109 年專技高考高等考試電機工程技師考古題與詳解

Question 1

一負載的端電壓 $v(t)=\sqrt{2}V{\mathrm{rms}}\cos(\omega t+\alpha)$ 伏特，其相量為 $V{\mathrm{rms}}\angle\alpha$；通過的電流 $i(t)=\sqrt{2}I{\mathrm{rms}}\cos(\omega t+\beta)$ 安培，其相量為 $I{\mathrm{rms}}\angle\beta$。此負載之平均功率為何？ 請推導此負載之瞬時功率（instantaneous power），並說明瞬時功率式子中何者是實功率（real power）$P$？何者是虛功率（reactive power）$Q$？

Accepted Answer

核心觀念

本題考交流電路的瞬時功率與平均功率，關鍵是將電壓、電流的瞬時值相乘，再利用三角恆等式分解。電壓與電流的相位差為

\phi=\alpha-\beta

其中 $\phi>0$ 表示電流落後電壓； $\phi<0$ 表示電流超前電壓。

解題方法

瞬時功率定義為電壓與電流的乘積：

p(t)=v(t)i(t)

代入題目所給的波形：

\begin{aligned} p(t) &=2V_{\mathrm{rms}}I_{\mathrm{rms}} \cos(\omega t+\alpha)\cos(\omega t+\beta)\\ &=V_{\mathrm{rms}}I_{\mathrm{rms}} \left[\cos(\alpha-\beta)+\cos(2\omega t+\alpha+\beta)\right] \end{aligned}

此處使用恆等式 $2\cos x\cos y=\cos(x-y)+\cos(x+y)$ 。再令 $\phi=\alpha-\beta$ ，可寫成

p(t)=V_{\mathrm{rms}}I_{\mathrm{rms}}\cos\phi +V_{\mathrm{rms}}I_{\mathrm{rms}}\cos(2\omega t+\alpha+\beta)

瞬時功率包含一個固定的平均值，以及一個頻率為電源頻率兩倍的振盪項。對一個週期取平均時，振盪項的平均值為零，因此

P_{\mathrm{avg}} =V_{\mathrm{rms}}I_{\mathrm{rms}}\cos\phi

這就是負載的平均功率，也稱實功率 $P$ 。

實功率與虛功率

實功率為

P=V_{\mathrm{rms}}I_{\mathrm{rms}}\cos\phi

它是瞬時功率式中的固定項，單位為瓦特（W）。

虛功率（無功功率）為

Question 2

有一三相、$345\ \mathrm{kV}$、$60\ \mathrm{Hz}$、有換位的輸電線，每相由兩條 ACSR、$1{,}113{,}000\ \mathrm{cmil}$、45/7 Bluejay 導體所構成，水平排列且相間間隔為 $10\ \mathrm{m}$。導體直徑為 $3.195\ \mathrm{cm}$，且 GMR 為 $1.268\ \mathrm{cm}$。每相之導體間隔為 $40\ \mathrm{cm}$，輸電線之電阻、對地電導忽略不計，輸電線長 $200\ \mathrm{km}$，$VS=345\angle30^\circ\ \mathrm{kV}$，$VR=327.75\angle0^\circ\ \mathrm{kV}$。 試利用 $\pi$ 模型，計算輸電線傳輸的實功率。

Accepted Answer

核心觀念

本題考查有換位三相輸電線的等效幾何距離、雙分裂導體的等效半徑，以及標稱 $\pi$ 模型的傳輸線計算。

水平排列且相間距依序為 $10\ \mathrm{m}$ 、 $10\ \mathrm{m}$ 、 $20\ \mathrm{m}$ ，換位後的等效相間距為

D_m=(10\times10\times20)^{1/3}=12.599\ \mathrm{m}

每相有兩條間隔 $s=0.4\ \mathrm{m}$ 的子導體。計算電感時，雙分裂導體等效 GMR 為 $\sqrt{\mathrm{GMR}\,s}$ ；計算電容時，等效半徑為 $\sqrt{r\,s}$ ，其中 $r$ 是單根導體半徑。

解題方法

1. 求每相串聯電感與電容

單根導體半徑為

r=\frac{3.195}{2}\ \mathrm{cm}=0.015975\ \mathrm{m}

雙分裂導體的電感等效 GMR 為

D_{sL}=\sqrt{0.01268\times0.4}=0.071218\ \mathrm{m}

雙分裂導體的電容等效半徑為

D_{sC}=\sqrt{0.015975\times0.4}=0.079937\ \mathrm{m}

因此每相單位長度電感與電容分別為

L'=2\times10^{-7}\ln\left(\frac{D_m}{D_{sL}}\right) =1.03513\times10^{-6}\ \mathrm{H/m} =1.03513\ \mathrm{mH/km}

C'=\frac{2\pi\varepsilon_0}{\ln(D_m/D_{sC})} =1.09940\times10^{-11}\ \mathrm{F/m} =0.0109940\ \mathrm{\mu F/km}

2. 求 200 km 線路的串聯阻抗與並聯導納

忽略電阻與對地電導，線路總串聯阻抗與並聯導納為

Question 3

圖一所示為一具有二匯流排之電力系統（two-bus power system）。匯流排 1 是匱乏匯流排（slack bus），且 $V_1=1.0\angle0^\circ\ \mathrm{pu}$ ；匯流排 2 之負載為 $200\ \mathrm{MW}$ 及 $50\ \mathrm{Mvar}$ ；輸電線導納為 $y_{12}=-j10\ \mathrm{pu}$ ，以 $100\ \mathrm{MVA}$ 為基準。

請寫出匯流排 2 之電力潮流方程式，並利用牛頓－拉弗森法（Newton-Raphson method），求解匯流排 2 之電壓大小及相角。以起始估計值 $V_2=1.0\angle0^\circ\ \mathrm{pu}$ 及 $\delta_2=0^\circ$ 開始，執行二次疊代。

圖一：具有二匯流排之電力系統。

Accepted Answer

核心觀念 本題考二匯流排潮流計算，以及牛頓－拉弗森法（Newton–Raphson method）求解。匯流排 1 為平衡匯流排，電壓固定為 $V1=1\angle 0^\circ$ pu；匯流排 2 為負載匯流排，需解其電壓大小 $V2$ 與相角 $\delta2$。 以 $100\ \mathrm{MVA}$ 為基準，匯流排 2 的負載為 $200\ \mathrm{MW}+j50\ \mathrm{Mvar}$，換成淨注入功率規格為 $$ P2^{\mathrm{sp}}=-2.0\ \mathrm{pu},\qquad Q2^{\mathrm{sp}}=-0.5\ \mathrm{pu}. $$ 負載是功率流出匯流排的用電，因此淨注入功率取負號。 匯流排 2 的潮流方程式 線路導納 $y{12}=-j10$ pu，故兩匯流排導納矩陣為 $$ Y{\mathrm{bus}}= \begin{bmatrix} -j10 & j10\ j10 & -j10 \end{bmatrix}. $$ 令 $V2=V\angle\delta$，其中 $\delta=\delta2-\delta1=\delta2$。匯流排 2 的複功率注入為 $$ S2=P2+jQ2 =V2 I2^ =V2\left[y{12}(V2-V1)\right]^. $$ 代入 $V1=1\angle0^\circ$ 與 $y{12}=-j10$，得 $$ P2=10V\sin\delta, \qquad Q2=10V^2-10V\cos\delta. $$ 因此，待滿足的功率方程式為 $$ 10V\sin\delta=-2.0, \qquad 10V^2-10V\cos\delta=-0.5. $$ 牛頓－拉弗森法計算 以狀態變數順序 $(\delta,V)$ 建立雅可比矩陣： $$ J= \begin{bmatrix} \dfrac{\partial P}{\partial\delta} & \dfrac{\partial P}{\partial V}\[4pt] \dfrac{\partial Q}{\partial\delta} & \dfrac{\partial Q}{\partial V} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 10V\cos\delta & 10\sin\delta\ 10V\sin\delta & 20V-10\cos\delta \end{bmatrix}. $$ 每次迭代依照下式計算修正量：

Question 4

圖二所示電力系統的電抗資料，係以共通基準值的標么值表示，如下表： | 項目 | $X1$ | $X2$ | $X0$ | |---|---:|---:|---:| | $G1$ | $0.2$ | $0.2$ | $0.05$ | | $G2$ | $0.1$ | $0.1$ | $0.05$ | | $T1$ | $0.25$ | $0.25$ | $0.25$ | | $T2$ | $0.3$ | $0.3$ | $0.3$ | | 線路 1-2 | $0.4$ | $0.4$ | $0.5$ | 試針對發生在匯流排 1 的故障，求其戴維寧相序阻抗，並計算直接三相故障發生在匯流排 1 的故障電流，以及直接線對線故障（$b$、$c$ 相短接）發生在匯流排 1 的故障電流，以標么值表示。 圖二：電力系統電抗資料。

Accepted Answer

核心觀念

本題以對稱分量法建立故障點的正序、負序、零序網路。三相故障只使用正序網路；直接線對線故障使用正序與負序網路，零序電流為零。

依圖， $T_1$ 、 $T_2$ 的輸電線側均為接地 Y 側，發電機側為 Δ 側。假設變壓器中性點直接接地，且故障前匯流排 1 電壓為 $1\angle 0^\circ$ pu。

解題方法

正序戴維寧阻抗

故障點匯流排 1 看入系統，有兩條支路：

左支路： $T_1$ 與 $G_1$ 串聯，阻抗為 $0.25+j0$ 與 $j0.2$ ，合計 $j(0.25+0.2)=j0.45$ pu。
右支路：線路 1-2、 $T_2$ 與 $G_2$ 串聯，合計 $j(0.4+0.3+0.1)=j0.8$ pu。

兩支路並聯，因此

Z_{1,\mathrm{th}} =j(0.45\parallel 0.8) =j\frac{0.45\times0.8}{0.45+0.8} =j0.288\ \mathrm{pu}.

負序戴維寧阻抗

負序電抗與正序電抗相同，兩支路仍為 $j0.45$ pu 與 $j0.8$ pu，故

Z_{2,\mathrm{th}}=j(0.45\parallel 0.8)=j0.288\ \mathrm{pu}.

零序戴維寧阻抗

變壓器的接地 Y 側可提供零序電流接地路徑；Δ 側阻斷零序電流流入發電機。因此， $G_1$ 、 $G_2$ 的零序電抗不納入故障點零序網路。

從匯流排 1 看入，左側經 $T_1$ 接地，阻抗為 $j0.25$ pu；右側經線路與 $T_2$ 接地，阻抗為 $j(0.5+0.3)=j0.8$ pu。兩者並聯：

Z_{0,\mathrm{th}} =j(0.25\parallel0.8) =j\frac{0.25\times0.8}{0.25+0.8} =j0.190476\ \mathrm{pu}.

故障電流計算

直接三相故障

三相故障只使用正序網路：

Question 5

二座發電廠，有相同燃料成本，燃料成本 $$ Ci=\beta P{Gi}+\gamma P{Gi}^2\ \mathrm{\$/hr},\qquad i=1,2 $$ 其中，$\beta=6\ \mathrm{\$/MWh}$，$\gamma=5	imes10^{-3}\ \mathrm{\$/MW^2h}$。 輸電線損失為 $$ PL=B{11}P{G1}^2+B{22}P{G2}^2 $$ 其中，$B{11}=0.5	imes10^{-3}\ \mathrm{MW}^{-1}$，$B{22}=0.2	imes10^{-3}\ \mathrm{MW}^{-1}$，負載需求為 $600\ \mathrm{MW}$。 請將各數值代入列出，求 $P{G1}$、$P{G2}$ 最佳調度值之方程式。

Accepted Answer

核心觀念 本題考有限輸電線損失下的經濟調度。發電機的總發電量須供應負載與線路損失： $$ P{G1}+P{G2}=PD+PL $$ 在各機組成本函數可微、且不考慮機組出力上下限等限制時，最佳調度須使各機組的「增量燃料成本乘上懲罰因子」相等： $$ \frac{dCi}{dP{Gi}}\frac{1}{1-\dfrac{\partial PL}{\partial P{Gi}}} =\lambda $$ 其中 $\lambda$ 為系統增量成本。題目要求列出求最佳出力的方程式，因此需代入數值建立兩機組的等增量成本式與功率平衡式。 解題方法 各機組燃料成本為 $$ Ci=6P{Gi}+0.005P{Gi}^2 $$ 因此增量燃料成本為 $$ \frac{dCi}{dP{Gi}}=6+0.01P{Gi} $$ 線路損失為 $$ PL=0.0005P{G1}^2+0.0002P{G2}^2 $$ 對各機組出力取偏微分： $$ \frac{\partial PL}{\partial P{G1}}=0.001P{G1}, \qquad \frac{\partial PL}{\partial P{G2}}=0.0004P{G2} $$ 故兩機組的懲罰因子分別為 $$ \frac{1}{1-0.001P{G1}}, \qquad \frac{1}{1-0.0004P{G2}} $$

Question 6

包含二發電機組之單區域，二機組之額定為 $500\ \mathrm{MVA}$ 及 $800\ \mathrm{MVA}$ 。以各自額定為基準時，其速率調整率分別為 $5\%$ 及 $5\%$ 。假設沒有受制於頻率的負載，即 $D=0$ ，二機並聯運轉，且供應負載 $700\ \mathrm{MW}$ ；當頻率為 $1.0\ \mathrm{pu}$ （ $60\ \mathrm{Hz}$ ）時，機組 1 供應 $200\ \mathrm{MW}$ ，機組 2 供應 $500\ \mathrm{MW}$ 。

若負載增加 $150\ \mathrm{MW}$ ，試求穩態時之頻率偏移量，及每一機組新的發電量？

Accepted Answer

核心觀念

本題考查單一控制區的調速器一次調頻。機組速率調整率（droop）定義為頻率變化量與機組出力變化量的比值；在頻率降低時，並聯機組依各自調速器特性增加出力。

機組 $i$ 的下垂特性可寫成：

\Delta P_i=-\frac{P_{ri}}{R_i}\Delta f_{\mathrm{pu}}

其中 $P_{ri}$ 是機組額定容量， $R_i$ 是以各自額定容量為基準的速率調整率， $\Delta f_{\mathrm{pu}}$ 是系統頻率的標麼變化量。負號表示頻率下降時，機組出力增加。

解題方法

兩部機組並聯且供應同一負載，穩態頻率偏移相同。由於 $D=0$ ，沒有負載頻率特性造成的負載變化，因此負載增加量完全由兩部機組的出力增量供應：

\Delta P_1+\Delta P_2=150\ \mathrm{MW}

兩機速率調整率均為 $5\%$ ，其調節功率斜率分別為：

\frac{P_{r1}}{R_1}=\frac{500}{0.05}=10{,}000\ \mathrm{MW/pu}

\frac{P_{r2}}{R_2}=\frac{800}{0.05}=16{,}000\ \mathrm{MW/pu}

因此兩機合計斜率為 $26{,}000\ \mathrm{MW/pu}$ 。令頻率變化量為 $\Delta f_{\mathrm{pu}}$ ，則：

150=-(10{,}000+16{,}000)\Delta f_{\mathrm{pu}}

\Delta f_{\mathrm{pu}}=-\frac{150}{26{,}000} =-0.00576923

換算成實際頻率變化量：

109 專技高考高等考試電機工程技師電力系統考古題詳解

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