112 專技高考高等考試 資訊技師 計算機數學 考古題詳解

核心觀念

本題考查數學歸納法。要證明命題 $P(n)$ 對所有整數 $n\ge 4$ 成立，需完成兩步：

1. 基礎步驟：驗證起始值 $n=4$ 時命題成立。
2. 歸納步驟：假設命題對某個整數 $k\ge 4$ 成立，再證明命題對 $k+1$ 也成立。

本題的命題為 $P(n): 2^n<n!$。

解題方法

**基礎步驟：**令 $n=4$，則

因此，命題在起始值 $n=4$ 時成立。

**歸納步驟：**假設對某個整數 $k\ge 4$，命題成立，即

要證明 $2^{k+1}<(k+1)!$。由歸納假設及 $k+1>2$，可得

核心觀念

數列中每個正整數 $k$ 都重複出現 $k$ 次，因此共有 $1+2+\cdots+n$ 個數。平均數的定義為「總和除以個數」。

解題方法

先計算數列所有項目的總和。數字 $k$ 出現 $k$ 次，對總和的貢獻是 $k\cdot k=k^2$，所以

數列的項數為

因此平均數為

核心觀念

遞迴定義以一個或多個初始值為起點，再用前一項或前幾項表示後續各項。遞迴式必須同時給出初始條件與遞迴關係，而且初始項的編號要配合題目指定的 $n$ 範圍。

解題方法

（一）$a_n=7n$，$n=1,2,3,\ldots$

相鄰兩項的差為

因此每一項都是前一項加 $7$。由原式求得首項 $a_1=7$，所以遞迴定義為

逐項驗算：$a_1=7$、$a_2=14$、$a_3=21$，符合 $a_n=7n$。

（二）$a_n=1+(-1)^n$，$n=0,1,2,\ldots$

前幾項為

核心觀念

平方差公式為 $p^2-q^2=(p-q)(p+q).$ 本題的關鍵是將奇數 $n$ 寫成兩個同奇偶性的正整數之積，並由這兩個因數反推出非負整數 $p,q$。

解題方法

令 $n$ 為正奇數，取 $p=\frac{n+1}{2},\qquad q=\frac{n-1}{2}.$ 因為 $n$ 是奇數，$n+1$ 與 $n-1$ 都是偶數，因此 $p,q$ 都是整數；又因 $n\ge 1$，所以 $q\ge 0$，且 $p>0$。直接計算：

核心觀念

本題考查以比較判斷建立決策樹（decision tree），透過每次比較兩個數的大小，逐步排除不可能的排列。三個數互不相同，因此比較結果只有「小於」或「大於」兩種，不必處理相等情形。

三個不同數共有 $3! = 6$ 種可能排列。決策樹的每個葉節點須對應一種排列；每個內部節點則代表一次比較。

解題方法

先比較 $a$ 與 $b$，再依結果比較其中較小者與 $c$，確定最小值；最後比較剩下的兩數，即可決定完整順序。以下以「左分支為小於、右分支為大於」表示比較結果：

 a < b ?
 / \
 是 否
 / \
 a < c ? b < c ?
 / \ / \
 是 否 是 否
 / \ / \
 b < c ? b < c ? a < c ? a < c ?
 / \ / \ / \ / \
 是 否 是 否 是 否 是 否
 / / / / / / / /
 a<b<c a<c<b b<a<c c<a<b a<b<c b<a<c b<c<a c<b<a

上圖直接畫出的葉節點有重複排列，因為某些路徑的比較結果彼此矛盾，無法由互不相同的數實際走到。將各次比較按分支條件完整安排，可得到較清楚且每個葉節點都有效的決策樹：

核心觀念

深度優先搜尋（Depth-First Search, DFS）是一種圖形走訪方法：從指定起點出發，每次選擇一個尚未走訪的相鄰頂點繼續深入；當目前頂點沒有尚未走訪的相鄰頂點時，就回到上一個頂點，繼續搜尋其他分支，直到所有可到達的頂點都走訪完成。

DFS 可用遞迴或堆疊實作。走訪順序會受相鄰頂點的選擇順序影響；本題依圖形位置，遇到多個尚未走訪的相鄰頂點時，按由左至右的順序走訪。

解題方法

從頂點 $a$ 開始。$a$ 的相鄰頂點為 $b,d$，依圖中由左至右先走訪 $b$。接著沿著尚未走訪的分支深入：

1. 走訪 $a$，進入 $b$。
2. $b$ 的尚未走訪相鄰頂點依序為 $f,c$，先進入 $f$。$f$ 沒有其他尚未走訪的相鄰頂點，回到 $b$。
3. 從 $b$ 進入 $c$，再由 $c$ 進入 $e$。

核心觀念

本題考查二項係數 $\mathrm{C}(n,i)$ 的定義，以及巴斯卡公式：

其中 $n!$ 表示階乘，且題目給定 $0!=1!=1$。巴斯卡三角形每一列對應固定的 $n$，由左至右排列 $\mathrm{C}(n,0)$ 至 $\mathrm{C}(n,n)$。

解題方法

先用定義求出邊界值。對任意 $n\ge 0$，

所以每一列的最左端與最右端都是 $1$。接著由 $\mathrm{C}(0,0)=1$ 起，使用巴斯卡公式求內部各項：每個數等於前一列中與它相鄰的兩數相加。例如：

依此逐列計算，得到：

核心觀念

每位受試者有高血壓的機率為 $p=0.2$，沒有高血壓的機率為 $1-p=0.8$。假設各人的狀況彼此獨立，6 位中有高血壓的人數 $X$ 服從二項分配：

二項分配的機率公式為：

其中 $\binom{6}{k}$ 表示從 6 人中選出 $k$ 位有高血壓者的組合數。

解題方法

（一）沒有人有高血壓

此情形為 $X=0$。6 位都沒有高血壓，每人的機率均為 $0.8$，因此：

機率為 $0.262144$，即 $26.2144\%$。

（二）有四位有高血壓

此情形為 $X=4$。先從 6 位中選出 4 位有高血壓者，再乘上該種分布的機率：

核心觀念

標準常態累積機率表的數值為 $P(Z\le z)$。區間機率用右端累積機率減去左端累積機率；標準常態分布以 $0$ 為中心對稱。

依原卷圖形，$B$、$G$ 的分界線在 $z=-2.5$、$z=2.5$。題目文字列出的 $-3$ 至 $3$ 區域與原圖標示不一致，以下依原卷圖形作答。

解題方法

由表查得：

各區域依累積機率相減：

• $A=P(Z<-2.5)=0.0062=\boxed{0.62\%}$
• $B=P(-2.5<Z<-2)=0.0228-0.0062=0.0166=\boxed{1.66\%}$
• $C=P(-2<Z<-1)=0.1587-0.0228=0.1359=\boxed{13.59\%}$