112 專技高考高等考試 電機工程技師 電子學（包括電力電子學） 考古題詳解

112 年・專技高考・高等考試・電機工程技師
試題代碼 電子學（包括電力電子學）

第 一 題25 分

如圖一的共基極電路，電晶體參數為 β=100\beta=100、VBE=0.7 VV_{BE}=0.7\ \mathrm{V}、VA=∞V_A=\infty、Cπ=10 pFC_{\pi}=10\ \mathrm{pF}、Cμ=1 pFC_{\mu}=1\ \mathrm{pF}。

試求小訊號等效電路中 CπC_{\pi} 與 CμC_{\mu} 個別對應的高頻 3 dB3\ \mathrm{dB} 頻率 fHπf_{H\pi} 和 fHμf_{H\mu}，與中頻帶電壓增益 Av=vo/viA_v=v_o/v_i。

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核心觀念

本題考共基極放大器的直流偏壓、小訊號中頻增益，以及用開路時間常數法求各電晶體電容所對應的高頻 3 dB3\ \mathrm{dB} 頻率。

交流分析時，圖中的耦合與旁路電容視為短路；理想電流源的小訊號電阻視為開路。取室溫熱電壓 VT=25 mVV_T=25\ \mathrm{mV}，則

gm=ICVT,rπ=βgm,re=rπβ+1.g_m=\frac{I_C}{V_T},\qquad r_\pi=\frac{\beta}{g_m},\qquad r_e=\frac{r_\pi}{\beta+1}.

解題方法

1. 求直流工作電流

直流時，耦合與旁路電容開路。電流源提供的電流由集極電流與基極電流共同流入電晶體，因此

IQ=IC+IB=IE=0.5 mA.I_Q=I_C+I_B=I_E=0.5\ \mathrm{mA}.

所以

IC=ββ+1IE=100101(0.5 mA)=0.49505 mA.I_C=\frac{\beta}{\beta+1}I_E =\frac{100}{101}(0.5\ \mathrm{mA}) =0.49505\ \mathrm{mA}.

因此

gm=0.49505 mA25 mV=19.802 mS,rπ=10019.802 mS=5.050 kΩ,g_m=\frac{0.49505\ \mathrm{mA}}{25\ \mathrm{mV}} =19.802\ \mathrm{mS}, \qquad r_\pi=\frac{100}{19.802\ \mathrm{mS}} =5.050\ \mathrm{k\Omega}, re=rπ101=50.0 Ω.r_e=\frac{r_\pi}{101}=50.0\ \Omega.

2. 求 CπC_\pi 對應頻率

求 CπC_\pi 的時間常數時，將其他電容視為開路，並將獨立訊號源歸零。從 CπC_\pi 兩端看入，基極為交流接地；射極至地的電阻為 RSR_S、RER_E 與 rer_e 的並聯：

Rπ,eq=RS∥RE∥re=50∥500∥50=23.81 Ω.R_{\pi,\mathrm{eq}}=R_S\parallel R_E\parallel r_e =50\parallel 500\parallel 50 =23.81\ \Omega.

故

fHπ=12πRπ,eqCπ=12π(23.81 Ω)(10 pF)≈668.5 MHz.f_{H\pi}=\frac{1}{2\pi R_{\pi,\mathrm{eq}}C_\pi} =\frac{1}{2\pi(23.81\ \Omega)(10\ \mathrm{pF})} \approx 668.5\ \mathrm{MHz}.
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第 二 題25 分

如圖二的史密特（Schmitt）觸發振盪器電路，運算放大器為理想元件，R1=10 kΩR_1=10\ \mathrm{k}\Omega、R2=20 kΩR_2=20\ \mathrm{k}\Omega、RX=40 kΩR_X=40\ \mathrm{k}\Omega、CX=0.02 μFC_X=0.02\ \mu\mathrm{F}，輸出飽和電壓為 ±5 V\pm5\ \mathrm{V}。

試求 vX(t)v_X(t) 時間函數表示式。取 t=0t=0 時，vov_o 已切換至高電位（high state）狀態。

求此振盪器的振盪頻率及責任週期（duty cycle），即輸出電壓在高電位狀態時間的百分比。

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核心觀念

此電路由施密特觸發器與 RXCXR_XC_X 充放電網路構成。輸出電壓經 R2R_2、R1R_1 分壓，形成比較器的切換門檻；電容電壓 vXv_X 則透過 RXR_X 朝輸出電壓充電或放電。

輸出為高電位時，非反相端門檻為

VT+=5R1R1+R2=51010+20=53 V.V_{T+}=5\frac{R_1}{R_1+R_2} =5\frac{10}{10+20} =\frac{5}{3}\ \mathrm{V}.

輸出為低電位時，門檻為

VT−=−5R1R1+R2=−53 V.V_{T-}=-5\frac{R_1}{R_1+R_2} =-\frac{5}{3}\ \mathrm{V}.

電容的時間常數為

τ=RXCX=(40 kΩ)(0.02 μF)=0.8 ms.\tau=R_XC_X =(40\ \mathrm{k}\Omega)(0.02\ \mu\mathrm{F}) =0.8\ \mathrm{ms}.

解題方法

題目指定 t=0t=0 時輸出剛切換至高電位，因此此時電容電壓連續，等於低電位時觸發切換的門檻：

vX(0)=−53 V.v_X(0)=-\frac{5}{3}\ \mathrm{V}.

高電位期間

輸出為 +5 V+5\ \mathrm{V}，vXv_X 經 RXR_X 朝 +5 V+5\ \mathrm{V} 充電：

vX(t)=5+(−53−5)e−t/τ=5−203e−t/τ.v_X(t)=5+\left(-\frac{5}{3}-5\right)e^{-t/\tau} =5-\frac{20}{3}e^{-t/\tau}.

當 vXv_X 上升至 +5/3 V+5/3\ \mathrm{V} 時，輸出切換至低電位。高電位持續時間 tHt_H 滿足

53=5−203e−tH/τ,\frac{5}{3}=5-\frac{20}{3}e^{-t_H/\tau},

所以

e−tH/τ=12,tH=τln⁡2=0.8ln⁡2 ms≈0.5545 ms.e^{-t_H/\tau}=\frac{1}{2}, \qquad t_H=\tau\ln 2 =0.8\ln 2\ \mathrm{ms} \approx 0.5545\ \mathrm{ms}.

低電位期間

切換後，輸出為 −5 V-5\ \mathrm{V}，且電容電壓從 +5/3 V+5/3\ \mathrm{V} 朝 −5 V-5\ \mathrm{V} 變化。令 tLt_L 為低電位持續時間，則

vX(t)=−5+203e−(t−tH)/τ,tH≤t<tH+tL.v_X(t)=-5+\frac{20}{3}e^{-(t-t_H)/\tau}, \qquad t_H\le t<t_H+t_L.

當 vXv_X 降至 −5/3 V-5/3\ \mathrm{V} 時，輸出再次切換至高電位：

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第 三 題25 分

如圖三的降升壓轉換器，其中 Vs=24 VV_s=24\ \mathrm{V}、Vo=36 VV_o=36\ \mathrm{V}、R=10 ΩR=10\ \Omega。若電晶體開關的切換頻率為 100 kHz100\ \mathrm{kHz}，假設元件皆為理想，試求可使最小的電感電流 iL,min⁡i_{L,\min} 為電感電流平均值 ILI_L 的 40%40\% 之電感值 LL，與若限制輸出電壓漣波 ΔVo\Delta V_o 及輸出電壓 VoV_o 的比值（ΔVo/Vo\Delta V_o/V_o 等於 0.5%0.5\%）所需的電容值 CC。

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核心觀念

圖三為反相降升壓轉換器，輸出電壓極性與輸入相反；以下以輸出電壓的大小 ∣Vo∣=36 V|V_o|=36\ \mathrm{V} 計算。理想連續電感電流模式下，電感伏秒平衡給出：

∣Vo∣=D1−DVs|V_o|=\frac{D}{1-D}V_s

其中 DD 為開關導通占空比。電感電流的峰對峰漣波為

ΔiL=VsDLfs\Delta i_L=\frac{V_sD}{Lf_s}

開關導通時，輸出電容供應負載電流，因此輸出電壓峰對峰漣波為

ΔVo=IoDCfs\Delta V_o=\frac{I_oD}{Cf_s}

解題方法

先由理想降升壓轉換器的電壓轉換比求占空比：

36=24D1−D⇒D=0.636=\frac{24D}{1-D} \quad\Rightarrow\quad D=0.6

負載電流大小為

Io=∣Vo∣R=3610=3.6 AI_o=\frac{|V_o|}{R}=\frac{36}{10}=3.6\ \mathrm{A}

降升壓轉換器在開關關斷期間，電感電流經二極體流向輸出，因此

Io=(1−D)IL⇒IL=3.60.4=9 AI_o=(1-D)I_L \quad\Rightarrow\quad I_L=\frac{3.6}{0.4}=9\ \mathrm{A}

題目指定 iL,min⁡=0.4ILi_{L,\min}=0.4I_L，故

iL,min⁡=0.4(9)=3.6 Ai_{L,\min}=0.4(9)=3.6\ \mathrm{A}
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第 四 題25 分

如圖四的飛輪二極體之半波整流器，其中 vs(t)=170sin⁡(377t) V,R=10 Ω,Vdc=24 V。v_s(t)=170\sin(377t)\ \mathrm{V},\qquad R=10\ \Omega,\qquad V_{dc}=24\ \mathrm{V}。

假設元件皆為理想，藉由傅立葉級數，試求可使負載電流峰對峰值 Δio\Delta i_o 不超過 1 A1\ \mathrm{A} 之 LL 值、直流電源 VdcV_{dc} 所吸收的功率及電阻 RR 所吸收的功率。

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核心觀念

飛輪二極體使負載端電壓在正半週等於輸入正弦波，負半週則被箝位為零。因此，負載端電壓是半波整流正弦波。利用其傅立葉級數，可分別求出負載電流的直流分量與各次諧波；電感則依各次諧波的頻率抑制電流漣波。

令 θ=377t\theta=377t，負載端電壓 vx(θ)v_x(\theta) 為

vx(θ)={170sin⁡θ,0<θ<π,0,π<θ<2π.v_x(\theta)= \begin{cases} 170\sin\theta,&0<\theta<\pi,\\ 0,&\pi<\theta<2\pi. \end{cases}

解題方法

半波整流正弦波的傅立葉級數為

vx(θ)=170π+1702sin⁡θ−∑k=1∞340π(4k2−1)cos⁡(2kθ).v_x(\theta) =\frac{170}{\pi} +\frac{170}{2}\sin\theta -\sum_{k=1}^{\infty} \frac{340}{\pi(4k^2-1)}\cos(2k\theta).

負載串聯電路滿足

Ldiodt+Rio+Vdc=vx(t).L\frac{di_o}{dt}+Ri_o+V_{dc}=v_x(t).

因此，電流平均值為

Io,avg=170π−2410=3.011 A.I_{o,\mathrm{avg}} =\frac{\frac{170}{\pi}-24}{10} =3.011\ \mathrm{A}.

對第 nn 次諧波，若其電壓峰值為 VnV_n，電流峰值為

In=VnR2+(nωL)2,ω=377 rad/s.I_n=\frac{V_n}{\sqrt{R^2+(n\omega L)^2}}, \qquad \omega=377\ \mathrm{rad/s}.

將各次諧波電流相加，調整 LL 使電流波形的最大值與最小值之差不超過 1 A1\ \mathrm{A}。代入傅立葉級數各項並計算波形峰對峰值，臨界電感約為

Lmin⁡≈0.50 H.L_{\min}\approx 0.50\ \mathrm{H}.
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