111 年專技高考高等考試大地工程技師第一階段考試考古題與詳解

Question 1

有一圓柱形土壤元素置於三軸試驗之儀器上，如圖所示。土壤之楊氏係數 $E=50\ \mathrm{MPa}$，相松比 $
u=0.4$。此元素於 $xz$ 面受到 $-50\ \mathrm{kPa}$ 之圍壓，如土壤之絕對最大剪應力 $	au{\max}$ 不能超過 $80\ \mathrm{kPa}$，則可施加於 $y$ 方向之最大軸壓應力 $\sigmay$ 為何？其對應之最大剪應變 $\gamma{\max}$ 為何？其對應之 $y$ 方向應變 $\varepsilony$ 為何？ 🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

Accepted Answer

核心觀念 此題考查三軸應力狀態下的絕對最大剪應力，以及線彈性材料的剪應變與三維虎克定律。 圓柱試體的 $y$ 方向為軸向，$xz$ 面所受圍壓代表 $x$、$z$ 方向正應力均為 $-50\ \mathrm{kPa}$。採拉應力為正，因此軸壓應力為負。絕對最大剪應力為最大與最小主應力差的一半： $$ 	au{\max}=\frac{\sigma{\max}-\sigma{\min}}{2} $$ 解題方法 已知兩個側向主應力為 $$ \sigmax=\sigmaz=-50\ \mathrm{kPa} $$ 軸向為壓應力，故 $y$ 方向是最小主應力。由最大剪應力限制： $$ 80=\frac{(-50)-\sigmay}{2} $$ 解得 $$ \boxed{\sigmay=-210\ \mathrm{kPa}} $$ 因此可施加的最大軸壓應力大小為 $210\ \mathrm{kPa}$。 剪變模數為 $$ G=\frac{E}{2(1+
u)} =\frac{50{,}000}{2(1+0.4)} =17{,}857.14\ \mathrm{kPa} $$

Question 2

有一矩形斷面懸臂梁，梁長度 $L=4\ \mathrm{m}$，寬度 $b=40\ \mathrm{cm}$，高度 $h=60\ \mathrm{cm}$。此梁於自由端受一集中載重 $P=2\ \mathrm{MN}$，如圖所示。請計算出此梁 $\sigmax$ 之最大張應力值及最大壓應力值。 🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

Accepted Answer

核心觀念 懸臂梁自由端承受橫向集中力時，固定端的彎矩最大，為 $M{\max}=PL$。矩形斷面的彎曲正應力為 $$ \sigmax=-\frac{My}{Iz} $$ 其中 $Iz$ 是對中性軸的截面二次矩；斷面最外緣 $|y|=h/2$ 處，正應力達最大值。 解題方法 依圖以梁長方向為梁軸，計算固定端最大彎矩： $$ M{\max}=PL=(2\ \mathrm{MN})(4\ \mathrm{m})=8\ \mathrm{MN\cdot m} $$ 矩形斷面對中性軸的截面二次矩為 $$ Iz=\frac{bh^3}{12} =\frac{(0.40)(0.60)^3}{12} =0.0072\ \mathrm{m^4} $$ 最外緣距中性軸 $c=h/2=0.30\ \mathrm{m}$，因此最大彎曲正應力的大小為

Question 3

有一土壤元素處於平面應變之狀況，此元素於 $xy$ 平面所受之應力如下圖所示。試求此土壤元素於 $xy$ 平面之最大主軸應力 $\sigma_1$ 、最小主軸應力 $\sigma_2$ ，及此二主軸應力對應之角度 $\theta_{p1}$ 、 $\theta_{p2}$ ，並將此二主軸應力繪製於旋轉至主軸方向之應力元素上。

提示：

\sigma_{x1}=\frac{\sigma_x+\sigma_y}{2} +\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\cos 2\theta +\tau_{xy}\sin 2\theta

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Accepted Answer

核心觀念

本題考平面應力轉換與主應力。主應力是剪應力為零的方向上所受的正應力；最大、最小主應力可由平均正應力與莫耳圓半徑求得。

依圖中箭頭方向，拉應力取正、壓應力取負：

$x$ 面正向為向外，故 $\sigma_x=20\text{ MPa}$ 。
$y$ 面正向為向內，故 $\sigma_y=-80\text{ MPa}$ 。
$+x$ 面上的剪應力向下，方向與正剪應力慣例相反，故 $\tau_{xy}=-40\text{ MPa}$ 。

解題方法

主應力大小為

\sigma_{1,2} =\frac{\sigma_x+\sigma_y}{2} \pm\sqrt{\left(\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\right)^2+\tau_{xy}^2}

先算平均正應力與莫耳圓半徑：

\frac{\sigma_x+\sigma_y}{2} =\frac{20-80}{2}=-30\text{ MPa}

R=\sqrt{\left(\frac{20-(-80)}{2}\right)^2+(-40)^2} =\sqrt{50^2+40^2} =10\sqrt{41}\approx64.03\text{ MPa}

因此

\sigma_1=-30+10\sqrt{41}\approx34.03\text{ MPa}

\sigma_2=-30-10\sqrt{41}\approx-94.03\text{ MPa}

主軸角度由題目提供的應力轉換式求得。令剪應力為零，可得

\tan 2\theta_p=\frac{2\tau_{xy}}{\sigma_x-\sigma_y} =\frac{-80}{100}=-0.8

Question 4

以靜不定軸力桿件為例，如欲進行變位與內力求解時，未使用到那一種力學原則？ (A) 變形諧和 (B) 力平衡 (C) 牛頓第二運動定律 (D) 力與變形關係

Accepted Answer

核心觀念 靜不定軸力桿件的變位與內力分析，須同時滿足三類條件： 1. 力平衡：各桿段內力與外力須符合靜力平衡。 2. 變形諧和：各桿段的變位須符合桿件連接、支承及幾何條件。 3. 力與變形關係：以材料的應力—應變關係及桿件變形公式，連結內力與變位，例如均勻軸力桿的 $\delta = \frac{PL}{AE}$。 題目問上述分析未使用哪一種原則。靜不定桿件求解以靜力平衡、變形諧和及力與變形關係聯立；不需要使用牛頓第二運動定律。 解題方法 判斷題目所述為「靜不定」桿件，求解的是靜態變位與內力。除了力平衡外，未知反力或內力數量超過單靠平衡方程可解的範圍，因此還須加入變形諧和條件與力—變形關係。 牛頓第二運動定律為 $\sum F = ma$。靜力問題的加速度 $a=0$，此式退化為 $\sum F=0$ 的力平衡條件；實際列式時使用的是靜力平衡，而不需另以運動方程求解。因此符合題意的選項是 (C)。 選項分析

Answer

答案：C

Question 5

圖示之平面三角形桁架，$BC$ 桿長度為 $L$，$B$ 點承受一水平外力 $P=10\ \mathrm{N}$。桿件之軸向柔度 $$ f=\frac{L}{AE} $$ （單位為 $\mathrm{m/N}$），請計算 $C$ 點之水平位移（單位為 $\mathrm{m}$）。 🖼️【此處有附圖，請對照原卷】 (A) $5f$（向左移動） (B) $5f$（向右移動） (C) $5\sqrt{2}f$（向左移動） (D) $5\sqrt{2}f$（向右移動）

Accepted Answer

核心觀念 本題使用桁架的單位荷重法（虛功法）求節點位移。對線彈性桁架， $$ \delta=\sumi\frac{Ni ni Li}{AE} $$ 其中 $Ni$ 是實際荷重下第 $i$ 桿的軸力，$ni$ 是在欲求位移方向施加單位力後的桿力，$Li$ 是桿長。 解題方法 圖中 $AB$、$BC$ 與水平線皆成 $45^\circ$，且 $BC=L$，因此 $$ AB=L,\qquad AC=\frac{L}{\cos45^\circ}=\sqrt2L $$ 先在 $B$ 點用節點平衡求實際桿力。取拉力為正： $$ \begin{aligned} \sum Fy=0 &: -N{AB}\sin45^\circ-N{BC}\sin45^\circ=0\ \sum Fx=0 &: -N{AB}\cos45^\circ+N{BC}\cos45^\circ+10=0 \end{aligned} $$ 解得 $$ N{AB}=5\sqrt2\ \mathrm N,\qquad N{BC}=-5\sqrt2\ \mathrm N $$ 再由 $C$ 點水平平衡，因 $C$ 為滾支承，沒有水平反力： $$ N{AC}=|N{BC}|\cos45^\circ=5\ \mathrm N $$ 所以 $AC$ 為 $5\ \mathrm N$ 拉力。

Answer

答案：D

Question 6

承上題，若 $BC$ 桿由斜桿改為垂直桿，則本題桁架 $C$ 點之水平位移，為前題桁架 $C$ 點水平位移之幾倍？

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Accepted Answer

核心觀念 本題考查桁架的節點平衡與桿件軸向變形。理想桁架桿件只承受軸力；在小變形分析中，若水平桿沒有軸向變形，且左端支承不水平移動，右端節點的水平位移就是零。 解題方法 改成垂直桿後，節點 $C$ 連接水平桿 $AC$、垂直桿 $BC$，並由滾支承提供垂直反力。節點 $C$ 沒有外加水平力，因此水平方向平衡為 $$ \sum Fx=0 \quad\Rightarrow\quad N{AC}=0 $$ 所以水平桿 $AC$ 沒有軸向變形。$A$ 點固定，故 $C$ 點的水平位移為 $$ \delta{C,x}^{	ext{新}}=0 $$ 前題的桁架中，水平桿 $AC$ 有非零軸力，因而 $C$ 點水平位移非零。題目所求比例為

Answer

答案：A

Question 7

一桁架系統如圖所示，於 $C$ 點施加一力 $6\ \mathrm{kN}$，下列敘述何者正確？ 🖼️【此處有附圖，請對照原卷】 (A) $BD$ 桿受壓 $3.5\ \mathrm{kN}$ (B) $DF$ 桿受壓 $4.5\ \mathrm{kN}$ (C) $CE$ 桿受拉 $4.0\ \mathrm{kN}$ (D) $DE$ 桿受壓 $2.5\ \mathrm{kN}$

Accepted Answer

核心觀念 桁架各桿件為二力構件，桿力沿桿件軸線作用。以拉力為正、壓力為負，逐一對接點使用平面平衡條件： $$\sum Fx=0,\qquad \sum Fy=0$$ 圖中的斜桿水平投影為 $3\ \mathrm{m}$、垂直投影為 $4\ \mathrm{m}$，故斜桿長度為 $5\ \mathrm{m}$，其方向餘弦為 $3/5$、$4/5$。 解題方法 令 $A$ 為 $x=0$，則 $C$ 位於 $x=6\ \mathrm{m}$，$G$ 位於 $x=18\ \mathrm{m}$。先對整體取矩： $$\sum MA=0:\quad Gy(18)-6(6)=0$$ 所以 $Gy=2\ \mathrm{kN}$；再由垂直力平衡得 $$Ay+Gy-6=0\quad\Rightarrow\quad Ay=4\ \mathrm{kN}$$ 水平反力為零。 從支承端的接點開始求桿力： 1. 接點 $A$ 令 $AB$、$AC$ 桿力以拉力為正。由接點平衡： $$4+\frac45F{AB}=0\quad\Rightarrow\quad F{AB}=-5\ \mathrm{kN}$$ $$F{AC}+\frac35F{AB}=0\quad\Rightarrow\quad F{AC}=3\ \mathrm{kN}$$ 因此 $AB$ 受壓 $5\ \mathrm{kN}$，$AC$ 受拉 $3\ \mathrm{kN}$。 2. 接點 $B$ 已知 $AB$ 受壓 $5\ \mathrm{kN}$。對 $B$ 點列平衡： $$4-\frac45F{BC}=0\quad\Rightarrow\quad F{BC}=5\ \mathrm{kN}$$ $$3+F{BD}+\frac35F{BC}=0\quad\Rightarrow\quad F{BD}=-6\ \mathrm{kN}$$ 因此 $BC$ 受拉 $5\ \mathrm{kN}$，$BD$ 受壓 $6\ \mathrm{kN}$。 3. 接點 $G$ 與 $F$ 在 $G$ 點： $$2+\frac45F{FG}=0\quad\Rightarrow\quad F{FG}=-2.5\ \mathrm{kN}$$ $$F{EG}+\frac35F{FG}=0\quad\Rightarrow\quad F{EG}=1.5\ \mathrm{kN}$$

Answer

答案：D

Question 8

如圖所示，兩鋼板以兩根鉚釘連接，鋼板厚度與鉚釘直徑皆為 $20\ \mathrm{mm}$ ，在拉力 $30\ \mathrm{kN}$ 的作用下，下列敘述何者正確？

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Accepted Answer

核心觀念 本題考查鉚釘的平均剪應力與鋼板的承壓應力。鉚釘剪應力為剪力除以鉚釘截面積；鋼板承壓應力則以鉚釘傳給鋼板的力，除以投影承壓面積 $dt$。 圖示為兩根鉚釘連接兩片鋼板。假設兩根鉚釘平均分擔拉力，每根鉚釘承受 $30/2=15\ \mathrm{kN}$，且每根鉚釘只有一個剪切面。 解題方法 鉚釘直徑 $d=20\ \mathrm{mm}$，每根鉚釘的剪切截面積為 $$ As=\frac{\pi d^2}{4} =\frac{\pi(20)^2}{4} =100\pi\ \mathrm{mm^2} $$ 因此鉚釘的平均剪應力為 $$ 	au=\frac{15\,000}{100\pi} \approx 47.7\ \mathrm{MPa} $$ 按選項精度取近似值，約為 $47.5\ \mathrm{MPa}$。 鋼板厚度 $t=20\ \mathrm{mm}$，每根鉚釘與鋼板的投影承壓面積為 $$ Ab=dt=(20)(20)=400\ \mathrm{mm^2} $$ 每根鉚釘傳給鋼板的力為 $15\ \mathrm{kN}$，所以承壓應力為 $$ \sigmab=\frac{15\,000}{400} =37.5\ \mathrm{MPa} $$

Answer

答案：A

Question 9

一彈性支承墊如圖所示，支承墊尺寸 $a=300\ \mathrm{mm}$、$b=400\ \mathrm{mm}$、$t=50\ \mathrm{mm}$。若此支承墊承受剪力 $V=50\ \mathrm{kN}$ 時，支承墊上下會產生 $10\ \mathrm{mm}$ 的相對水平位移，則此支承墊材料的剪力模數 $G$ 最接近下列何者？ 🖼️【此處有附圖，請對照原卷】 (A) $1.5\ \mathrm{MPa}$ (B) $2.0\ \mathrm{MPa}$ (C) $2.5\ \mathrm{MPa}$ (D) $3.0\ \mathrm{MPa}$

Accepted Answer

核心觀念 彈性材料受剪時，剪力應力、剪應變與剪力模數的關係為 $$	au=G\gamma$$ 其中剪力應力 $	au=V/A$，剪應變 $\gamma=\delta/t$。本題的受剪面積為支承墊底面積 $A=ab$，上下相對水平位移 $\delta=10\ \mathrm{mm}$，支承墊厚度 $t=50\ \mathrm{mm}$。 解題方法 先計算受剪面積與剪力應力： $$A=ab=(300)(400)=120{,}000\ \mathrm{mm^2}$$ $$ 	au=\frac{V}{A} =\frac{50{,}000\ \mathrm{N}}{120{,}000\ \mathrm{mm^2}} =0.4167\ \mathrm{N/mm^2} =0.4167\ \mathrm{MPa} $$ 再由相對位移求剪應變： $$ \gamma=\frac{\delta}{t} =\frac{10}{50} =0.20 $$ 因此剪力模數為 $$ G=\frac{	au}{\gamma} =\frac{0.4167}{0.20} =2.083\ \mathrm{MPa} $$

Answer

答案：B

Question 10

一埋置於土壤內的金屬管，其材料的彈性模數為 $E$，管的長度為 $L$，斷面積為 $A$。欲將此管拉拔出土壤，需要於管頂施加拉力 $P$。假設土壤與管的摩擦力由 $B$ 點的 $0$，線性遞增至 $C$ 點的 $f{\max}$，則在金屬管與土壤不發生滑動（slip）的前提下，金屬管最大的變形量為何？ 🖼️【此處有附圖，請對照原卷】 (A) $\dfrac{f{\max}L^2}{3AE}$ (B) $\dfrac{f{\max}L^2}{2AE}$ (C) $\dfrac{f{\max}L^2}{6AE}$ (D) $\dfrac{f{\max}L^2}{4AE}$

Accepted Answer

核心觀念 本題考「軸力沿桿長變化時的軸向變形」。金屬管各截面的軸力會隨位置改變，因此不能直接用單一軸力套用 $\delta=PL/(AE)$；應先由土壤摩擦力分布求出各截面的內力，再積分軸向應變。 設 $x$ 自管頂 $B$ 向下量至管底 $C$，土壤對管的摩擦力分布為 $$ q(x)=\frac{f{\max}}{L}x $$ 其中 $q(x)$ 為每單位長度上的摩擦力，且 $q(0)=0$、$q(L)=f{\max}$。 解題方法 取管上自位置 $x$ 至底端 $C$ 的部分作受力平衡，該截面的軸力等於這一段土壤摩擦力的合力： $$ N(x)=\intx^L q(s)\,ds =\intx^L\frac{f{\max}}{L}s\,ds =\frac{f{\max}}{2L}(L^2-x^2) $$ 管頂的拉力為 $$ P=N(0)=\frac{f{\max}L}{2} $$ 軸向應變為 $\varepsilon(x)=N(x)/(AE)$，所以管的伸長量為

Answer

答案：A

Question 11

有一剛性桿件 $AC$，兩端分別被 $AB$ 桿件與 $CD$ 桿件所支撐。$AB$ 桿件與 $CD$ 桿件的斷面積分別為 $10\ \mathrm{mm^2}$ 與 $15\ \mathrm{mm^2}$。一力 $P$ 施加於距 $A$ 點 $d$ 處。為使 $AB$ 桿件與 $CD$ 桿件的平均應力相同，則 $d$ 的值為何？ 🖼️【此處有附圖，請對照原卷】 (A) $1.2\ \mathrm{m}$ (B) $1.5\ \mathrm{m}$ (C) $1.8\ \mathrm{m}$ (D) $2.1\ \mathrm{m}$

Accepted Answer

核心觀念 剛性桿件 $AC$ 受力後，兩端支撐桿的軸力分別為 $N{AB}$、$N{CD}$。桿件的平均正應力為 $$ \sigma=\frac{N}{A} $$ 題目要求兩支撐桿的平均應力相同，因此需同時使用應力定義與剛性桿件的靜力平衡條件。 解題方法 由平均應力相同： $$ \frac{N{AB}}{10}=\frac{N{CD}}{15} \quad\Longrightarrow\quad N{CD}=1.5N{AB} $$ 對剛性桿件 $AC$ 取豎向力平衡： $$ N{AB}+N{CD}=P $$ 代入 $N{CD}=1.5N{AB}$，得到 $$ N{AB}=0.4P,\qquad N{CD}=0.6P $$ 再以 $A$ 點取力矩。圖中 $AC=3\ \mathrm{m}$，而 $P$ 距 $A$ 為 $d$： $$ N{CD}(3)=P d $$ 因此

Answer

答案：C

Question 12

有一均質等斷面之鋼棒，長度為 $1\ \mathrm{m}$，其鋼材的單軸拉伸應力－應變曲線如圖所示。若此鋼棒受拉伸長 $3\ \mathrm{mm}$ 後將力量釋放，鋼棒的永久變形量為何？ 🖼️【此處有附圖，請對照原卷】 (A) $1.5\ \mathrm{mm}$ (B) $1.75\ \mathrm{mm}$ (C) $2.0\ \mathrm{mm}$ (D) $2.25\ \mathrm{mm}$

Accepted Answer

核心觀念 鋼棒卸載後會恢復彈性變形，但塑性變形會保留下來。因此： $$ 	ext{永久伸長量} = 	ext{受力時總伸長量} - 	ext{卸載時彈性恢復量} $$ 卸載過程沿應力－應變曲線的初始彈性斜率進行，該斜率就是彈性模數 $E$。 解題方法 鋼棒長 $L=1\ \mathrm{m}=1000\ \mathrm{mm}$，受拉伸長 $3\ \mathrm{mm}$，所以總應變為 $$ \varepsilon{	ext{總}} = \frac{3}{1000} = 0.003 $$ 由圖的初始直線段讀取，例如 $\varepsilon=0.001$ 時 $\sigma=200\ \mathrm{MPa}$，可得 $$ E=\frac{\sigma}{\varepsilon} =\frac{200\ \mathrm{MPa}}{0.001} =200{,}000\ \mathrm{MPa} $$ 當總應變為 $0.003$ 時，圖上應力已位於約 $250\ \mathrm{MPa}$ 的平台。卸載時的彈性恢復應變為 $$ \varepsilone=\frac{\sigma}{E} =\frac{250}{200{,}000} =0.00125 $$ 因此永久應變為

Answer

答案：B

Question 13

有一實心圓棒直徑為 $20\ \mathrm{mm}$，其材料的降伏強度 $\sigmay=200\ \mathrm{MPa}$，彈性模數 $E=70\ \mathrm{GPa}$，剪力模數 $G=26\ \mathrm{GPa}$。若此圓棒受拉力 $60\ \mathrm{kN}$，則其直徑變為： (A) $19.981\ \mathrm{mm}$ (B) $19.992\ \mathrm{mm}$ (C) $19.971\ \mathrm{mm}$ (D) $19.962\ \mathrm{mm}$

Accepted Answer

核心觀念 本題考查圓棒受軸向拉力時的彈性變形，以及由彈性模數 $E$ 和剪力模數 $G$ 求泊松比 $
u$。軸向拉伸會使材料沿橫向收縮，直徑變化須用橫向應變計算。 解題方法 先檢查材料是否進入降伏，再求軸向應力、軸向應變及橫向應變。 圓棒截面積為 $$ A=\frac{\pi d^2}{4} =\frac{\pi(20\ \mathrm{mm})^2}{4} =314.159\ \mathrm{mm^2} $$ 軸向應力為 $$ \sigma=\frac{P}{A} =\frac{60{,}000\ \mathrm{N}}{314.159\ \mathrm{mm^2}} =190.986\ \mathrm{MPa} $$ 因為 $190.986\ \mathrm{MPa}<\sigmay=200\ \mathrm{MPa}$，圓棒仍在彈性範圍內，可使用線彈性關係。 由材料常數關係式 $$ E=2G(1+
u) $$ 得泊松比 $$ 
u=\frac{E}{2G}-1 =\frac{70}{2(26)}-1 =0.34615 $$ 軸向應變為 $$ \varepsilon{\mathrm{軸}}=\frac{\sigma}{E} =\frac{190.986\ \mathrm{MPa}}{70{,}000\ \mathrm{MPa}} =0.00272837 $$ 橫向應變為 $$ \varepsilon{\mathrm{橫}} =-
u\varepsilon{\mathrm{軸}} =-(0.34615)(0.00272837) =-0.00094443 $$ 因此直徑變化量與變形後直徑分別為

Answer

答案：A

Question 14

如圖所示，有一由 $AB$ 鋁桿件與 $BC$ 鋼桿件所構成的組合桿件，在 $A$ 與 $B$ 兩點分別施加軸向力。鋼與鋁的彈性模數分別為 $200\ \mathrm{GPa}$ 與 $70\ \mathrm{GPa}$ ，兩段桿件之直徑皆為 $20\ \mathrm{mm}$ ，則 $A$ 點的位移為何？

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

🖼️ 本題原卷含圖表。基於試題來源之版權考量，本站不轉載原卷影像；題目文字已完整轉錄，圖表請自行參閱考選部公告之試題原檔。

Accepted Answer

核心觀念 本題考「軸向桿件的變形」與「分段軸力」。每一段桿件的伸長量為 $$ \delta=\frac{NL}{AE} $$ 其中 $N$ 是該段的軸力、$L$ 是長度、$A$ 是斷面積、$E$ 是彈性模數。組合桿件的總位移，等於各段伸長量的代數和。 解題方法 先由受力平衡求各段軸力。$AB$ 段只有 $A$ 點的 $30\ \mathrm{kN}$ 向右拉力，因此 $$ N{AB}=30\ \mathrm{kN}\quad	ext{（拉力）} $$ 在 $B$ 點切開，取右側桿件作自由體：$A$ 點有 $30\ \mathrm{kN}$ 向右，$B$ 點有 $15\ \mathrm{kN}$ 向左，合力為向右 $15\ \mathrm{kN}$，所以 $$ N{BC}=30-15=15\ \mathrm{kN}\quad	ext{（拉力）} $$ 兩段直徑皆為 $20\ \mathrm{mm}$，斷面積為 $$ A=\frac{\pi d^2}{4} =\frac{\pi(20)^2}{4} =100\pi\ \mathrm{mm^2} $$ $AB$ 是鋁桿，長 $2\ \mathrm{m}=2000\ \mathrm{mm}$，$E{\mathrm{Al}}=70{,}000\ \mathrm{N/mm^2}$；$BC$ 是鋼桿，長 $3\ \mathrm{m}=3000\ \mathrm{mm}$，$E{\mathrm{鋼}}=200{,}000\ \mathrm{N/mm^2}$。因此 $A$ 點相對固定端 $C$ 向右的位移為

Answer

答案：D

Question 15

有一組合桿件如圖所示，其中 $AB$ 桿件與 $CD$ 桿件之彈性模數為 $E1$，斷面積為 $A1$，長度為 $L1$；$EF$ 桿件之彈性模數為 $E2$，斷面積為 $A2$，長度為 $L2$；三支桿件以一剛性體連接且無偏心。若在 $F$ 點施加一軸拉力 $P$，則此組合桿件 $F$ 點相對於固定端向右變形多少？ 🖼️【此處有附圖，請對照原卷】 (A) $\dfrac{P(E2A2L1+E1A1L2)}{E1A1E2A2}$ (B) $\dfrac{P(E2A2L2+E1A1L1)}{E1A1E2A2}$ (C) $\dfrac{P(E2A2L2+2E1A1L1)}{2E1A1E2A2}$ (D) $\dfrac{P(E2A2L1+2E1A1L2)}{2E1A1E2A2}$

Accepted Answer

核心觀念 本題考查軸向變形、並聯桿件的受力分配，以及串聯構件的總變形。 軸力為 $N$、長度為 $L$、彈性模數為 $E$、斷面積為 $A$ 的桿件，其軸向變形為 $$ \delta=\frac{NL}{EA} $$ 圖中 $AB$ 與 $CD$ 是兩支相同的支撐桿，並聯連接固定端與剛性體；$EF$ 則連接剛性體與受力點 $F$。剛性體無偏心，因此不轉動，只作平移。 解題方法 在 $F$ 點施加拉力 $P$，力經 $EF$ 傳至剛性體，再由 $AB$ 與 $CD$ 兩支相同的支撐桿承受。由對稱及相同剛度，兩支支撐桿各承受 $P/2$。 剛性體向右的位移，等於任一支撐桿的伸長量： $$ \delta{	ext{剛性體}} =\frac{(P/2)L1}{E1A1} =\frac{PL1}{2E1A1} $$ $EF$ 桿承受完整的拉力 $P$，其伸長量為 $$ \delta{EF}=\frac{PL2}{E2A2} $$ 因此，$F$ 點相對於固定端的總位移，是剛性體平移量加上 $EF$ 桿的伸長量：

Answer

答案：D

Question 16

一圓形變斷面桿件如圖所示，$A$ 點斷面直徑為 $dA$，$B$ 點斷面直徑為 $dB$，桿件長度為 $L$。在 $A$ 點施加一軸壓力 $P$，桿件材料的彈性模數為 $E$，則此桿件縮短量為何？ 🖼️【此處有附圖，請對照原卷】 (A) $\dfrac{4PL}{\pi E dA dB}$ (B) $\dfrac{4PL}{\pi E(2dB-dA)dA}$ (C) $\dfrac{4PL}{\pi E(2dB-dA)dB}$ (D) $\dfrac{8PL}{\pi E(dB+dA)^2}$

Accepted Answer

核心觀念 這題考圓形變斷面桿件受軸力時的軸向變形。桿件微小長度 $dx$ 的縮短量為 $$ d\delta=\frac{P}{E A(x)}\,dx $$ 因此全長縮短量為 $$ \delta=\int0^L\frac{P}{E A(x)}\,dx $$ 圖示桿件為直線錐度，直徑沿長度方向線性變化；軸力 $P$ 沿桿長不變。 解題方法 令 $x=0$ 位於 $A$ 端、$x=L$ 位於 $B$ 端。直徑線性變化，因此 $$ d(x)=dA+\frac{dB-dA}{L}x $$ 圓形斷面面積為 $A(x)=\frac{\pi}{4}d(x)^2$，代入變形公式： $$ \begin{aligned} \delta &=\frac{4P}{\pi E}\int0^L \frac{dx}{\left(dA+\frac{dB-dA}{L}xight)^2}\ &=\frac{4P}{\pi E}\cdot\frac{L}{dA dB}\ &=\frac{4PL}{\pi E dA dB} \end{aligned} $$ 故縮短量為選項 (A)。 選項分析

Answer

答案：A

Question 17

一根鋼索長度為 $L$，斷面積為 $A$，單位重為 $\gamma$。其上端固定於牆面，下端懸掛一物體重量為 $P$。若考慮鋼索自重及懸掛物重量，且軸向應力的安全因數為 $FS$，請問鋼索之最大容許軸向應力 $\sigmaa$ 為何？ (A) $P+\gamma AL$ (B) $\dfrac{1}{FS}\left(\dfrac{P}{A}\right)+\gamma L$ (C) $\dfrac{P}{A}+\dfrac{1}{FS}(\gamma L)$ (D) $\dfrac{1}{FS}\left(\dfrac{P}{A}+\gamma L\right)$

Accepted Answer

核心觀念

鋼索各處的軸力並不相同：越靠近上端，所需承受的重量越大。最大軸力出現在上端，等於懸掛物重量 $P$ 加上整條鋼索的自重 $\gamma AL$ 。

軸向應力為 $\sigma=P/A$ 。安全因數 $FS$ 定義為材料的破壞（或基準）強度與容許應力之比，因此容許應力須將包含自重效應的最大工作應力除以 $FS$ 。

解題方法

鋼索自重為單位重乘體積：

W_c=\gamma(AL)

故上端最大軸力為

N_{\max}=P+W_c=P+\gamma AL

將最大軸力除以斷面積，得最大工作應力：

\sigma_{\max}=\frac{N_{\max}}{A} =\frac{P+\gamma AL}{A} =\frac{P}{A}+\gamma L

依安全因數定義，最大容許軸向應力為

\sigma_a=\frac{\sigma_{\max}}{FS} =\frac{1}{FS}\left(\frac{P}{A}+\gamma L\right)

因此符合選項 (D)。

選項分析

Answer

答案：D

Question 18

一簡支梁如圖所示，此梁桿件的最大彎矩為何？ 🖼️【此處有附圖，請對照原卷】 (A) $50\ \mathrm{kN\cdot m}$ (B) $60\ \mathrm{kN\cdot m}$ (C) $70\ \mathrm{kN\cdot m}$ (D) $80\ \mathrm{kN\cdot m}$

Accepted Answer

核心觀念 本題考簡支梁受集中力偶時的支承反力與彎矩圖。集中力偶會使彎矩圖產生跳躍，但不改變剪力；兩端只有支承反力，因此全梁剪力為常數，彎矩在各集中力偶之間呈線性變化。 解題方法 取逆時針為正。圖中 $30\ \mathrm{kN\cdot m}$ 力偶為順時針，$90\ \mathrm{kN\cdot m}$ 力偶為逆時針；兩力偶分別作用於距 A 點 $2\ \mathrm{m}$、$4\ \mathrm{m}$ 處，梁長為 $6\ \mathrm{m}$。 由垂直力平衡： $$ Ay+By=0 $$ 以 A 點取矩： $$ 6By-30+90=0 \quad\Rightarrow\quad By=-10\ \mathrm{kN},\qquad Ay=10\ \mathrm{kN} $$ 因此兩集中力偶之間的剪力均為 $V=10\ \mathrm{kN}$，彎矩沿梁長每增加 $1\ \mathrm{m}$ 就增加 $10\ \mathrm{kN\cdot m}$。 由 A 點向右繪製彎矩圖： - A 至 $x=2\ \mathrm{m}$：$M=10x$，故 $M(2^-)=20\ \mathrm{kN\cdot m}$。 - 在 $x=2\ \mathrm{m}$ 遇到順時針 $30\ \mathrm{kN\cdot m}$ 力偶，彎矩圖向上跳 $30$，故 $M(2^+)=50\ \mathrm{kN\cdot m}$。 - 由 $x=2$ 至 $x=4\ \mathrm{m}$，彎矩增加 $10(2)=20$，故 $M(4^-)=70\ \mathrm{kN\cdot m}$。

Answer

答案：C

Question 19

一簡支梁承受外力如圖所示，其斷面寬為 $b$，深為 $d$，跨度為 $L$，此梁最大的斷面正向應力（normal stress）為何？ 🖼️【此處有附圖，請對照原卷】 (A) $\dfrac{23w0L^2}{18bd^2}$ (B) $\dfrac{23w0L^2}{24bd^2}$ (C) $\dfrac{23w0L^2}{30bd^2}$ (D) $\dfrac{23w0L^2}{36bd^2}$

Accepted Answer

核心觀念 本題考簡支梁在對稱分布載重下的最大彎矩，以及矩形斷面的彎曲正應力公式： $$ \sigma{\max}=\frac{M{\max}c}{I} $$ 矩形斷面的慣性矩為 $I=\frac{bd^3}{12}$，最外側纖維距中性軸 $c=\frac d2$，因此： $$ \sigma{\max}=\frac{6M{\max}}{bd^2} $$ 解題方法 圖中載重關於跨中對稱：兩端各有長度 $L/3$ 的三角形分布載重，中間長度 $L/3$ 為均布載重，最大強度皆為 $w0$。總載重為 $$ W=2\left(\frac12\cdot\frac L3\cdot w0\right)+\frac L3w0 =\frac{2w0L}{3} $$ 故兩端支承反力相等： $$ RA=RB=\frac W2=\frac{w0L}{3} $$ 由對稱性，跨中剪力為零，彎矩在跨中達最大值。取左半跨計算跨中彎矩： - 支承反力對跨中的力矩為 $RA\frac L2=\frac{w0L^2}{6}$。 - 左側三角形載重對跨中的力矩為 $$ \int0^{L/3}\frac{3w0x}{L}\left(\frac L2-x\right)dx =\frac{5w0L^2}{108} $$ - 左側均布載重只涵蓋 $L/3$ 至 $L/2$，其對跨中的力矩為 $$ w0\int{L/3}^{L/2}\left(\frac L2-x\right)dx =\frac{w0L^2}{72} $$ 因此：

Answer

答案：D

Question 20

一簡支短梁受力如圖所示，若梁的容許正向應力為 $250\ \mathrm{MPa}$ ，容許剪應力為 $50\ \mathrm{MPa}$ ，則此梁斷面最小直徑為多少？

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

Accepted Answer

核心觀念

本題要同時檢核簡支梁的彎曲正向應力與橫向剪應力，並以所需直徑較大者控制斷面尺寸。實心圓梁的截面性質為

I=\frac{\pi d^4}{64},\qquad A=\frac{\pi d^2}{4}

彎曲正向應力與圓截面最大剪應力分別為

\sigma_{\max}=\frac{Mc}{I}=\frac{32M}{\pi d^3}, \qquad \tau_{\max}=\frac{4V}{3A}=\frac{16V}{3\pi d^2}

圖中載重標示為 $200\ \mathrm{kN\!-\!m}$ ；依均佈載重箭號及單位慣例，解讀為均佈載重強度 $w=200\ \mathrm{kN/m}$ 。

解題方法

梁長 $L=1\ \mathrm{m}$ ，承受全跨均佈載重，因此最大彎矩與最大剪力為

M_{\max}=\frac{wL^2}{8} =\frac{200(1)^2}{8} =25\ \mathrm{kN\cdot m}

V_{\max}=\frac{wL}{2} =\frac{200(1)}{2} =100\ \mathrm{kN}

先由容許正向應力求直徑。取 $M_{\max}=25\times10^3\ \mathrm{N\cdot m}$ 、 $\sigma_a=250\times10^6\ \mathrm{Pa}$ ：

d_{\sigma} =\left(\frac{32M_{\max}}{\pi\sigma_a}\right)^{1/3} =\left(\frac{32(25\times10^3)}{\pi(250\times10^6)}\right)^{1/3} \approx 0.1006\ \mathrm{m} =100.6\ \mathrm{mm}

再由容許剪應力求直徑，取 $\tau_a=50\times10^6\ \mathrm{Pa}$ ：

Answer

答案：B

Question 21

一單跨簡支木梁，單位重 $\gamma=5\ \mathrm{kN/m^3}$，斷面寬度 $140\ \mathrm{mm}$、深度 $240\ \mathrm{mm}$，跨距 $1.2\ \mathrm{m}$。梁中央跨徑處施加一集中力 $P$，若容許撓曲應力 $\sigma{\mathrm{all}}=10\ \mathrm{MPa}$，則最大集中力 $P{\max}$ 為多少？ 🖼️【此處有附圖，請對照原卷】 (A) $22.2\ \mathrm{kN}$ (B) $35.6\ \mathrm{kN}$ (C) $38.0\ \mathrm{kN}$ (D) $44.7\ \mathrm{kN}$

Accepted Answer

核心觀念

本題考查簡支梁在跨中集中力與自重均佈載重作用下的最大彎曲應力。矩形斷面的彎曲應力為

\sigma_{\max}=\frac{M_{\max}}{S},\qquad S=\frac{bh^2}{6}

其中 $S$ 為斷面模數。容許彎曲應力給定後，可先求容許彎矩，再扣除梁自重造成的彎矩，求出可施加的最大集中力。

解題方法

梁的寬度 $b=0.14\ \mathrm{m}$ 、深度 $h=0.24\ \mathrm{m}$ ，故斷面模數為

S=\frac{0.14(0.24)^2}{6}=0.001344\ \mathrm{m^3}

容許彎矩為

M_{\mathrm{all}}=\sigma_{\mathrm{all}}S =(10\ \mathrm{MPa})(0.001344\ \mathrm{m^3}) =13.44\ \mathrm{kN\cdot m}

梁的自重為均佈載重，其每單位長度重量為

w=\gamma bh =(5\ \mathrm{kN/m^3})(0.14\ \mathrm{m})(0.24\ \mathrm{m}) =0.168\ \mathrm{kN/m}

簡支梁承受跨中集中力 $P$ 時，跨中彎矩為 $PL/4$ ；承受全跨均佈載重 $w$ 時，跨中彎矩為 $wL^2/8$ 。兩者的最大彎矩都發生在跨中，因此

M_{\max}=\frac{PL}{4}+\frac{wL^2}{8}

令 $L=1.2\ \mathrm{m}$ ，並令最大彎矩等於容許彎矩：

Answer

答案：D

Question 22

承上題，若容許剪應力 $	au{\mathrm{all}}=0.5\ \mathrm{MPa}$，當同時考慮 $\sigma{\mathrm{all}}$ 及 $	au{\mathrm{all}}$，請問最大集中力 $P{\max}$ 為多少？ (A) $22.2\ \mathrm{kN}$ (B) $35.6\ \mathrm{kN}$ (C) $38.0\ \mathrm{kN}$ (D) $44.7\ \mathrm{kN}$

Accepted Answer

核心觀念 本題承接第 18 題的構件與受力圖，需同時檢核容許正應力與容許剪應力。集中力 $P$ 增加時，彎矩與剪力均隨之增加，因此兩項應力限制都會給出 $P$ 的上限；可容許的最大集中力，取兩個上限中較小者。 解題方法 依承上題的梁內力結果及截面資料，分別用彎曲正應力公式與剪應力公式計算： $$ \sigma{\max}=\frac{M{\max}c}{I}\leq \sigma{\mathrm{all}}, \qquad 	au{\max}=\frac{V{\max}Q}{It}\leq 	au{\mathrm{all}}. $$ 其中 $M{\max}$ 為最大彎矩、$V{\max}$ 為最大剪力，$I$ 為截面二次矩，$c$ 為中性軸至最外緣的距離；$Q$ 為剪應力計算位置以上（或以下）面積對中性軸的一次矩，$t$ 為該位置的截面寬度。 依第 18 題的內力與截面結果，正應力限制所允許的集中力為 $$ P{\sigma}=44.7\ \mathrm{kN}, $$ 剪應力限制所允許的集中力為 $$ P{	au}=22.2\ \mathrm{kN}. $$

Answer

答案：A

Question 23

圖示之彈性均質梁桿件，長度為 $L$，斷面撓曲剛度為 $EI$。梁左端 $A$ 端為固定端且為座標原點（$x=0$），右端 $B$ 端為滾支承（$x=L$）。若梁全長承受均布載重 $q$，除滾支承處外，梁跨度內出現反曲點之位置，相距左側固定端之長度為多少 $L$？ 🖼️【此處有附圖，請對照原卷】 (A) $0.25L$ (B) $0.52L$ (C) $0.586L$ (D) $0.865L$

Accepted Answer

核心觀念 梁的反曲點是彎矩由正轉負或由負轉正的位置。由彎曲關係 $M=EI\,v''$，在均質梁且 $EI$ 不變時，反曲點可由 $M(x)=0$ 求得。 本題為左端固定、右端滾支承的簡支撐懸臂梁，承受全跨均布載重 $q$。右端支承的反力須由梁端撓度為零的相容條件求出。 解題方法 以右端支承反力 $RB$ 作為冗餘力，先將右端滾支承移除，視為左端固定的懸臂梁。均布載重造成的自由端向下撓度為 $qL^4/(8EI)$，端點向上力 $RB$ 造成的撓度為 $RBL^3/(3EI)$。右端實際撓度為零，因此 $$ \frac{qL^4}{8EI}-\frac{RBL^3}{3EI}=0 \quad\Rightarrow\quad RB=\frac{3qL}{8} $$ 由垂直力平衡得 $$ RA=qL-RB=\frac{5qL}{8} $$ 固定端彎矩為 $MA=-qL^2/8$。以左端為座標原點，距離 $x$ 處的彎矩為 $$ M(x)=-\frac{qL^2}{8}+\frac{5qL}{8}x-\frac{qx^2}{2} $$ 令 $M(x)=0$，並設 $\xi=x/L$：

Answer

答案：A

Question 24

一剛體由兩支鋼柱以及一組線彈簧支撐，如圖所示。兩支鋼柱斷面積均為 $100\ \mathrm{mm^2}$ 。線彈簧之彈力常數 $k=50\ \mathrm{MN/m}$ ，未壓縮之原長為 $2.02\ \mathrm{m}$ 。在剛體上施加均布載重 $500\ \mathrm{kN/m$ }$ 後，則此鋼柱的軸向變形量為何？

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

🖼️ 本題原卷含圖表。基於試題來源之版權考量，本站不轉載原卷影像；題目文字已完整轉錄，圖表請自行參閱考選部公告之試題原檔。

Accepted Answer

核心觀念

本題考剛體受力平衡與支承的軸向變形。由圖可知，兩支鋼柱各長 $2\,\mathrm{m}$ ，剛體左右對稱，均布載重作用長度為 $4\,\mathrm{m}$ 。因此剛體只作垂直平移，兩支鋼柱的軸向變形相同，中央彈簧也隨剛體向下壓縮。

彈簧未壓縮長度為 $2.02\,\mathrm{m}$ ，圖示安裝長度為 $2.00\,\mathrm{m}$ ，所以載重施加前，彈簧已壓縮 $0.02\,\mathrm{m}$ 。鋼材彈性模數取常用值 $E=200\,\mathrm{GPa}$ 。

解題方法

令剛體向下位移，也是每支鋼柱的軸向縮短量為 $\delta$ 。均布載重的合力為

W=(500\,\mathrm{kN/m})(4\,\mathrm{m})=2000\,\mathrm{kN}.

每支鋼柱的軸向剛度為

k_c=\frac{EA}{L} =\frac{(200\,\mathrm{GPa})(100\,\mathrm{mm^2})}{2\,\mathrm{m}} =10\,\mathrm{MN/m}.

兩支鋼柱合計提供的支承力為 $2k_c\delta$ 。彈簧原先已有 $0.02\,\mathrm{m}$ 壓縮，剛體再下移 $\delta$ 後，彈簧力為

F_s=k(0.02+\delta).

對剛體列垂直力平衡：

2k_c\delta+k(0.02+\delta)=W.

代入數值：

Answer

答案：C

Question 25

一桿件兩端固定於剛性牆上，材料彈性模數為 $E$，熱膨脹係數為 $\alpha$，桿件斷面積為 $A$，長度為 $L$。若此桿件的初始溫度為 $TA$ 時，桿件不受任何力量。當桿件溫度由 $A$ 點的 $TA$ 呈線性變化至 $B$ 點的 $TB$ 時，此桿件受到的軸壓力為何？ 🖼️【此處有附圖，請對照原卷】 (A) $\dfrac{\alpha EA(TB-TA)}{2}$ (B) $\alpha EA(TB-TA)$ (C) $\dfrac{3\alpha EA(TB-TA)}{2}$ (D) $2\alpha EA(TB-TA)$

Accepted Answer

核心觀念 兩端固定的桿件受到溫度變化時，熱膨脹受到限制，會產生軸力。本題的溫度沿桿長由 $A$ 點的 $TA$ 線性變化至 $B$ 點的 $TB$，因此桿件各位置的溫升不同；計算時要使用全桿的平均溫升。 解題方法 令 $x$ 自 $A$ 點起算，則位置 $x$ 的溫度變化為 $$ \Delta T(x)=\frac{TB-TA}{L}x $$ 自由熱伸長量為 $$ \deltaT=\int0^L \alpha\Delta T(x)\,dx =\int0^L \alpha\frac{TB-TA}{L}x\,dx =\frac{\alpha L(TB-TA)}{2} $$ 兩端固定使桿件總伸長量為零，因此軸力造成的彈性縮短量，須抵銷自由熱伸長量。設軸壓力大小為 $P$，則 $$ \frac{PL}{EA}=\deltaT =\frac{\alpha L(TB-TA)}{2} $$ 整理得 $$ P=\frac{\alpha EA(TB-TA)}{2} $$ 故選項 A 正確。 選項分析

Answer

答案：A

Question 26

一簡支梁由三片木材板以釘子接合所組成，釘子的間距為 $s$，在梁跨度中央施加一外力 $60\ \mathrm{kN}$。若每支釘子可承受的剪力為 $5\ \mathrm{kN}$，請問釘子最大的間距 $s$ 為何？ 🖼️【此處有附圖，請對照原卷】 (A) $57.5\ \mathrm{mm}$ (B) $52.5\ \mathrm{mm}$ (C) $47.5\ \mathrm{mm}$ (D) $42.5\ \mathrm{mm}$

Accepted Answer

核心觀念 本題考查組合梁的剪流與連接件間距。木板交界處的剪流為 $$ q=\frac{VQ}{I} $$ 其中 $V$ 是該截面的剪力，$Q$ 是交界線一側截面面積對中性軸的一次矩，$I$ 是整個組合截面對中性軸的慣性矩。間距為 $s$ 的釘子所承受的剪力為 $F=qs$，因此須滿足 $qs\leq 5\ \mathrm{kN}$。 解題方法 簡支梁跨度中央承受 $60\ \mathrm{kN}$ 集中力，兩端反力相等： $$ RA=RB=\frac{60}{2}=30\ \mathrm{kN} $$ 梁的最大剪力為 $V=30\ \mathrm{kN}$。 依圖，截面由兩片 $100\ \mathrm{mm}	imes25\ \mathrm{mm}$ 翼板及一片 $25\ \mathrm{mm}	imes200\ \mathrm{mm}$ 腹板組成。截面上下對稱，中性軸位於截面高度中央。每片翼板的面積為 $2500\ \mathrm{mm^2}$，其形心距中性軸 $112.5\ \mathrm{mm}$，所以 $$ Q=(100	imes25)(112.5)=281\,250\ \mathrm{mm^3} $$ 整體截面慣性矩為

Answer

答案：C

Question 27

一複合梁斷面如圖所示，材料 $A$ 與材料 $B$ 的彈性模數分別為 $210\ \mathrm{GPa}$ 與 $70\ \mathrm{GPa}$ 。若中性軸位置距梁底部為 $y$ ，則 $y$ 最接近下列何者？

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

Accepted Answer

核心觀念

複合梁彎曲時，各材料的應變隨高度線性變化，但應力會依各材料的彈性模數 $E$ 而異。因此，中性軸位置要用彈性模數加權計算：

\bar y=\frac{\sum E_i A_i y_i}{\sum E_i A_i}

其中 $A_i$ 是各材料的面積， $y_i$ 是各部分形心距梁底部的高度。

解題方法

依圖可讀出：材料 B 在下方，高 $200\ \mathrm{mm}$ ；材料 A 在上方，高 $50\ \mathrm{mm}$ ；兩者寬度均為 $175\ \mathrm{mm}$ 。因此，總高度為 $250\ \mathrm{mm}$ 。

以梁底為基準，兩部分形心位置分別為：

材料 B： $y_B=100\ \mathrm{mm}$
材料 A： $y_A=200+25=225\ \mathrm{mm}$

代入 $E_A=210\ \mathrm{GPa}$ 、 $E_B=70\ \mathrm{GPa}$ ：

\bar y =\frac{(70)(175\times200)(100)+(210)(175\times50)(225)} {(70)(175\times200)+(210)(175\times50)}

約去共同寬度 $175$ ，並將彈性模數同除以 $70$ ：

Answer

答案：C

Question 28

有一槽型斷面之梁桿件如圖所示，其中 $C$ 點為此斷面的形心位置。有一彎矩作用於 $C$ 點，則下列敘述何者錯誤？

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

🖼️ 本題原卷含圖表。基於試題來源之版權考量，本站不轉載原卷影像；題目文字已完整轉錄，圖表請自行參閱考選部公告之試題原檔。

Accepted Answer

核心觀念 本題考查槽型斷面的形心與慣性矩，以及斜向彎矩造成的彎曲正應力。斷面關於垂直中心線對稱，因此形心位於該對稱線上，且形心軸的慣性積為零。中性軸方向由兩個方向的彎曲應力梯度決定；截面上任一點的正應力則由其相對形心的座標代入彎曲公式求得。 解題方法 依圖，斷面總高為 $200\ \mathrm{mm}$，頂板厚 $20\ \mathrm{mm}$，兩側腹板各為 $20	imes180\ \mathrm{mm}$，頂板寬 $400\ \mathrm{mm}$。以斷面底部為基準計算形心： $$ \bar y{	ext{自底部}} =\frac{(400)(20)(190)+2(20)(180)(90)} {(400)(20)+2(20)(180)} =142.63\ \mathrm{mm} $$ 所以形心距頂部為 $200-142.63=57.37\ \mathrm{mm}$，選項 (A) 正確。 以形心軸計算慣性矩，取 $y$ 軸為垂直軸、$z$ 軸為水平軸： $$ Iy\approx 3.671	imes10^8\ \mathrm{mm^4}, \qquad Iz\approx 3.960	imes10^7\ \mathrm{mm^4} $$ 彎矩方向由圖中的 $5$–$12$–$13$ 三角形分解，兩個分量大小為

Answer

答案：D

Question 29

一桁架系統統具有兩支懸臂梁 $DC$ 和 $AB$，另一梁 $CB$ 放置於兩懸臂梁端，如圖所示。若所有梁桿件的慣性矩均為 $I$，材料彈性模數均為 $E$，在 $CB$ 梁中點 $G$ 施加一力量 $P$，則 $G$ 點的垂直撓度為何？ 🖼️【此處有附圖，請對照原卷】 (A) $\dfrac{PL^3}{16EI}$ (B) $\dfrac{PL^3}{8EI}$ (C) $\dfrac{3PL^3}{16EI}$ (D) $\dfrac{PL^3}{4EI}$

Accepted Answer

核心觀念

本題考兩種梁的撓度如何疊加：中間梁 $CB$ 受集中力而彎曲，兩端支承點 $C、B$ 又會隨懸臂梁 $DC、AB$ 向下位移。因此， $G$ 點的總垂直撓度，等於支承點下沉量加上 $CB$ 相對於兩端支承的彎曲撓度。

圖示中，兩支懸臂梁長度均為 $L$ ， $CB$ 全長為 $L$ ，且 $G$ 為中點。各梁的彎曲剛度均為 $EI$ 。

解題方法

由對稱性， $CB$ 中點承受集中力 $P$ 時，兩端反力相同：

R_C=R_B=\frac{P}{2}

每支懸臂梁受端點向下力 $P/2$ ，其自由端撓度為

\delta_C=\delta_B =\frac{(P/2)L^3}{3EI} =\frac{PL^3}{6EI}

因此， $CB$ 兩端支承點共同下沉 $PL^3/(6EI)$ 。

再計算 $CB$ 本身相對於兩端支承的中點撓度。簡支梁受中央集中力時，中點撓度為

\delta_{G,\mathrm{梁}} =\frac{PL^3}{48EI}

兩端支承等量下沉時， $G$ 點也隨支承下沉相同距離，所以總撓度為

Answer

答案：C

Question 30

有一懸臂梁如圖所示，其長度為 $L$，慣性矩為 $I$，材料彈性模數為 $E$，於末端 $B$ 點連接一彈簧，彈簧常數為 $k$。若在 $B$ 點施加一力量 $P$，求 $B$ 點的垂直撓度 $\deltaB$ 為多少？ 🖼️【此處有附圖，請對照原卷】 (A) $\dfrac{PL^3}{3EI+kL^3}$ (B) $\dfrac{2PL^3}{6EI+kL^3}$ (C) $\dfrac{PL^3}{3EI+2kL^3}$ (D) $\dfrac{3PL^3}{EI+kL^3}$

Accepted Answer

核心觀念 懸臂梁末端受集中力 $Q$ 時，末端撓度為 $$ \deltaB=\frac{QL^3}{3EI} $$ 因此，梁端的等效垂直剛度為 $kb=\frac{3EI}{L^3}$。梁端彈簧與梁的抗力共同抵抗外力 $P$，兩者承受相同的端點位移，依平衡關係可求得 $\deltaB$。 解題方法 令 $B$ 點向下撓度為 $\deltaB$。彈簧受壓後提供向上的恢復力 $k\deltaB$，所以梁所受的向下合力為 $P-k\deltaB$。由懸臂梁末端撓度公式： $$ \deltaB=\frac{(P-k\deltaB)L^3}{3EI} $$ 整理得 $$ 3EI\deltaB=PL^3-kL^3\deltaB $$ $$ \boxed{\deltaB=\frac{PL^3}{3EI+kL^3}} $$ 這與官方答案（A）相符。分母中的 $3EI$ 是梁的彎曲剛度項，$kL^3$ 是彈簧剛度換算到相同形式後的項。 選項分析

Answer

答案：A

Question 31

如圖所示，有一複合桿件（composite member）由兩個具有相同斷面的桿件組成，其彈性模數分別為 $E_1$ 與 $E_2$ ，複合桿件斷面積為 $2b\times 2b$ ，其兩端板假設為剛性。若於兩端板處施加軸壓力 $P$ ，且與複合桿件中線具有偏心距 $e$ 。若兩桿件僅承受軸壓力，則此偏心距 $e$ 值為多少？

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

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Accepted Answer

核心觀念 兩端板為剛性，因此兩根桿件的軸向變形相同，軸向應變相同。依胡克定律 $\sigma=E\varepsilon$，兩桿件的軸力會依彈性模數分配。若兩桿件只受軸力、不承受彎矩，外力合力的作用線必須通過複合截面的「彈性中心」，也就是依 $EA$ 加權所得的位置。 解題方法 每根桿件的截面積相同，設為 $A$。以複合截面中線為基準，$E2$ 桿件位於中線上方，其形心距中線 $b/2$；$E1$ 桿件位於中線下方，其形心距中線 $b/2$。 兩桿件的軸力分別為 $N2$、$N1$。因軸向應變相同： $$ \frac{N2}{N1} =\frac{E2A\varepsilon}{E1A\varepsilon} =\frac{E2}{E1} $$ 外力作用線須通過兩軸力合力的位置，因此偏心距為 $$ e=\frac{N2(b/2)-N1(b/2)}{N1+N2} $$ 代入 $N2:N1=E2:E1$，得 $$ e=\frac{b(E2-E1)}{2(E2+E1)} $$

Answer

答案：A

Question 32

如下圖所示，具有兩個不同實心斷面的鋼棒 $ABC$，其 $C$ 端固接而 $A$ 端連接於一彈簧，彈簧常數為 $50\ \mathrm{MN/m}$。鋼棒直徑分別為 $100\ \mathrm{mm}$ 以及 $120\ \mathrm{mm}$，長度分別為 $300\ \mathrm{mm}$ 以及 $500\ \mathrm{mm}$。鋼的彈性模數與熱膨脹係數分別為 $200\ \mathrm{GPa}$ 以及 $12	imes10^{-6}/^\circ\mathrm{C}$。若鋼棒 $ABC$ 的溫度均勻增加了 $30^\circ\mathrm{C}$，則 $B$ 點的位移為何？ 🖼️【此處有附圖，請對照原卷】 (A) 右移 $0.122\ \mathrm{mm}$ (B) 左移 $0.177\ \mathrm{mm}$ (C) 右移 $0.155\ \mathrm{mm}$ (D) 左移 $0.133\ \mathrm{mm}$

Accepted Answer

核心觀念 本題考查鋼棒受均勻升溫時的軸向熱變形，以及彈簧與桿件的變形相容。軸向變形包含機械變形與熱變形： $$ \delta=\frac{NL}{AE}+\alpha\Delta T\,L $$ 其中拉力 $N$ 取正；本題升溫後鋼棒受壓，因此機械變形會抵銷一部分熱膨脹。 解題方法 令壓縮力大小為 $P$。鋼棒兩段串聯，總長度為 $0.8\ \mathrm{m}$。A 點向左移動的距離，等於彈簧伸長量 $P/k$；同時也等於兩段鋼棒的熱膨脹量扣除壓縮量： $$ \frac{P}{k} = \alpha\Delta T(L1+L2) - P\left( \frac{L1}{A1E}+\frac{L2}{A2E} ight) $$ 因此 $$ P= \frac{\alpha\Delta T(L1+L2)} {\dfrac{1}{k}+\dfrac{L1}{A1E}+\dfrac{L2}{A2E}} $$ 截面積為 $$ A1=\frac{\pi(0.1)^2}{4}=0.007854\ \mathrm{m^2}, \qquad A2=\frac{\pi(0.12)^2}{4}=0.011310\ \mathrm{m^2} $$ 代入 $k=50	imes10^6\ \mathrm{N/m}$、$E=200	imes10^9\ \mathrm{Pa}$、$\alpha\Delta T=12	imes10^{-6}	imes30=360	imes10^{-6}$：

Answer

答案：B

111 專技高考高等考試 大地工程技師第一階段考試 材料力學 考古題詳解

第 一 題15 分

核心觀念

解題方法

第 二 題20 分

第 三 題15 分

核心觀念

解題方法

第 1 題1 分

核心觀念

解題方法

選項分析

第 2 題1 分

第 3 題1 分

第 4 題1 分

第 5 題1 分

第 6 題1 分

核心觀念

解題方法

第 7 題1 分

第 8 題1 分

核心觀念

解題方法

第 9 題1 分

第 10 題1 分

第 11 題1 分

第 12 題1 分

第 13 題1 分

第 14 題1 分

核心觀念

解題方法

選項分析

第 15 題1 分

第 16 題1 分

第 17 題1 分

核心觀念

解題方法

第 18 題1 分

核心觀念

解題方法

第 19 題1 分

第 20 題1 分

第 21 題1 分

核心觀念

解題方法

第 22 題1 分

第 23 題1 分

第 24 題1 分

核心觀念

解題方法

第 25 題1 分

第 26 題1 分

核心觀念

解題方法

第 27 題1 分

第 28 題1 分

第 29 題1 分

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