113 專技高考高等考試 電機工程技師 電路學 考古題詳解

核心觀念

本題考開關切換前的直流穩態分析、電感電流與電容電壓的連續性，以及切換後的二階 RLC 暫態響應。

切換前達到直流穩態時，電感視為短路、電容視為開路。切換瞬間則有

$i_1(0^+)=i_1(0^-),\qquad v_1(0^+)=v_1(0^-).$

解題方法

依圖一，$t<0$ 時，$S1$ 接在 $a1$、$S2$ 接在 $a2$；$t\ge 0$ 時，$S1$ 接在 $b1$、$S2$ 接在 $b2$。

切換前，電感支路包含 $1.5\,\Omega$ 電阻與 $4\,\mathrm V$ 電壓源，並與 $2.5\,\Omega$ 電阻並聯。令底部節點為參考點，直流穩態下由 KCL 與支路電壓關係得

$i_1(0^-)+\frac{v_1(0^-)}{2.5}=0,$

$v_1(0^-)=1.5i_1(0^-)+4.$

聯立可得

$i_1(0^-)=-1\,\mathrm A,\qquad v_1(0^-)=2.5\,\mathrm V.$

切換後，電感、電容、$2.5\,\Omega$ 電阻與向上 $2\,\mathrm A$ 電流源並聯。依電流方向，KCL 為

$i_1(t)+\frac{v_1(t)}{2.5}+0.2\frac{dv_1(t)}{dt}=2.$

電感為 $1\,\mathrm H$，且電流 $i_1(t)$ 向下，因此

$v_1(t)=\frac{di_1(t)}{dt}.$

代入 KCL，得到電流的微分方程式：

$0.2\frac{d^2i_1(t)}{dt^2}+0.4\frac{di_1(t)}{dt}+i_1(t)=2,$

或等價地

核心觀念

本題考查正弦穩態相量分析、互感電感的點標記法，以及節點電流定律。圖中電感為 $20\,\mathrm H$、$30\,\mathrm H$，互感 $M=15\,\mathrm H$；電容為 $0.05\,\mathrm F$，電源角頻率為 $\omega=2\,\mathrm{rad/s}$。

以餘弦峰值相量表示電源：

電容阻抗為

所以右側電容與 $12\,\Omega$ 電阻串聯的阻抗為 $12-j10\ \Omega$。

解題方法

令 $\tilde I_1$ 為流過 $20\,\mathrm H$ 電感、方向由左至右的電流；令 $\tilde I_2$ 為流過 $30\,\mathrm H$ 電感、方向向下的電流。兩線圈的點端都在上方（$20\,\mathrm H$ 線圈的點端在右端），因此 $\tilde I_1$ 流出點端、$\tilde I_2$ 流入點端，互感項為負。

兩電感的角頻率阻抗與互感阻抗為

令上方節點對下方節點的電壓為 $\tilde V$，則

由節點電流定律，右支路電流為

且 $\tilde V=(12-j10)\tilde I_o$，因此

整理得

核心觀念

本題考查電容與電感的初始條件、受控電壓源的極性判讀，以及利用單邊拉普拉斯轉換分析切換後電路。

電容電壓與電感電流連續，因此

解題方法

1. 求切換前的初始值

切換前，$S1$ 將 $3\text{ A}$ 電流源接至 $a$ 點，$S2$ 將 $e^{-4t}\text{ A}$ 電流源接至接地的 $b$ 點，故後者不影響電路。

經過很長時間後，電容視為開路，電感視為短路。令 $v_1(0^-)=V$。$1\Omega$ 電阻支路的受控電壓源上端為 $-V$，故該支路向下電流為

右側支路的受控電壓源上端為 $2V$，所以電感向下電流為

在節點 $a$ 套用 KCL：

得到

因此 $v_1(0^+)=2\text{ V}$、$i_1(0^+)=-1\text{ A}$。

2. 寫出切換後的方程式

切換後，$e^{-4t}\text{ A}$ 電流源接至 $a$ 點；$3\text{ A}$ 電流源接至接地的 $b$ 點，不再注入節點 $a$。

在節點 $a$ 套用 KCL，電容為 $1\text{ F}$，且 $1\Omega$ 支路電流為 $2v_1(t)$：

核心觀念

理想運算放大器在負回授正常工作時，輸入端電流為零，且 $v_+=v_-$。求傳輸函數時，可先用這兩項條件化簡電路，再列節點方程；將分母整理成標準二階形式後，便可讀出共振角頻率與品質因數。

解題方法與圖面判讀

這張掃描圖中的圖四，運算放大器右側的接線不夠清楚，無法可靠判定 $R_3$、$C_2$、兩個 $R_5$ 與輸出端之間的節點連接方式。這些連接會直接改變節點方程，因此也會改變 $T(s)$、共振角頻率及 $Q$；僅憑目前圖面無法定出唯一解。