111 專技高考高等考試 電機工程技師 電子學（包括電力電子學） 考古題詳解

111 年・專技高考・高等考試・電機工程技師
試題代碼 電子學（包括電力電子學）

第 一 題25 分

如圖一所示之電路，其中 Vm=100 VV_m=100\ \mathrm{V}、f=60 Hzf=60\ \mathrm{Hz}、R=10 ΩR=10\ \Omega、L=12 mHL=12\ \mathrm{mH}，且其輸出電壓 vo(t)v_o(t) 之傅立葉級數表示式為

vo(t)=Vo+∑n=2,4,…∞Vncos⁡(nωt+π)v_o(t)=V_o+\sum_{n=2,4,\ldots}^{\infty}V_n\cos(n\omega t+\pi)

其中

Vn=Vo(1n−1−1n+1)V_n=V_o\left(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}\right)

求：

(一) VoV_o

(二) 最初兩個 ac 項之電流大小 I2I_2、I4I_4

(三) 負載消耗功率

(四) 電路之功率因素（power factor）

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核心觀念

圖一為理想單相全波橋式整流器，負載為串聯 RR、LL。整流輸出含直流分量與偶次諧波；各次諧波流經負載時，須以該次諧波角頻率計算阻抗。負載平均功率由電阻消耗，理想電感不消耗平均功率。

題目中的 VnV_n 是電壓諧波的峰值係數。換算成均方根值後，才能用來計算平均功率。

解題方法

全波整流輸出為 vo(t)=∣Vmsin⁡ωt∣v_o(t)=|V_m\sin\omega t|，其平均值為

Vo=12π∫02π∣Vmsin⁡θ∣ dθ=2Vmπ=200π≈63.662 VV_o=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}|V_m\sin\theta|\,d\theta =\frac{2V_m}{\pi} =\frac{200}{\pi} \approx63.662\ \mathrm{V}

令 ω=2πf=376.991 rad/s\omega=2\pi f=376.991\ \mathrm{rad/s}。第 nn 次諧波的負載阻抗大小為

∣Zn∣=R2+(nωL)2|Z_n|=\sqrt{R^2+(n\omega L)^2}

由於 VnV_n 是峰值，該次諧波電流為

In,peak=Vn∣Zn∣,In,rms=Vn2∣Zn∣I_{n,\mathrm{peak}}=\frac{V_n}{|Z_n|}, \qquad I_{n,\mathrm{rms}}=\frac{V_n}{\sqrt{2}|Z_n|}

對 n=2n=2：

V2=Vo(1−13)=23Vo≈42.441 VV_2=V_o\left(1-\frac13\right)=\frac23V_o \approx42.441\ \mathrm{V} ∣Z2∣=102+(2ω⋅0.012)2≈13.486 Ω|Z_2|=\sqrt{10^2+(2\omega\cdot0.012)^2} \approx13.486\ \Omega

因此 I2,peak≈3.148 AI_{2,\mathrm{peak}}\approx3.148\ \mathrm{A}，I2,rms≈2.225 AI_{2,\mathrm{rms}}\approx2.225\ \mathrm{A}。

對 n=4n=4：

V4=Vo(13−15)=215Vo≈8.488 VV_4=V_o\left(\frac13-\frac15\right)=\frac{2}{15}V_o \approx8.488\ \mathrm{V} ∣Z4∣=102+(4ω⋅0.012)2≈20.674 Ω|Z_4|=\sqrt{10^2+(4\omega\cdot0.012)^2} \approx20.674\ \Omega
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第 二 題25 分

一 SPICE 電路如圖二，其 Vin=15 VV_{in}=15\ \mathrm{V}、Vo=6 VV_o=6\ \mathrm{V}、負載電阻 R=2 ΩR=2\ \Omega，切換頻率 f=250 kHzf=250\ \mathrm{kHz}。

求：

(一) 電感 L1L_1 與 L2L_2 之值，使其電感電流之變化為其電流平均值之 40%40\%

(二) 電容 C1C_1 與 C2C_2 之值，使其電容電壓之變化為 VoV_o 之 2%2\%

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核心觀念

圖二為 SEPIC 轉換器。以下依理想元件、連續導通模式（CCM）計算，並將「電流／電壓變化」視為峰對峰漣波。

令開關導通比例為 DD。依電感伏秒平衡，SEPIC 的輸入、輸出電壓關係為

VoVin=D1−D⟹D=VoVin+Vo=615+6=27.\frac{V_o}{V_{in}}=\frac{D}{1-D} \quad\Longrightarrow\quad D=\frac{V_o}{V_{in}+V_o} =\frac{6}{15+6} =\frac{2}{7}.

負載平均電流為

Io=VoR=62=3 A.I_o=\frac{V_o}{R}=\frac{6}{2}=3\ \mathrm{A}.

依理想功率平衡，VinIin=VoIoV_{in}I_{in}=V_oI_o，因此

IL1,avg=Iin=VoIoVin=1.2 A,IL2,avg=Io=3 A.I_{L1,\mathrm{avg}}=I_{in} =\frac{V_oI_o}{V_{in}} =1.2\ \mathrm{A}, \qquad I_{L2,\mathrm{avg}}=I_o=3\ \mathrm{A}.

解題方法

（一）求 L1L_1 與 L2L_2

開關導通期間，L1L_1 兩端電壓為 VinV_{in}；L2L_2 兩端電壓約為耦合電容的平均電壓 VinV_{in}。電感漣波公式為

ΔIL=VLDLf.\Delta I_L=\frac{V_LD}{Lf}.

題目要求峰對峰電流漣波為平均電流的 40%40\%，所以

ΔIL1=0.4(1.2)=0.48 A,ΔIL2=0.4(3)=1.2 A.\Delta I_{L1}=0.4(1.2)=0.48\ \mathrm{A}, \qquad \Delta I_{L2}=0.4(3)=1.2\ \mathrm{A}.

代入 f=250 kHzf=250\ \mathrm{kHz}：

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第 三 題25 分

如圖三所示之電路，其中 μnCox=200 μA/V2\mu_n C_{ox}=200\ \mu\mathrm{A}/\mathrm{V}^2、λ=0\lambda=0、VTH=0.4 VV_{TH}=0.4\ \mathrm{V}，電壓增益大小為 5 V/V5\ \mathrm{V}/\mathrm{V}，IDS=3.17 mAI_{DS}=3.17\ \mathrm{mA}、IR1=0.167 mAI_{R1}=0.167\ \mathrm{mA}、RS=30 ΩR_S=30\ \Omega、RD=200 ΩR_D=200\ \Omega。假設跨在 RSR_S 上之電壓等於電晶體之過驅電壓（overdrive voltage），求：

(一) gmg_m 值

(二) M1M_1 之 W/LW/L 值

(三) R1R_1 與 R2R_2 值

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核心觀念

此電路是帶有未旁路源極電阻 RSR_S 的共源級，且 λ=0\lambda=0，所以 ro→∞r_o\to\infty。小訊號電壓增益為

Av=−gmRD1+gmRS.A_v=-\frac{g_mR_D}{1+g_mR_S}.

MOSFET 在飽和區時：

gm=2IDVOV,ID=12μnCoxWLVOV2,g_m=\frac{2I_D}{V_{OV}},\qquad I_D=\frac{1}{2}\mu_nC_{ox}\frac WL V_{OV}^2,

其中 VOV=VGS−VTHV_{OV}=V_{GS}-V_{TH}。

解題方法與數值核對

依題目指定 RSR_S 上的直流電壓等於過驅電壓：

VOV=VRS=IDSRS=(3.17 mA)(30 Ω)=0.0951 V.V_{OV}=V_{RS}=I_{DS}R_S =(3.17\ \mathrm{mA})(30\ \Omega) =0.0951\ \mathrm V.

因此由 MOSFET 的跨導定義：

gm=2IDSVOV=2RS=0.0667 S=66.7 mS.g_m=\frac{2I_{DS}}{V_{OV}} =\frac{2}{R_S} =0.0667\ \mathrm S =66.7\ \mathrm{mS}.

再由飽和區電流式：

WL=2IDSμnCoxVOV2=2(3.17×10−3)(200×10−6)(0.0951)2≈3.51.\frac WL =\frac{2I_{DS}}{\mu_nC_{ox}V_{OV}^2} =\frac{2(3.17\times10^{-3})} {(200\times10^{-6})(0.0951)^2} \approx 3.51.

分壓器的閘極電壓為

VG=VS+VGS=VOV+(VTH+VOV)=0.4+2(0.0951)=0.5902 V.V_G=V_S+V_{GS} =V_{OV}+(V_{TH}+V_{OV}) =0.4+2(0.0951) =0.5902\ \mathrm V.

MOS 閘極直流電流為零，故 R1R_1、R2R_2 電流皆為題給的 IR1=0.167 mAI_{R1}=0.167\ \mathrm{mA}：

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第 四 題25 分

如圖四所示之電路，假設電晶體之 VAV_A 皆為 ∞\infty，求：

(一) 回授因數（feedback factor）

(二) 開路增益

(三) 閉路增益

(四) 閉迴路輸入阻抗

(五) 閉迴路輸出阻抗

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核心觀念

本題是電流串聯回授：輸出電流經負載支路取樣，回授電流送回輸入端與輸入電流並聯混合。令 AiA_i 為開迴路電流增益、βf\beta_f 為回授因數，迴路增益為 T=AiβfT=A_i\beta_f。負回授下：

Aif=Ai1+Aiβf,Rin,f=Rin1+T,Rout,f=Rout(1+T)A_{if}=\frac{A_i}{1+A_i\beta_f},\qquad R_{in,f}=\frac{R_{in}}{1+T},\qquad R_{out,f}=R_{out}(1+T)

其中電流串聯回授會降低輸入阻抗、提高輸出阻抗。

解題方法

交流小訊號分析時，VCCV_{CC} 為交流地，理想直流電流源視為開路。依圖中連接，輸出電流 IoI_o 流經負載支路後，全部流過 RFR_F 回到輸入節點，因此回授電流 If=IoI_f=I_o：

βf=IfIo=1\beta_f=\frac{I_f}{I_o}=1

以下以 RCR_C 為圖中集極電阻、rπ1,rπ2r_{\pi1},r_{\pi2} 與 β1,β2\beta_1,\beta_2 為兩管的小訊號參數，並採用電流增益的標準短路輸出定義計算開迴路增益。Q1Q_1 的集極電流由 RCR_C 與 Q2Q_2 的基極輸入分流，因此流入 Q2Q_2 基極的電流為

ib2=−β1IiRCRC+rπ2i_{b2}=-\beta_1 I_i\frac{R_C}{R_C+r_{\pi2}}

Q2Q_2 的射極電流約為 (β2+1)ib2(\beta_2+1)i_{b2}，故開迴路電流增益為

Ai=IoIi=−β1(β2+1)RCRC+rπ2A_i=\frac{I_o}{I_i} =-\beta_1(\beta_2+1)\frac{R_C}{R_C+r_{\pi2}}

負號表示輸入電流增加時，輸出電流的參考方向所定義的變化相反。若以反向電流增益的大小表示，則取 ∣Ai∣|A_i|；套用負回授公式時以增益大小計算迴路增益 T=∣Ai∣βfT=|A_i|\beta_f。

閉迴路電流增益為

Aif=Ai1+AiβfA_{if}=\frac{A_i}{1+A_i\beta_f}

若採用反向增益大小表示，則其大小為

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