Ωj\omega M=j1\,\Omega。

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試求該電路之阻抗參數（Impedance Parameters）或 zz 參數。

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核心觀念

阻抗參數以兩埠電壓、電流表示為

[V1V2]=[z11z12z21z22][I1I2].\begin{bmatrix}V_1\\V_2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}z_{11}&z_{12}\\z_{21}&z_{22}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}I_1\\I_2\end{bmatrix}.

其中 z11z_{11}、z22z_{22} 為自阻抗，z12z_{12}、z21z_{21} 為互阻抗。互感項的正負由線圈點標記與電流方向決定。

解題方法

圖中 I1I_1、I2I_2 都由各埠上端流入，並流入各自線圈的點端，因此互感項取正號。對兩個迴路分別寫電壓方程：

V1=(Z1+jωL1)I1+jωMI2,V_1=(Z_1+j\omega L_1)I_1+j\omega M I_2, V2=jωMI1+(Z2+jωL2)I2.V_2=j\omega M I_1+(Z_2+j\omega L_2)I_2.

代入題目數值：

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