110 專技高考高等考試 資訊技師 計算機數學 考古題詳解

核心觀念

本題考查正整數乘積與平方根的大小關係。若兩個正數都大於同一數值，兩者的乘積也會大於該數值的平方。

解題方法

採反證法。假設結論不成立，則 $a>\sqrt{n}$ 且 $b>\sqrt{n}$。因為 $a,b$ 都是正數，相乘後得到

核心觀念

函數 $f:A\to B$ 包含三個要素：定義域 $A$、對應域 $B$，以及把 $A$ 中每個元素對應到 $B$ 中唯一元素的規則。函數的值域是實際輸出的集合 $f(A)$，必定包含於對應域 $B$。

• 一對一（單射）：若 $f(a_1)=f(a_2)$，必有 $a_1=a_2$。不同輸入不會得到相同輸出。
• 映成（滿射）：對應域 $B$ 中每個元素，都是某個定義域元素的函數值；也就是 $f(A)=B$。
• 一對一且映成（雙射）：同時滿足單射與滿射。

解題方法

題目要求舉例，關鍵是明確列出函數規則、定義域與對應域，再分別驗證單射和滿射。特別要注意：映成與否取決於「對應域」；若更改對應域，即使函數規則相同，滿射性也可能改變。

（一）一對一且映成函數

令定義域與對應域皆為整數集合 $\mathbb{Z}$，定義函數

驗證一對一： 若 $f(a)=f(b)$，則

因此 $a=b$，故 $f$ 為一對一函數。

驗證映成： 任取對應域中的 $y\in\mathbb{Z}$，令 $n=y-1$。因為 $y-1\in\mathbb{Z}$，且

所以每個 $y\in\mathbb{Z}$ 都有原像，故 $f$ 為映成函數。

因此，$f$ 是一對一且映成函數。

核心觀念

本題考查完整歸納法（Strong Induction）的推遞步驟，以及數學命題的真偽。證明一個命題 $P(n)$ 對所有非負整數 $n$ 成立，完整歸納法須包含：

1. 起始步驟：驗證起始值，例如 $P(0)$。
2. 推遞步驟：對任意 $k\geq 0$，假設 $P(0),P(1),\ldots,P(k)$ 全部成立，並由這些假設推導出 $P(k+1)$。

題目中的命題是 $P(n):5\times n=0$。在通常整數算術下，$5\times n=0$ 並非對所有非負整數成立，例如 $n=1$ 時 $5\times1=5\ne0$。

解題方法

起始步驟 $5\times0=0$ 正確，但只證明了 $P(0)$。

推遞步驟不成立。歸納假設是對 $0\leq j\leq k$ 的整數 $j$，皆有 $5\times j=0$；要完成歸納，必須從這些假設推出 $5\times(k+1)=0$。題目卻另稱 $i,j$ 為小於 $k+1$ 的自然數，並寫成

核心觀念

本題考查天平稱重的資訊量與決策樹。假幣已知比真幣輕，因此每次稱重只有三種結果：左盤較輕、右盤較輕、兩盤平衡。稱重 $k$ 次最多可形成 $3^k$ 種結果序列，故要辨識 $8$ 枚硬幣，至少須滿足 $3^k \ge 8$。由於 $3^1<8\le 3^2$，至少需要 $2$ 次。

解題方法與決策樹

先將硬幣分成三組：$A=\{1,2,3\}$、$B=\{4,5,6\}$、$C=\{7,8\}$。

第一次稱量 $1,2,3$ 對 $4,5,6$：

• 若平衡：假幣在 $C=\{7,8\}$。第二次稱 $7$ 對 $8$，較輕者即為假幣。
• 若左盤較輕：假幣在左盤的 $\{1,2,3\}$。第二次稱 $1$ 對 $2$：
• 左盤較輕，假幣是 $1$；
• 右盤較輕，假幣是 $2$；
• 平衡，假幣是 $3$。
• 若右盤較輕：假幣在右盤的 $\{4,5,6\}$。

核心觀念

這題考查一階線性遞迴式的求解。遞迴式為

其中每一項由前一項乘上 $2$ 再減去 $1$ 得到。可透過平移變數消去常數項，將遞迴式化為等比型態。

解題方法

觀察遞迴式中的常數 $-1$，令

因此 $a_n=b_n+1$，代入原式：

整理得

初始值為

核心觀念

這題考二項分配。每位大學生打工的機率為 $p=0.4$，不打工的機率為 $1-p=0.6$。假設五位學生的選取彼此獨立，令 $X$ 為五人中打工的人數，則 $X\sim\mathrm{Binomial}(5,0.4)$。

二項分配的機率公式為：

其中 $\binom{n}{k}$ 表示從 $n$ 人中選出 $k$ 人打工的組合數。

解題方法

「至少三人打工」包含三人、四人或五人，因此：

逐項代入二項分配公式：

核心觀念

本題考查將一組數值排序後，以中位數、四分位數及箱形圖描述資料分布。設排序後的資料為

中位數是排序後資料的中央位置；第三個四分位數 $Q_3$ 是上半部資料的中位數；箱形圖則以中位數、四分位數與極端值摘要資料分布。題目未指定四分位數的計算慣例，以下採常見的「奇數筆資料時，計算上下半部中位數不納入整體中位數」定義。

解題方法

（一）中位數（第二個四分位數）

先將 $n$ 筆資料由小到大排列。

• 若 $n=2k+1$ 為奇數，中位數為正中央的第 $k+1$ 筆：

• 若 $n=2k$ 為偶數，中位數為中央兩筆的算術平均：

中位數將排序後資料分成數量大致相等的兩部分；約有一半資料不大於中位數，另一半不小於中位數。

（二）第三個四分位數 $Q_3$

$Q_3$ 是排序後資料上半部的中位數，表示約有 $75\%$ 的資料不大於 $Q_3$，約有 $25\%$ 的資料不小於 $Q_3$。

依上述慣例：

• 若 $n=2k+1$，先排除整體中位數 $x_{k+1}$，上半部為 $x_{k+2},\ldots,x_{2k+1}$。其中央值為

• 若 $n=2k$，上半部為 $x_{k+1},\ldots,x_{2k}$，其中央值為

核心觀念

本題考查常態分配的標準化，以及利用標準常態分配累積機率表求左尾機率。若薪資 $X$ 服從平均數 $\mu$、標準差 $\sigma$ 的常態分配，標準分數為：

標準化後，題目所求的薪資機率可寫成標準常態分配的累積機率。

解題方法

已知平均薪資 $\mu=47{,}750$ 元、標準差 $\sigma=5{,}680$ 元，要求薪資不超過 $31{,}000$ 元的機率。先將 $31{,}000$ 元標準化：

因此：