113 專技高考高等考試 資訊技師 計算機數學 考古題詳解

核心觀念

本題考分配計數。九個專項課程視為九個不同的項目，七天視為七個不同的日期；每堂課可安排在任一天，每天最多安排兩堂課。題目沒有要求每天都必須有課，也沒有規定課程順序，因此只需計算九堂課分配到七天、且每天不超過兩堂的方式。

解題方法

若不限制每天堂數，九堂不同課程各有七天可選，共有 $7^9$ 種安排。接著用容斥原理扣除至少有一天超過兩堂的安排。

令 $A_i$ 表示第 $i$ 天安排了至少三堂課的事件。

• 指定某一天違規：先選出至少三堂放在該天，其餘課程安排到剩下六天。等價地，從九堂課中選出 $k$ 堂排在該天，其餘八天可選，故其安排數為 $\sum_{k=3}^{9}\binom{9}{k}6^{9-k}.$
• 指定 $r$ 天同時違規：對這 $r$ 天各自至少選三堂。以生成函數寫出精確計數：單一指定日的選課數由 $\sum_{k=3}^{9}\binom{9}{k}x^k$ 表示，其餘 $7-r$ 天各可接收任意堂數，由 $(1+x)^{9(7-r)}$ 表示。較直接的完整計算可用下列係數式： $N=\sum_{r=0}^{3}(-1)^r\binom{7}{r}\,[x^9]\left(\left(\sum_{k=3}^{9}\frac{x^k}{k!}\right)^r\left(\sum_{k=0}^{9}\frac{x^k}{k!}\right)^{7-r}\right)9!.$

核心觀念

線性常係數遞迴關係的解，分成兩部分：

1. 齊次解：先令非齊次項為 $0$，由特徵方程求出。
2. 特解：依非齊次項的型態選擇試探形式。若試探形式與齊次解重複，便乘上 $n$。
3. 完整解：將齊次解與特解相加，再代入初始條件求常數。

⑴ $a(n)-5a(n-1)=4(-2)^n$

解題方法

先解對應的齊次遞迴式

$$a(n)-5a(n-1)=0.$$

令 $a(n)=r^n$，得到特徵方程

$$r-5=0,$$

故齊次解為

$$a_h(n)=C5^n.$$

非齊次項 $4(-2)^n$ 是指數型，且底數 $-2$ 不等於特徵根 $5$，設特解為

$$a_p(n)=A(-2)^n.$$

代入原式：

$$A(-2)^n-5A(-2)^{n-1}=4(-2)^n.$$

提出 $A(-2)^{n-1}$：

$$A(-2)^{n-1}(-2-5)=4(-2)^n.$$

因此 $-7A=-8$，得

$$A=\frac87.$$

故通解為

$$a(n)=C5^n+\frac87(-2)^n.$$

由初始條件 $a(0)=3$：

$$C+\frac87=3,$$

所以 $C=\frac{13}{7}$。因此

$$\boxed{a(n)=\frac{13}{7}5^n+\frac87(-2)^n}.$$

解題技巧

指數型非齊次項 $Kq^n$，可先試 $Aq^n$；只要 $q$ 不是特徵根，就能直接代入求 $A$。本題 $q=-2$ 與特徵根 $5$ 不同，無須額外乘上 $n$。

⑵ $b(n+2)-5b(n+1)+6b(n)=n+6$

解題方法

先令右側為 $0$，得到齊次式

$$b(n+2)-5b(n+1)+6b(n)=0.$$

設 $b(n)=r^n$，特徵方程為

$$r^2-5r+6=0=(r-2)(r-3).$$

特徵根為 $2,3$，所以

$$b_h(n)=C2^n+D3^n.$$

核心觀念

將每位成員視為圖論中的一個頂點，每場對戰視為兩位不同成員之間的一條邊。題目沒有說同一對成員不能重複對戰，因此可視為無向多重圖；也沒有自我對戰，因此不計自迴圈。

共有 $36$ 場對戰，故所有成員參加的對戰次數總和為

$$2 \times 36=72,$$

因為每場比賽恰有兩位參賽者。若共有 $n$ 位成員，且每位成員參加次數相同，則每人參賽次數（即圖中的度數）為

$$d=\frac{72}{n}.$$

因此 $d$ 必須是正整數，$n$ 必須是 $72$ 的正因數。此外，每位成員最多能與其餘 $n-1$ 位成員各對戰一次；若有重複對戰，每人參賽次數則可超過 $n-1$。

解題方法

⑴ 若每對成員最多對戰一次，這是簡單圖。每個頂點的度數須滿足 $d\le n-1$，所以

$$\frac{72}{n}\le n-1 \quad\Longleftrightarrow\quad n(n-1)\ge72.$$

滿足條件的 $72$ 的正因數為

$$n\in\{9,12,18,24,36,72\}.$$

逐一檢查度數 $d=72/n$：

成員人數 $n$	每人對戰次數 $d$	是否可行
9	8	可行
12	6	可行
18	4	可行
24	3	可行
36	2	可行
72	1	可行

核心觀念

Moore 型有限狀態機的輸出只取決於目前狀態，與當下輸入無直接關係。形式上可寫為

$$M=(Q,\Sigma,\Gamma,\delta,\lambda,q_0)$$

其中 $\delta:Q\times\Sigma\to Q$ 是狀態轉移函數，$\lambda:Q\to\Gamma$ 是輸出函數。每讀入一個符號，機器先轉移到下一狀態，並輸出該狀態所標示的值。

題目給的是有限長度的輸入、輸出對應序列，因此只需構造一台能依序產生指定輸出的機器；不必假設它能對其他序列做特定輸出。

解題方法

令 $q_i$ 表示讀入第 $i$ 個輸入符號後所在的狀態，並令該狀態的輸出等於題目給的第 $i$ 個輸出。為了直接保證序列吻合，先依序建立八個狀態：

步驟 $i$	輸入 $x_i$	狀態 $q_i$ 的輸出 $y_i$
1	0	1
2	1	0
3	1	1
4	0	1
5	1	0
6	0	1
7	0	0
8	1	0

令 $q_0$ 為初始狀態，並依輸入序列指定轉移：

$$q_0\xrightarrow{0}q_1,\quad q_1\xrightarrow{1}q_2,\quad q_2\xrightarrow{1}q_3,\quad q_3\xrightarrow{0}q_4,$$ $$q_4\xrightarrow{1}q_5,\quad q_5\xrightarrow{0}q_6,\quad q_6\xrightarrow{0}q_7,\quad q_7\xrightarrow{1}q_8.$$

核心觀念

每位預訂車位的駕駛是否按時到達，可視為一次成功機率為 $p=0.8$ 的伯努利試驗；各駕駛的到達情形彼此獨立。令 $X$ 為按時到達的駕駛人數，則

$$X\sim\operatorname{Binomial}(n,0.8).$$

停車場有 $150$ 個原有車位，另額外預訂 $10$ 個，因此共能容納 $160$ 輛車。發生車位不足的條件是按時到達的駕駛人數超過 $160$ 人。

解題方法

題目中的「額外預訂了 10 個車位」表示總容量為 $150+10=160$。若每個車位對應一位預訂者，則預訂人數為 $n=160$。因此，若以時到達人數表示，車位不足事件為 $X>160$。

但 $X$ 的最大值就是 $160$，所以在題目所述的預訂人數下，車位不足事件不會發生，機率為 $0$。這也表示題目若要考查標準常態近似，還需要提供「總預訂人數」且該人數須大於 $160$；僅有車位數與到達機率，無法得到非零的超額到達機率。

若依常見題意，將「額外預訂 10 個車位」理解為「在 150 個車位之外，另多接受 10 位預約」，則總預約人數為 $n=160$，仍然最多只有 $160$ 位駕駛到達，故仍不會超過容量。若題意原本是「在 150 個車位之外，超額接受 10 位預約」，則總預約人數應為 $160$，而可停車容量仍為 $150$；此時令 $X\sim\operatorname{Binomial}(160,0.8)$，車位不足事件為 $X>150$。

核心觀念

本題檢定兩個獨立母體的比例是否相同，使用「兩母體比例差的 $Z$ 檢定」。虛無假設為 $H_0:P_A=P_B$，因此計算檢定統計量時，須在 $H_0$ 成立的前提下，將兩組樣本比例合併估計共同母體比例。

由於對立假設為 $H_1:P_A\neq P_B$，屬於雙尾檢定。在顯著水準 $\alpha$ 下，若 $|z|$ 大於雙尾臨界值，即拒絕 $H_0$。

解題方法

⑴ $\alpha=0.05$ 的關鍵區間

由題目提供的雙尾臨界值，$\alpha=0.05$ 時為 $1.96$，故拒絕域為

$$z<-1.96 \quad\text{或}\quad z>1.96,$$

亦即 $|z|>1.96$。

⑵ 以樣本資料進行檢定

先計算兩地區的樣本比例：

$$\hat p_A=\frac{S_A}{N_A}=\frac{320}{800}=0.40, \qquad \hat p_B=\frac{S_B}{N_B}=\frac{250}{700}\approx0.3571.$$

在 $H_0:P_A=P_B$ 下，合併估計共同比例：

$$\hat p=\frac{S_A+S_B}{N_A+N_B} =\frac{320+250}{800+700} =\frac{570}{1500}=0.38, \qquad 1-\hat p=0.62.$$

比例差的標準誤為

$$SE= \sqrt{\hat p(1-\hat p) \left(\frac{1}{N_A}+\frac{1}{N_B}\right)} = \sqrt{0.38(0.62) \left(\frac{1}{800}+\frac{1}{700}\right)} \approx 0.0250.$$

因此檢定統計量為

核心觀念

本題考查簡單線性迴歸與相關分析。已知中心化平方和與乘積和：

$$S_{xx}=\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar X)^2,\quad S_{yy}=\sum_{i=1}^{n}(Y_i-\bar Y)^2,\quad S_{xy}=\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar X)(Y_i-\bar Y).$$

相關係數與迴歸直線斜率、截距分別為：

$$r=\frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx}S_{yy}}},\qquad b=\frac{S_{xy}}{S_{xx}},\qquad a=\bar Y-b\bar X.$$

迴歸 ANOVA 檢定的虛無假設為 $H_0:\beta_1=0$，對立假設為 $H_1:\beta_1\ne 0$。檢定統計量為 $F=MSR/MSE$；若 $F$ 大於臨界值，則拒絕 $H_0$，認為線性模型具有統計上的說明能力。

解題方法

⑴ 計算相關係數

代入題目給定的 $S_{xx}=485$、$S_{yy}=540$、$S_{xy}=505$：

$$r=\frac{505}{\sqrt{485\times540}} =\frac{505}{\sqrt{261900}} \approx 0.9866.$$

因此，$X$ 與 $Y$ 呈高度正相關。

⑵ 求線性迴歸方程式

先計算兩組資料的平均數：

$$\bar X=\frac{368}{10}=36.8,\qquad \bar Y=\frac{408}{10}=40.8.$$

斜率為：

$$b=\frac{S_{xy}}{S_{xx}}=\frac{505}{485} \approx 1.0412.$$

截距為：

$$a=\bar Y-b\bar X =40.8-\frac{505}{485}(36.8) \approx 2.5196.$$

故迴歸方程式為：

$$\boxed{\hat Y=2.5196+1.0412X}.$$

⑶ 以 ANOVA 表檢定模型說明能力

迴歸平方和、誤差平方和與總平方和分別為：