114 專技高考高等考試 資訊技師 程式設計 考古題詳解

核心觀念

本題考查三個整數的大小比較，以及程式迴圈與計數器的運用。紅色分量嚴格大於綠色、藍色兩分量時，該色彩才偏向紅色：

$R>G \quad\text{且}\quad R>B$

題目沒有提供特定像素清單，因此須逐一枚舉紅、綠、藍分量的所有可能組合。每個分量有 $256$ 種取值，總色彩數為 $256^3$。

解題方法

使用三層迴圈枚舉 $R,G,B$，每次檢查 $R>G$ 且 $R>B$。符合條件時將計數器加一。

完整程式（C++17）：

核心觀念

本題考查字元的週期性排列與二維巢狀迴圈。矩形每一列有 $w$ 個字元，共輸出 $h$ 列；每列的排列由列數決定，每三列為一個循環：

• 第 $1、4、7,\ldots$ 列：114 重複填入。
• 第 $2、5、8,\ldots$ 列：向左移一格，變成 141 重複填入。
• 第 $3、6、9,\ldots$ 列：再向左移一格，變成 411 重複填入。

因此列的週期為 $3$，可用列數對 $3$ 取餘數判斷字元排列。

解題方法

使用兩層迴圈：外層逐列處理 $h$ 列，內層逐一輸出該列的 $w$ 個字元。令列索引 $i$ 從 $0$ 開始、欄索引 $j$ 從 $0$ 開始，則目前位置的字元為：

其中 pattern 為字元陣列 114。

此公式可直接描述每一列的左移效果：

• $i=0$ 時，依序取索引 $0,1,2$，得到 114。
• $i=1$ 時，依序取索引 $1,2,0$，得到 141。
• $i=2$ 時，依序取索引 $2,0,1$，得到 411。

每列輸出完成後換行，總時間複雜度為 $O(hw)$，額外空間複雜度為 $O(1)$。

解題技巧

核心觀念

本題考查等差級數求和、單調函數與二元搜尋。關鍵整數 $x$ 必須符合：

利用等差級數公式，左側為 $\frac{x(x+1)}{2}$，右側為 $\frac{n(n+1)}{2}-\frac{(x-1)x}{2}$。注意兩側都包含 $x$，整理後可得：

因此，只有當 $\frac{n(n+1)}{2}$ 是完全平方數時，才存在關鍵整數；此時 $x$ 是該平方數的正平方根。

解題方法

令 $T=\frac{n(n+1)}{2}$。因為 $x$ 位於 $[1,n]$，可以在此範圍以二元搜尋法尋找滿足 $x^2=T$ 的整數。

搜尋區間為 $[1,n]$，每次取中點 $m$：

• 若 $m^2=T$，找到關鍵整數，回傳 $m$。
• 若 $m^2<T$，表示 $m$ 太小，將搜尋範圍改為 $[m+1,n]$。
• 若 $m^2>T$，表示 $m$ 太大，將搜尋範圍改為 $[1,m-1]$。
• 若搜尋區間變空，代表不存在符合條件的整數，回傳 $-1$。

比較方向正確的原因是 $m^2$ 在正整數範圍內隨 $m$ 遞增，故可用二元搜尋排除一半候選值。

例如 $n=8$ 時，$T=\frac{8\cdot9}{2}=36$，搜尋到 $x=6$，且 $6^2=36$，所以回傳 $6$。$n=4$ 時，$T=10$，不是完全平方數，搜尋後回傳 $-1$。$n=1$ 時，$T=1$，回傳 $1$。

Java 程式

核心觀念

每次抓取 1 顆或 2 顆糖果，抓取順序不同就算不同方法。例如抓取 3 顆糖果時，先抓 1 顆再抓 2 顆，與先抓 2 顆再抓 1 顆，是兩種不同方法。

令 $f(n)$ 表示抓光 $n$ 顆糖果的方法數。若第一次抓 1 顆，剩下 $n-1$ 顆；若第一次抓 2 顆，剩下 $n-2$ 顆。因此：

當罐中沒有糖果時，代表已完成一種抓取方式，所以 $f(0)=1$；抓 1 顆糖果只有一種方式，所以 $f(1)=1$。

解題方法

直接用遞迴套用上述遞迴式，但對每個 $n$ 重複計算會耗費大量時間，因此使用「記憶化遞迴」：計算過的 $f(n)$ 儲存在陣列中，之後直接取用。

例如：

$n\le 1000$ 時，結果會超過一般整數型別的範圍，因此 Java 程式使用 BigInteger 儲存與運算。記憶化遞迴只需計算各子問題一次，共進行 $O(n)$ 次遞迴狀態計算。

Java 完整程式

核心觀念

阿姆斯壯數是指一個正整數的各位數字，分別取「位數次方」後加總，結果等於原數。若整數有 $n$ 位，數字為 $d_1,d_2,\ldots,d_n$，判定條件為：

例如 $153$ 有三位數：

解題方法

依序檢查 $2$ 到 $999$ 的每個整數。對每個整數：

1. 先計算位數 $n$。
2. 將原數複製到暫存變數，反覆取個位數，並累加該數字的 $n$ 次方。
3. 比較累加總和與原數；相等時列印該數。

取出個位數使用 temp % 10，移除個位數使用 temp /= 10。計算次方時以迴圈連乘，避免使用浮點數函式造成整數判定誤差。

C++ 完整程式