112 專技高考高等考試 電機工程技師 電力系統 考古題詳解

112 年・專技高考・高等考試・電機工程技師
試題代碼 電力系統

第 一 題25 分

一條單回路三相換位輸電線，每相由四條 ACSR 1,272,000 cmil 導線組成，採水平方式架設，如圖一所示。捆紮間距為 50 cm50\ \mathrm{cm}，導線直徑為 3.5103 cm3.5103\ \mathrm{cm}，幾何平均半徑（Geometric Mean Radius, GMR）為 1.4173 cm1.4173\ \mathrm{cm}。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

圖一相關資料：三相導線水平排列，Dab=15 mD_{ab}=15\ \mathrm{m}、Dbc=15 mD_{bc}=15\ \mathrm{m}、Dac=30 mD_{ac}=30\ \mathrm{m}；每相導線由四條子導線組成，子導線間距為 50 cm50\ \mathrm{cm}。

試決定此輸電線每相每公里的電感值及電容值。

🖼️ 本題原卷含圖表。基於試題來源之版權考量，本站不轉載原卷影像； 題目文字已完整轉錄，圖表請自行參閱考選部公告之試題原檔。

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核心觀念

本題考三相換位輸電線的每相電感與電容。水平排列且已換位時，三相間的等效幾何平均距離為

Dm=(DabDbcDca)1/3.D_m=(D_{ab}D_{bc}D_{ca})^{1/3}.

每相由四條子導線組成正方形束線，須先求束線的等效半徑。電感計算使用子導線的幾何平均半徑（GMR）；電容計算則使用子導線的實際物理半徑。

解題方法

相鄰子導線間距為 d=0.5 md=0.5\ \mathrm{m}，正方形對角線距離為 2d\sqrt{2}d。正方形四導線束的等效半徑可寫成

r束=(r d2 2d)1/4,r_{\text{束}}=\left(r\,d^2\,\sqrt{2}d\right)^{1/4},

其中電感計算時令 rr 為子導線 GMR；電容計算時令 rr 為子導線實際半徑。

先算相間幾何平均距離：

Dm=(15×15×30)1/3=18.900 m.D_m=(15\times15\times30)^{1/3}=18.900\ \mathrm{m}.

電感所用的單條子導線 GMR 為 1.4173 cm=0.014173 m1.4173\ \mathrm{cm}=0.014173\ \mathrm{m}，因此

DsL=(0.014173×0.52×2(0.5))1/4=0.2237 m.D_{sL} =\left(0.014173\times0.5^2\times\sqrt{2}(0.5)\right)^{1/4} =0.2237\ \mathrm{m}.

每相每單位長度電感為

L=2×10−7ln⁡(DmDsL) H/m.L=2\times10^{-7}\ln\left(\frac{D_m}{D_{sL}}\right)\ \mathrm{H/m}.

換算為每公里：

L每相=2×10−4ln⁡(18.9000.2237)=8.872×10−4 H/km≈0.887 mH/km.L_{\text{每相}} =2\times10^{-4}\ln\left(\frac{18.900}{0.2237}\right) =8.872\times10^{-4}\ \mathrm{H/km} \approx 0.887\ \mathrm{mH/km}.
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第 二 題25 分

二座 800 MW800\ \mathrm{MW} 的火力發電廠，其單位為 $/h/\mathrm{h} 之燃料成本函數為

C1=400+7.0P1+γP12C_1=400+7.0P_1+\gamma P_1^2 C2=450+βP2+0.002P22C_2=450+\beta P_2+0.002P_2^2

其中 P1P_1 及 P2P_2 之單位為 MW\mathrm{MW}，β\beta 與 γ\gamma 為二未知係數。

當忽略耗損，總功率需求為 550 MW550\ \mathrm{MW} 時，功率之增量成本 λ\lambda 為 $8/MWh8/\mathrm{MWh}；當總功率需求為 1300 MW1300\ \mathrm{MW} 時，功率之增量成本 λ\lambda 為 $10/MWh10/\mathrm{MWh}。

試求發電廠之燃料成本係數 β\beta 及 γ\gamma。

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核心觀念

本題考驗忽略輸電損失時的經濟調度。在機組未碰到出力上下限時，各機組的增量燃料成本相等，並等於系統的功率增量成本 λ\lambda：

dC1dP1=dC2dP2=λ\frac{dC_1}{dP_1}=\frac{dC_2}{dP_2}=\lambda

發電機組出力還須滿足功率平衡：

P1+P2=PDP_1+P_2=P_D

解題方法

先對成本函數微分，求出兩部機組的增量成本：

dC1dP1=7+2γP1,dC2dP2=β+0.004P2\frac{dC_1}{dP_1}=7+2\gamma P_1,\qquad \frac{dC_2}{dP_2}=\beta+0.004P_2

每部機組容量上限為 800 MW800\ \mathrm{MW}。兩個需求點的總出力分別為 550550 及 1300 MW1300\ \mathrm{MW}，均低於兩機合計上限 1600 MW1600\ \mathrm{MW}；依題目所給經濟調度條件，使用兩機增量成本相等式聯立求解。

需求 550 MW550\ \mathrm{MW}，λ=8 \lambda=8\ $/MWh/\mathrm{MWh}：

7+2γP1=8⟹P1=12γ7+2\gamma P_1=8 \quad\Longrightarrow\quad P_1=\frac{1}{2\gamma} β+0.004P2=8⟹P2=8−β0.004\beta+0.004P_2=8 \quad\Longrightarrow\quad P_2=\frac{8-\beta}{0.004}

再由 P1+P2=550P_1+P_2=550 得：

12γ+8−β0.004=550(1)\frac{1}{2\gamma}+\frac{8-\beta}{0.004}=550 \tag{1}

需求 1300 MW1300\ \mathrm{MW}，λ=10 \lambda=10\ $/MWh/\mathrm{MWh}：

7+2γP1=10⟹P1=1.5γ7+2\gamma P_1=10 \quad\Longrightarrow\quad P_1=\frac{1.5}{\gamma}
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第 三 題25 分

有一四匯流排電力系統（4-Bus Power System），如圖二所示，所給之電抗係基於共同 MVA 基準之標么值。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

圖二相關資料：變壓器 T1T_1 之電抗為 XT1=j0.01X_{T1}=j0.01，抽頭設定為 0.8:10.8:1，連接匯流排 1（Bus 1）及匯流排 3（Bus 3）；匯流排 3 與匯流排 4 之間有兩條並聯線路，電抗分別為 j0.1j0.1 及 j0.2j0.2。變壓器 T2T_2 之電抗為 XT2=j0.2X_{T2}=j0.2，抽頭設定為 1.25:11.25:1，連接匯流排 4（Bus 4）及匯流排 2（Bus 2）。

試求匯流排導納矩陣 YbusY_{\mathrm{bus}}。

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核心觀念

本題考查含非標稱變比變壓器的匯流排導納矩陣 YbusY_{\mathrm{bus}} 組成。支路串聯阻抗為 zz、串聯導納為 y=1/zy=1/z，若變壓器的非標稱變比 a:1a:1 位於支路的 pp 端，則其對應的矩陣元素為

Ypp+=ya2,Ypq=Yqp+=−ya,Yqq+=y.Y_{pp}\mathrel{+}=\frac{y}{a^2},\qquad Y_{pq}=Y_{qp}\mathrel{+}=-\frac{y}{a},\qquad Y_{qq}\mathrel{+}=y.

不含變壓器的支路則在兩端對角元素各加 yy，非對角元素各加 −y-y。

解題方法

先計算各支路導納，再依支路端點逐項填入矩陣。矩陣依匯流排順序 (1,2,3,4)(1,2,3,4) 排列。

  1. 變壓器 T1T_1，連接匯流排 1、3

其串聯阻抗為 j0.01j0.01，故

yT1=1j0.01=−j100.y_{T1}=\frac{1}{j0.01}=-j100.

抽頭比 a=0.8a=0.8 位於匯流排 1 端，因此

Y11+=−j1000.82=−j156.25,Y13=Y31+=−−j1000.8=j125,Y_{11}\mathrel{+}=\frac{-j100}{0.8^2}=-j156.25,\qquad Y_{13}=Y_{31}\mathrel{+}=-\frac{-j100}{0.8}=j125, Y33+=−j100.Y_{33}\mathrel{+}=-j100.
  1. 匯流排 3、4 間的兩條並聯線路

兩條線路的導納分別為

y34,1=1j0.1=−j10,y34,2=1j0.2=−j5.y_{34,1}=\frac{1}{j0.1}=-j10,\qquad y_{34,2}=\frac{1}{j0.2}=-j5.

合併後總導納為 −j15-j15，因此

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第 四 題25 分

一部 60 Hz60\ \mathrm{Hz} 三相交流同步發電機藉由純電感性線路連接到一個無限匯流排上，發電機慣量常數 H=5 MJ/MVAH=5\ \mathrm{MJ/MVA} 和直軸暫態電抗 Xd′=0.2X'_d=0.2 標么，如圖三所示，其他電抗值是以共同基值標在圖上。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

圖三相關資料：發電機直軸暫態電抗 Xd′=0.2X'_d=0.2，變壓器電抗 Xt=0.2X_t=0.2；兩條輸電線電抗分別為 XL1=0.2X_{L1}=0.2 及 XL2=0.2X_{L2}=0.2；無限匯流排電壓為 V=1.0∠0V=1.0\angle 0 標么；故障點 FF 位於輸電線送電端，圖示故障阻抗為 0.010.01 標么。

發電機送出實功率 Pe=0.8P_e=0.8 標么和虛功率 Q=0.074Q=0.074 標么，到電壓 V=1V=1 標么之無限匯流排上。

若在輸電線送電端 FF 處發生三相故障，故障阻抗為 0.010.01 標么，當故障清除後，輸電線成功閉回到故障前之原始狀態。

試決定該同步機之臨界清除角。

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核心觀念

本題考同步機暫態穩定度的等面積準則。故障期間，機械輸入功率 PmP_m 大於電氣輸出功率 PeP_e，轉子加速；故障清除後，轉子需靠減速面積吸收故障期間累積的加速面積。兩面積相等時的故障清除功角，就是臨界清除角。

題目未指定 0.010.01 標麼故障阻抗的相角，以下按常見考題假設取故障電阻 Rf=0.01R_f=0.01 標麼。故障點位於線路送電端，因此故障期間以故障點的並聯故障支路建模；故障清除後，線路成功復閉，系統回到故障前狀態。

解題方法

1. 求故障前內部電勢與初始功角

故障前兩條電抗各為 0.20.2 標麼的輸電線並聯，等效電抗為

XL=0.2∥0.2=0.1X_L=0.2\parallel 0.2=0.1

無限匯流排電壓為 1∠01\angle 0，送入無限匯流排的複功率為 S=0.8+j0.074S=0.8+j0.074，因此電流

I=(SV)∗=0.8−j0.074I=\left(\frac{S}{V}\right)^*=0.8-j0.074

由無限匯流排往發電機方向計算電壓降，送電端電壓為

V1=1+j(0.1)I=1.0074+j0.08V_1=1+j(0.1)I=1.0074+j0.08

發電機內部電勢與匯流排間的電抗為 Xd′+Xt=0.2+0.2=0.4X'_d+X_t=0.2+0.2=0.4，故

E′=V1+j(0.4)I=1.037+j0.4=1.1115∠21.093∘E'=V_1+j(0.4)I =1.037+j0.4 =1.1115\angle 21.093^\circ

初始功角為 δ0=21.093∘\delta_0=21.093^\circ。故障清除後回復原網路，總電抗為

Xpost=0.2+0.2+0.1=0.5X_{\text{post}}=0.2+0.2+0.1=0.5

因此故障後功率角特性為

Pe,post=Pmax⁡sin⁡δ,Pmax⁡=E′VXpost=1.11150.5=2.2229P_{e,\text{post}}=P_{\max}\sin\delta, \qquad P_{\max}=\frac{E'V}{X_{\text{post}}} =\frac{1.1115}{0.5}=2.2229

穩定平衡點的另一端（不穩定平衡角）為

δu=π−sin⁡−1(PmPmax⁡)=158.907∘\delta_u=\pi-\sin^{-1}\left(\frac{P_m}{P_{\max}}\right) =158.907^\circ

其中 Pm=0.8P_m=0.8 標麼。

2. 求故障期間電氣功率

故障期間，兩條線路仍接在故障點與無限匯流排之間，其等效電抗為 0.10.1 標麼；故障點另有 Rf=0.01R_f=0.01 標麼的並聯支路。將故障點節點消去，取

yg=1j0.4=−j2.5,yL=1j0.1=−j10,yf=10.01=100y_g=\frac{1}{j0.4}=-j2.5,\qquad y_L=\frac{1}{j0.1}=-j10,\qquad y_f=\frac{1}{0.01}=100
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