114 關務升官等考試薦任 技術類（選試機械設計） 機械設計 考古題詳解

核心觀念

本題考平面應力下的主應力、最大剪應力，以及延性材料的兩種降伏準則：

• 最大畸變能準則（MDE，也稱 von Mises 準則）：以 von Mises 等效應力和降伏強度比較。
• 最大剪應力準則（MSS，也稱 Tresca 準則）：以最大剪應力和單軸降伏時的剪應力比較。

由圖判讀，取拉應力為正、壓應力為負：

圖中剪應力方向為右側面向下、底面向右；依平面應力公式，剪應力正負不影響主應力大小及等效應力，計算時使用 $\tau_{xy}^2$ 即可。

解題方法與計算

（一）第一主應力

平面應力的主應力為：

代入：

因此：

（二）第二主應力

負號表示第二主應力為壓應力。

（三）最大剪力

平面內最大剪應力為主應力圓半徑：

若將平面應力視為三維應力狀態，第三主應力為 $\sigma_3=0$。三個主應力排序為 $113.46,\ 0,\ -63.46\ \mathrm{MPa}$，故三維最大剪應力為：

本題平面內與三維最大剪應力數值相同。

（四）依最大畸變能準則計算安全係數

平面應力的 von Mises 等效應力：

核心觀念

本題考查滾珠軸承的基本額定壽命與負載額定。題目給定負載 $F$ 與壽命 $L$ 的關係：

在相同可靠度下，軸承負載與壽命符合此關係。$C_{10}$ 是軸承在 $10^6$ cycles 壽命、可靠度 $90\%$ 下的負載額定，因此可用題目給定的運轉條件與 $C_{10}$ 定義建立比例式。

解題方法

先將運轉時間與轉速換算成總循環數。每分鐘轉數為 $2000$ RPM，運轉 $3000$ 小時，故：

題目條件下，負載 $F=1000\ \mathrm{N}$ 時的壽命為 $3.6\times10^8$ cycles，可靠度為 $90\%$。而 $C_{10}$ 對應 $10^6$ cycles、可靠度同為 $90\%$。因此：

核心觀念

本題考查正齒輪的節圓尺寸、圓周速度、齒面力分解，以及以 Lewis 公式估算齒根彎曲應力。

正齒輪的節圓直徑由模數與齒數決定：

節圓切線速度可由轉速換算：

其中 $d$ 以公尺表示、$n$ 的單位為 RPM，則 $V$ 的單位為 $\mathrm{m/s}$。傳遞功率與切線力的關係為 $P_{\text{功率}}=W_tV$；壓力角 $\phi$ 下，沿作用線的齒間力為 $W=W_t/\cos\phi$。

第五小題依題目指定公式計算：

其中 $P$ 為圓周節距，$F$ 為齒寬，$Y$ 為題目給定的 Lewis 因子。

解題方法

小齒輪有 $z=18$ 齒，模數 $m=3\ \mathrm{mm}$。

（一）小齒輪節圓直徑 $d$

（二）小齒輪節圓切線速度 $V$

將直徑換算為公尺：$d=0.054\ \mathrm{m}$。代入轉速 $n=200\ \mathrm{RPM}$：

（三）節圓切線方向受力 $W_t$

由功率關係 $P_{\text{功率}}=W_tV$，得：

（四）沿壓力角方向的受力 $W$

核心觀念

本題考查圓線製成的密圈螺旋彈簧，在軸向外力作用下的伸長量。彈簧線材主要承受扭轉，依密圈螺旋彈簧的變形公式：

其中，$\delta$ 為伸長量、$P$ 為軸向外力、$D$ 為彈簧平均直徑、$n$ 為有效圈數、$G$ 為剪力模數、$d$ 為線材直徑。

解題方法

彈簧的最外徑 $D_o$ 與平均直徑 $D$ 的關係為：

以下以題目所述的 5 圈均為有效圈數計算，並將力、長度及剪力模數統一採用 $\mathrm{N}$、$\mathrm{mm}$ 與 $\mathrm{N/mm^2}$。

(一) 求所需剪力模數

已知 $P=0.1\ \mathrm{N}$、$\delta=10\ \mathrm{mm}$、$n=5$、$D=45\ \mathrm{mm}$、$d=5\ \mathrm{mm}$。由變形公式解出 $G$：