109 專技高考高等考試 電機工程技師 電機機械 考古題詳解

核心觀念

本題考變壓器等效電路中的激磁支路與漏磁電抗：

• 激磁支路包含鐵損電阻 $R_C$ 與磁化電抗 $X_M$。鐵損電流為 $I_C=V_P/R_C$；磁化電流為 $I_M=V_P/X_M$。
• 題設鐵心導磁係數接近無限大，因此磁化所需磁動勢趨近於零，等效為 $X_M\to\infty$，故 $I_M=0$。空載激磁電流仍包含鐵損電流。
• 漏磁磁路的磁阻為 $\mathcal{R}_P$ 時，主側漏感為 $L_P=N_P^2/\mathcal{R}_P$，漏磁電抗為 $X_P=\omega L_P$。

解題方法

額定容量與電壓比為 $50\ \text{kVA}$、$2400:240\ \text{V}$。依圖中標示，主側額定電壓為 $V_P=2400\ \text{V}$，主側匝數為 $N_P=1000$ 匝。

（一）主側激磁電流 $I_\phi$

額定操作時鐵損為 $P_C=500\ \text{W}$，因此鐵損電流為

由於導磁係數接近無限大，$X_M\to\infty$，所以磁化電流分量為

因此空載激磁電流只有鐵損電流分量；若以相量表示，並以端電壓為相位參考，則

核心觀念

本題評量**他激式直流電機（Separately Excited DC Machine）**在「發電機」與「電動機」兩種運轉模式下的基本電路與機電能量轉換方程式。

1. 磁通恆定特性： 題目載明「固定激磁」，表示激磁電流與主磁極磁通為定值（$\Phi = \text{const}$）。
2. 感應電動勢（反電動勢）方程式： $E_a = K_a \Phi \omega_m = K_e n$ 其中，$\omega_m = \frac{2\pi n}{60}\ (\text{rad/s})$ 為機械角速度，$n$ 為轉速（$\text{rpm}$）。由於 $\Phi$ 固定，電動勢與轉速成嚴格正比： $\frac{E_{a2}}{E_{a1}} = \frac{n_2}{n_1}$
3. 發電機模式（Generator Mode）： 電樞電流由電樞流向負載，端電壓小於感應電動勢： $V_t = E_a - I_a R_a$ 電氣輸出功率為： $P_{\text{out}} = V_t I_a$
4. 電動機模式（Motor Mode）： 電源端電壓驅動電樞電流流入，端電壓大於反電動勢： $V_t = E_a + I_a R_a \implies E_a = V_t - I_a R_a$ 在未特別給定旋轉損耗（鐵損、機械摩擦與風阻損）的國考慣例下，忽略旋轉損耗，機械負載功率即等於電磁轉換功率： $P_{\text{mech}} = P_{\text{conv}} = E_a I_a$
5. 轉矩方程式： $T = K_a \Phi I_a = \frac{P_{\text{conv}}}{\omega_m}$

解題方法

【基準參數推導】

在轉速 $n_1 = 3000\ \text{rpm}$ 下開路運轉，此時電樞電流 $I_a = 0$： $E_{a1} = V_{t1,\text{oc}} = 125\ \text{V}$ 此時可求得電動勢常數關係： $K_e = \frac{E_{a1}}{n_1} = \frac{125}{3000} = \frac{1}{24}\ \text{V/rpm}$ 轉矩與反電動勢係數常數 $K_a \Phi$ 為： $\omega_{m1} = \frac{2\pi \times 3000}{60} = 100\pi\ \text{rad/s}$ $K_a \Phi = \frac{E_{a1}}{\omega_{m1}} = \frac{125}{100\pi} = \frac{5}{4\pi}\ \text{N}\cdot\text{m/A} \approx 0.3979\ \text{V}\cdot\text{s/rad}$

(一) 發電機轉速提升至 $4000\ \text{rpm}$ 時之輸出端電壓

1. 求轉速 $n_2 = 4000\ \text{rpm}$ 時之感應電動勢 $E_{a2}$： $E_{a2} = E_{a1} \times \frac{n_2}{n_1} = 125 \times \frac{4000}{3000} = \frac{500}{3}\ \text{V} \approx 166.67\ \text{V}$

2. 建立電壓與功率關聯方程式： 已知發電機輸出功率 $P_{\text{out}} = 21.5\ \text{kW} = 21500\ \text{W}$，電樞電流可表示為： $I_a = \frac{P_{\text{out}}}{V_t}$ 代入發電機端電壓方程式： $V_t = E_{a2} - I_a R_a = E_{a2} - \frac{P_{\text{out}}}{V_t} R_a$ 同乘以 $V_t$，整理為一元二次方程式： $V_t^2 - E_{a2} V_t + P_{\text{out}} R_a = 0$ 代入已知數值（$P_{\text{out}} R_a = 21500 \times 0.02 = 430$）： $V_t^2 - \frac{500}{3} V_t + 430 = 0 \implies 3V_t^2 - 500V_t + 1290 = 0$

3. 求解一元二次方程式： $V_t = \frac{-(-500) \pm \sqrt{(-500)^2 - 4 \times 3 \times 1290}}{2 \times 3} = \frac{500 \pm \sqrt{250000 - 15480}}{6} = \frac{500 \pm \sqrt{234520}}{6}$ $\sqrt{234520} \approx 484.27$ 解得兩根：

核心觀念

本題評量三相感應馬達（Three-Phase Induction Motor）之單相等效電路分析與轉矩方程式應用，涵蓋以下核心觀念：

1. 同步轉速（Synchronous Speed）與同步角速度： $n_s = \frac{120f}{P}\quad (\text{rpm})$ $\omega_s = \frac{2\pi n_s}{60}\quad (\text{rad/s})$
2. 轉差率（Slip, $s$）： $s = \frac{n_s - n}{n_s}$

• 起始瞬間（Starting, $n = 0$）：$s = 1$。
• 穩態運轉（$n = 1188\text{ rpm}$）：依轉速公式計算對應之轉差率。

3. 氣隙功率（Air-Gap Power, $P_{ag}$）與電磁轉矩（Induced Torque, $T_{ind}$）： 題目載明「不計鐵心效應」，且未給定激磁電抗 $X_m$，故採用忽略激磁支路之簡化單相等效電路。三相總氣隙功率為： $P_{ag} = 3 I_2'^2 \left(\frac{R_2}{s}\right)$ 由氣隙功率推導電磁感應轉矩： $T_{ind} = \frac{P_{ag}}{\omega_s} = \frac{3}{\omega_s} \cdot \frac{V_1^2}{\left(R_1 + \frac{R_2}{s}\right)^2 + (X_1 + X_2)^2} \cdot \frac{R_2}{s}$ 在未給定旋轉機械損與雜散損之情況下，穩態運轉時負載轉矩 $T_L$ 等於電動機產生之電磁轉矩 $T_{ind}$。

解題方法

基本參數整理

• 線電壓 $V_{LL} = 220\text{ V}$，Y 接每相相電壓： $V_1 = \frac{V_{LL}}{\sqrt{3}} = \frac{220}{\sqrt{3}}\text{ V}$
• 電源頻率 $f = 60\text{ Hz}$，極數 $P = 6$。
• 同步轉速： $n_s = \frac{120 \times 60}{6} = 1200\text{ rpm}$
• 同步機械角速度： $\omega_s = \frac{2\pi \times 1200}{60} = 40\pi \approx 125.664\text{ rad/s}$
• 等效電抗和： $X_{eq} = X_1 + X_2 = 0.5 + 0.4 = 0.9\ \Omega$

(一) 求感應馬達之起始轉矩（$T_{start}$）

1. 判斷起始條件： 馬達剛啟動時轉子靜止，$n = 0$，轉差率 $s = 1$。

2. 計算起始時等效總阻抗模數平方： $Z_{start} = (R_1 + R_2) + j(X_1 + X_2) = (0.3 + 0.2) + j0.9 = 0.5 + j0.9\ \Omega$ $|Z_{start}|^2 = 0.5^2 + 0.9^2 = 0.25 + 0.81 = 1.06\ \Omega^2$

3. 計算三相氣隙功率 $P_{ag,start}$： $P_{ag,start} = 3 \times \frac{V_1^2}{|Z_{start}|^2} \times R_2 = \frac{3 \times \left(\frac{220}{\sqrt{3}}\right)^2}{1.06} \times 0.2 = \frac{220^2 \times 0.2}{1.06} = \frac{9680}{1.06} \approx 9132.08\text{ W}$

核心觀念

三相定子繞組的三個相軸在空間相差 $120^\circ$。每相電流產生的磁動勢大小為 $F_k=Ni_k$，方向沿該相的正相軸；電流為負時，磁動勢方向反轉。

依圖取 $a$ 相軸為 $0^\circ$，$b$ 相軸為 $120^\circ$，$c$ 相軸為 $240^\circ$。對稱三相電流所產生的合成磁動勢大小固定為 $\frac{3}{2}NI$，並隨時間以角速度 $\omega_e$ 旋轉。

解題方法

令 $\theta=\omega_e t$，三相軸的單位向量分別為 $\hat a,\hat b,\hat c$，則

將三相軸取為

可得合成磁動勢

因此合成磁動勢的方向角為 $\theta$，大小為 $\frac{3}{2}NI$。

（一）$t=0$ 時

此時 $\theta=0^\circ$，三相電流為

核心觀念

鐵心相對導磁率視為無限大，因此磁路磁阻只計算兩個氣隙。轉子轉動時，氣隙的有效重疊面積隨角度改變，因而電感也隨角度改變。利用磁阻、電感及磁共能即可求出電感與電磁轉矩。

解題方法

依圖示，轉子每一端與定子極面形成一個氣隙，共有兩個氣隙串聯。以轉子對準時為 $\theta=0$，轉動 $\theta$ 後，每個氣隙的有效重疊弧長為 $r_1(\frac{\pi}{2}-\theta)$，故單一氣隙面積為

其中 $\theta$ 須以弧度表示。兩個氣隙串聯，總磁阻為

因此電感為

代入 $N=120$、$h=0.018\ \text{m}$、$r_1=0.025\ \text{m}$、$g=0.003\ \text{m}$：

因此，當 $\theta=0$ 時，