110 年關務升官等考試薦任技術類（選試機械設計）考古題與詳解

Question 1

某中空、圓形，長度為 $50\ \mathrm{mm}$ 的軸，其最大剪應力為 $70\ \mathrm{MPa}$，扭矩為 $5000\ \mathrm{N\cdot m}$，內徑為外徑的 $0.5$ 倍，鋼材之剪彈性模數為 $80\ \mathrm{GPa}$，試求出外徑、扭轉角度及角彈性率。

Accepted Answer

核心觀念 本題考查中空圓軸受扭時的最大剪應力、扭轉角，以及角彈性率（扭轉剛性）。 中空圓軸的極慣性矩為 $$ J=\frac{\pi}{32}\left(Do^4-Di^4ight) $$ 其中 $Do$ 為外徑、$Di$ 為內徑。圓軸外表面的最大剪應力與扭轉角分別為 $$ 	au{\max}=\frac{T(Do/2)}{J} $$ $$ 	heta=\frac{TL}{GJ} $$ 角彈性率定義為單位扭轉角所需的扭矩： $$ k	heta=\frac{T}{	heta}=\frac{GJ}{L} $$ 解題方法 已知內徑為外徑的 $0.5$ 倍，因此令 $Di=0.5Do$。先由剪應力公式求外徑，再以扭轉公式求角度，最後計算角彈性率。 為使單位一致，取 $T=5000\ \mathrm{N\cdot m}=5.0	imes10^6\ \mathrm{N\cdot mm}$，$G=80\ \mathrm{GPa}=80\,000\ \mathrm{N/mm^2}$。 將 $Di=0.5Do$ 代入極慣性矩： $$ J=\frac{\pi}{32}Do^4\left[1-(0.5)^4ight] =\frac{\pi}{32}Do^4(0.9375) $$ 由最大剪應力公式，令 $	au{\max}=70\ \mathrm{MPa}=70\ \mathrm{N/mm^2}$： $$ 70=\frac{(5.0	imes10^6)(Do/2)} {\frac{\pi}{32}Do^4(0.9375)} $$ 整理得 $$ Do^3=\frac{16T}{\pi	au{\max}(1-0.5^4)} =\frac{16(5.0	imes10^6)} {\pi(70)(0.9375)} $$ $$ \boxed{Do\approx72.9\ \mathrm{mm}} $$

Question 2

人行走道鉚接在鋼橋上，如下圖所示，人行道最大負荷為每一對鉚釘可在距橋端 $2\ \mathrm{m}$ 的位置承受 $3000\ \mathrm{N}$ 的負荷。假設安全係數為 $5$ ，若鉚釘的降伏強度為 $350\ \mathrm{MPa}$ ，試求鉚釘 A 的直徑。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

Accepted Answer

核心觀念 這題考懸臂支架鉚接處的偏心載重。載重對橋面產生彎矩，由 A、B 兩處鉚釘的拉壓力偶抵抗；同時，載重也使鉚釘承受直接剪力。鉚釘 A 因而同時承受拉應力與剪應力，依降伏強度及安全係數以 von Mises 準則設計。 解題方法 圖示 A、B 鉚釘的中心距為 $0.5\ \mathrm{m}$，載重 $3000\ \mathrm{N}$ 的作用線距橋端 $2\ \mathrm{m}$。 先計算載重對橋端的彎矩： $$ M=3000(2)=6000\ \mathrm{N\cdot m} $$ 由 A、B 鉚釘形成的力偶抵抗此彎矩，因此 A 處的拉力為 $$ FA=\frac{M}{0.5} =\frac{6000}{0.5} =12000\ \mathrm{N} $$ 兩處鉚釘平均分擔直接剪力，每支鉚釘的直接剪力為 $$ V=\frac{3000}{2}=1500\ \mathrm{N} $$ 鉚釘材料的容許降伏應力為 $$ \sigma{\mathrm{allow}}=\frac{Sy}{n} =\frac{350}{5} =70\ \mathrm{MPa} $$ 令鉚釘截面積為 $A=\pi d^2/4$。A 鉚釘的拉應力與剪應力分別為

Question 3

某對齒輪，大齒輪有 $40$ 齒，小齒輪有 $16$ 齒，徑節為 $2$，壓力角 $20^\circ$。若其中心距增加 $0.25\ \mathrm{in}$，試求出大齒輪及小齒輪的節圓半徑和壓力角。

Accepted Answer

核心觀念 本題考查漸開線直齒輪中心距改變時的工作節圓與工作壓力角。徑節 $Pd$ 定義為齒數除以節圓直徑，因此標準節圓半徑為 $$ r=\frac{N}{2Pd} $$ 中心距增加後，齒輪的基圓半徑不變；工作節圓半徑則依齒數比例分配新的中心距。工作壓力角 $\phiw$ 可由基圓半徑總和與工作中心距的關係求得： $$ \cos\phiw=\frac{r{b1}+r{b2}}{Cw} $$ 其中 $rb=r\cos\phi$，$\phi$ 為標準壓力角，$Cw$ 為工作中心距。 解題方法 已知大齒輪齒數 $N1=40$、小齒輪齒數 $N2=16$、徑節 $Pd=2$，標準壓力角 $\phi=20^\circ$。 先求標準節圓半徑： $$ r1=\frac{40}{2(2)}=10\ \mathrm{in} $$ $$ r2=\frac{16}{2(2)}=4\ \mathrm{in} $$ 所以標準中心距為 $$ C=r1+r2=14\ \mathrm{in} $$ 中心距增加 $0.25\ \mathrm{in}$ 後，工作中心距為 $$ Cw=14+0.25=14.25\ \mathrm{in} $$ 工作節圓半徑依齒數比例分配。總齒數為 $40+16=56$，因此：

Question 4

某部汽車以前輪傳動，其馬達透過鏈條裝置傳送功到齒輪箱，如下圖所示。兩鏈條輪尺寸相同，鏈條原不受力，安全係數為 $4$ ，降伏強度為 $380\ \mathrm{MPa}$ 。若鏈條以 $50\ \mathrm{m/s}$ 的速度傳送 $100\ \mathrm{kW}$ 的功率，馬達的速度為 $6000\ \mathrm{rpm}$ ，試用畸變能量理論求出適當的軸徑。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

Accepted Answer

核心觀念 本題考查軸受懸臂鏈輪的彎曲與扭轉組合負載時，以畸變能量理論（von Mises 準則）決定軸徑。圖示鏈輪中心位於右側軸承外 $40\ \mathrm{mm}$；兩軸承間距為 $160\ \mathrm{mm}$。 鏈條傳遞的有效拉力由功率與鏈速求得；軸扭矩則由功率與馬達轉速求得。軸的容許等效應力為降伏強度除以安全係數。 解題方法 依題意採無預張力的理想化，將鏈條傳遞功率所需的有效拉力視為作用於鏈輪的鏈條力，並忽略鏈輪自重及其他負載。 鏈條的有效拉力為 $$ F=\frac{P}{v} =\frac{100\,000}{50} =2\,000\ \mathrm{N} $$ 鏈輪相對軸承外伸 $40\ \mathrm{mm}$，因此軸承處的最大彎矩為 $$ M=F(40) =80\,000\ \mathrm{N\,mm} $$ 馬達角速度及軸扭矩為 $$ \omega=2\pi\frac{6000}{60} =200\pi\ \mathrm{rad/s} $$ $$ T=\frac{P}{\omega} =\frac{100\,000}{200\pi} =159.15\ \mathrm{N\,m} =159\,155\ \mathrm{N\,mm} $$

110 關務升官等考試薦任技術類（選試機械設計）機械設計考古題詳解

第一題25 分

第二題25 分

第三題25 分

第四題25 分

核心觀念

解題方法

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第 三 題25 分

第 四 題25 分