114 專技高考高等考試 資訊技師 計算機數學 考古題詳解

核心觀念

本題考「正整數解的個數」，可用隔板法（Stars and Bars）計算。正整數解是每個變數都至少為 $1$；隔板法的基本公式則適用於非負整數解，因此先將每個變數各扣除 $1$。

解題方法

令

因為 $x,y,z,w$ 都是正整數，所以 $a,b,c,d$ 都是非負整數。原方程式因此化為

核心觀念

本題考乘法原理與古典機率。組成二位數時，十位數與個位數的位置不同，因此視為有順序的選取。古典機率為：

解題方法

十位數與個位數各可從 $1,2,3,4,5$ 中選取，共有 $5\times 5=25$ 種二位數。

核心觀念

本題考「抽屜原理」與整除關係。若把每個正整數寫成「奇數 × 2 的非負整數次方」，就能依奇數部分將集合分組；同組的兩個數必互為整數倍。

對任一正整數 $m$，可唯一表示為

其中 $r\ge 0$，且 $q$ 為奇數。此處的 $q$ 稱為 $m$ 的奇數部分。

解題方法

將 $\{1,2,\ldots,2n\}$ 依奇數部分分組。每組以一個不超過 $2n$ 的奇數 $q$ 為標記，內容為

中不超過 $2n$ 的各數。

區間 $\{1,2,\ldots,2n\}$ 中的奇數共有 $n$ 個，因此這樣的組別恰有 $n$ 組。每個正整數都恰好落在其中一組，故這些組別將整個集合分割完畢。

核心觀念

本題考「只知道期望值與標準差時，如何對機率作界限估計」。題目未提供 $Y$ 的機率分布，因此不能直接套用常態分布的機率計算；應使用對任意分布都成立的切比雪夫不等式：

其中 $\mu=E(Y)$，$\sigma=\mathrm{Std}(Y)$。

解題方法

要求的是 $16<Y<24$。由 $E(Y)=20$ 可將區間改寫為：

標準差為 $2$，所以變異數為 $\sigma^2=2^2=4$。以切比雪夫不等式估計區間外的機率：

核心觀念

本題考有限和的望遠鏡級數（telescoping series）。關鍵是將一般項拆成部分分式，使相鄰項相消：

解題方法

將上式代入 $S_n$：

中間各項互相抵消，只留下首項與末項：

核心觀念

細菌每小時增為原來的 $5$ 倍，屬於等比成長。若最初有 $N$ 隻，經過 $t$ 小時後的數量為

其中 $5$ 是每小時的成長倍數，$t$ 是經過的小時數。

解題方法

已知 $6$ 小時後有 $900000$ 隻，代入公式：

計算 $5^6=15625$，因此最初數量為

核心觀念

這題考的是「相異箱子中的相同物品」分配計數，並且每箱的球數有上下限。因箱子相異，只要任一箱球數不同，分配方式就不同；球相同，因此不區分球的個別身分。

設第 $i$ 箱有 $x_i$ 顆球，則條件為

解題方法

先將每箱的最低數量 $2$ 顆分配出去。令 $y_i=x_i-2$，則

因此問題轉為：將 $10$ 顆相同球分配到 $5$ 個相異箱子，每箱至多 $5$ 顆。

若暫不考慮上限，非負整數解的數量由隔板法得

核心觀念

本題考集合的補集與笛摩根定律。全集為實數集合 $\mathbb{R}$，因此 $X'$ 表示 $\mathbb{R}\setminus X$。笛摩根定律為：

解題方法

先求 $A$、$B$ 各自的補集，再依笛摩根定律取交集或聯集。

已知 $A=(-3,1)$、$B=[0,\infty)$，所以：

（一）求 $(A\cup B)'$

依笛摩根定律：

兩個補集的共同部分是所有小於或等於 $-3$ 的實數，因此：

核心觀念

$Z$-score（標準分數）表示某筆資料與平均數相差幾個標準差，計算公式為：

其中，$x$ 是觀察值，$\mu$ 是平均數，$\sigma$ 是標準差。$Z<0$ 表示觀察值低於平均數；$Z>0$ 則表示高於平均數。

解題方法

核心觀念

Floyd–Warshall 演算法逐一允許頂點作為中繼點，更新所有頂點對之間的最短距離。令 $D^{(k)}[i,j]$ 表示只允許頂點 $1,\ldots,k$ 作為中繼點時，從 $i$ 到 $j$ 的最短距離，更新公式為

若兩點間沒有直接邊，初始距離設為 $\infty$；每個頂點到自己的距離設為 $0$。

解題方法

依題目給定的有向邊，列出初始距離矩陣 $D^{(0)}$。矩陣的列代表起點，欄代表終點：

依序將頂點 $1$ 至 $4$ 作為中繼點，計算各階段矩陣：

例如，$3\to2$ 可經過頂點 $1$，距離為 $7+2=9$；$4\to3$ 可經過頂點 $1$，距離為 $5+6=11$。

經過頂點 $2$，$1\to3$ 的距離由 $6$ 改為 $2+3=5$；$4\to3$ 的距離由 $11$ 改為 $7+3=10$。