114 專技高考高等考試 電機工程技師 電路學 考古題詳解

核心觀念

本題考查節點電壓法與矩陣表示。以下以底部導線為參考地，並依圖示電池極性，將 $V_3$ 電源上端視為正端，因此 $R_4$ 與電壓源 $V_3$ 之間的節點電壓為 $V_3$。

節點電壓法的作法是對各非參考節點套用 KCL，再將電阻電流以節點電壓差表示，例如 $R_2$ 支路由 $V_1$ 流向 $V_2$ 的電流為 $(V_1-V_2)/R_2$。

解題方法

在 $V_1$ 節點，$I_1$ 流入該節點，$I_2$ 也由 $V_2$ 流入 $V_1$。依 KCL：

在 $V_2$ 節點，$I_2$ 由 $V_2$ 流出至 $V_1$，$I_3$ 流出至接地端。由電阻支路流出的電流分別為 $(V_2-V_1)/R_2$、$V_2/R_3$，以及 $(V_2-V_3)/R_4$。因此：

整理成矩陣形式：

這就是第（一）題所求的節點電壓方程式。

第（二）題中，各電阻均為 $1\,\Omega$，代入已知數值得：

核心觀念

本題考查一階 RC 暫態、等效時間常數，以及電容電壓的連續性。開關切換後，時間常數為

其中 $R_{\mathrm{eq}}$ 是將獨立電壓源短路後，從電容端看入的等效電阻。

圖中未標示電容的初始電壓；以下依常見考題慣例，假設兩電容在 $t=0^-$ 均未充電，且 $t=0$ 時兩開關接通。依圖示電池極性，右側 $10\text{ V}$ 電源上端為 $-10\text{ V}$（以底部共用導線為參考地）。

解題方法

（一）時間常數

開關接通後，將兩個理想電壓源短路，$4\text{ F}$ 與 $6\text{ F}$ 電容都接在輸出節點與地之間，因此並聯：

從輸出節點看入，$4\,\Omega$ 與 $6\,\Omega$ 並聯：

所以

（二）輸出電壓 $v(t)$

核心觀念

此題考查串聯 $RLC$ 電路的電流穩態響應：

• 對一般正弦輸入，以相量法計算 $I=V/Z(j\omega)$。
• 對含指數包絡的輸入 $e^{\sigma t}\cos(\omega t+\phi)$，使用複數頻率 $s=\sigma+j\omega$，計算 $I=V/Z(s)$。
• 題目所求為受迫穩態響應，不包含由初始條件造成的自然響應。

圖中元件為串聯 $R=4\ \Omega$、$L=2\ \mathrm H$、$C=0.5\ \mathrm F$，電流方向依圖示。

（一）$v(t)=15\cos(2t+60^\circ)\ \mathrm V$

角頻率為 $\omega=2\ \mathrm{rad/s}$。串聯電路的阻抗為

代入元件值：

因此

電壓相量為 $V=15\angle 60^\circ\ \mathrm V$，故電流相量為

換回時域：

（二）$v(t)=15e^{-t}\cos(2t+60^\circ)\ \mathrm V$

此輸入的指數包絡為 $e^{-t}$，所以複數頻率是

核心觀念

此電路是電容 $C$ 與「電阻 $R_L$ 串聯電感 $L$」並聯的諧振電路。以輸入導納的虛部為零可求諧振頻率；高 $Q$ 諧振電路的頻寬可由 $BW=f_0/Q$ 求得，半功率截止頻率則由諧振頻率與頻寬換算。

圖中參數為 $R_L=3\,\Omega$、$L=20\,\text{mH}$、$C=0.8\,\mu\text{F}$。

解題方法

電路總導納為

諧振時導納虛部為零：

消去非零的 $\omega_0$，得到

代入參數：

因此諧振頻率為

高 $Q$ 下，此電路的品質因數可用