108 公務人員升官等薦任 農業技術 試驗設計 考古題詳解

核心觀念

本題評量兩因子無重複數之變異數分析（Two-way ANOVA without replication），此模式在試驗設計中亦等同於**隨機完全區集設計（Randomized Complete Block Design, RCBD）**之數學結構。

1. 基本設定與自由度（Degrees of Freedom, $df$）關係：

• 因子 $A$ 之類別數（水準數）$a = 5$；因子 $B$ 之類別數 $b = 4$。
• 每處理無重複（每格觀測值數 $n = 1$），總觀測值數 $N = a \times b = 5 \times 4 = 20$。
• 因無重複數，無法獨立估計交互作用（交感）平方和，故將交互作用項併入誤差項（Error）：
• 因子 $A$ 自由度：$df_A = a - 1$
• 因子 $B$ 自由度：$df_B = b - 1$
• 誤差自由度：$df_E = (a - 1)(b - 1)$
• 總自由度：$df_T = N - 1 = ab - 1$

2. 平方和（Sum of Squares, $SS$）之可加性： $SST = SSA + SSB + SSE \implies SSE = SST - SSA - SSB$

3. 均方（Mean Square, $MS$）與 $F$ 檢定統計量： $MSA = \frac{SSA}{df_A}, \quad MSB = \frac{SSB}{df_B}, \quad MSE = \frac{SSE}{df_E}$ $F_A = \frac{MSA}{MSE}, \quad F_B = \frac{MSB}{MSE}$

4. 假設檢定決策法則： 在顯著水準 $\alpha$ 下，當計算之檢定統計量 $F \ge F_{df_{\text{分子}}, df_{\text{分母}}, \alpha}$ 時，落在拒絕域，拒絕虛無假說（$H_0$）；反之若 $F < F_{df_{\text{分子}}, df_{\text{分母}}, \alpha}$，則不拒絕虛無假說。

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解題方法

步驟一：設定檢定假說

1. 檢定假說一（因子 $A$ 主效應檢定）：

• 虛無假說 $H_{0A}$：因子 $A$ 各水準間之平均值無顯著差異（$\alpha_1 = \alpha_2 = \cdots = \alpha_5 = 0$）。
• 對立假說 $H_{1A}$：因子 $A$ 各水準間之平均值不全相等（至少有兩個水準之平均值存在顯著差異）。

2. 檢定假說二（因子 $B$ 主效應檢定）：

• 虛無假說 $H_{0B}$：因子 $B$ 各水準間之平均值無顯著差異（$\beta_1 = \beta_2 = \cdots = \beta_4 = 0$）。
• 對立假說 $H_{1B}$：因子 $B$ 各水準間之平均值不全相等（至少有兩個水準之平均值存在顯著差異）。

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步驟二：計算各項自由度與平方和

1. 自由度計算：

• $df_A = a - 1 = 5 - 1 = 4$
• $df_B = b - 1 = 4 - 1 = 3$
• $df_E = (a - 1)(b - 1) = 4 \times 3 = 12$
• $df_T = ab - 1 = 20 - 1 = 19$
• 檢驗：$df_A + df_B + df_E = 4 + 3 + 12 = 19 = df_T$，符合可加性。

2. 平方和計算：

• 題目已知：$SSA = 60$、$SSB = 24$、$SST = 124$。
• 誤差平方和： $SSE = SST - SSA - SSB = 124 - 60 - 24 = 40$

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步驟三：計算均方與 $F$ 統計量

1. 均方計算：

• $MSA = \frac{SSA}{df_A} = \frac{60}{4} = 15$
• $MSB = \frac{SSB}{df_B} = \frac{24}{3} = 8$
• $MSE = \frac{SSE}{df_E} = \frac{40}{12} = \frac{10}{3} \approx 3.333$

2. $F$ 檢定值計算：

• 因子 $A$： $F_A = \frac{MSA}{MSE} = \frac{15}{\frac{10}{3}} = \frac{45}{10} = 4.5$
• 因子 $B$：

核心觀念

本題評量農藝與園藝田間試驗中最基礎且核心的兩種試驗設計法：完全隨機設計（Completely Randomized Design, CRD） 與 隨機完全區集設計（Randomized Complete Block Design, RCBD）。

考點涵蓋：

1. 試驗設計三大基本原則之落實：重複（Replication）、隨機／逢機（Randomization）、局部控制（Local Control）。
2. 統計線性模型（Linear Model）：因子效應之設定與假定。
3. 變異數分析（ANOVA）自由度（df）與變異來源之分割。
4. 設計特性評估：環境同質性要求、精密度（Precision）、試驗誤差自由度（Degrees of Freedom for Error）、彈性（重複數不均等處理）與缺株（Missing Data）處理。

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解題方法

本題為國家考試農業技術類科之經典比較型申論題，答題架構應先明確界定 CRD 的嚴格定義，再建立多維度的系統化比較表，最後就關鍵差異深入論述。

答題切入步驟：

1. 定義 CRD：說明適用條件（材料與環境高度均質）、隨機化方式（無限制隨機指派）及統計模型。
2. 定義 RCBD 並對比：說明其如何運用「局部控制」原則將單一方向的環境變異（如坡度、肥力、光照梯度）分群剔除。
3. 數學模型與變異來源分割：並列兩者之線性模型與 ANOVA 自由度分割表，展現數理推導素養。
4. 六大維度系統化比較：

• 環境同質性與試驗單位的配置。
• 隨機化限制（無限制隨機 vs. 區集內限制性隨機）。
• 誤差自由度（df）與估計精密度之權衡（Trade-off）。
• 處理重複數之彈性。
• 缺株（遺失值）之計算處理難易度。
• 實務應用情境（實驗室／生長箱 vs. 田間試驗）。

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選項分析

本題為申論問答題，無選擇題選項。依公職閱卷標準，題旨兩大子問之評分要素與論述要點如下：

1. 子問一：何謂完全隨機設計（CRD）？

• 必須答出：試驗單位具有高度均一性、各處理完全以無限制之機率指派至任一試驗單位、單一變異來源分割（處理與試驗誤差）。若漏提「環境均一」或「無限制隨機」，將嚴重失分。

2. 子問二：與隨機完全區集設計（RCBD）有何區別？

• 必須答出：RCBD 增加了「局部控制」原則，將異質環境劃分為均質區集（Block），使區集間變異能自試驗誤差中獨立分離。
• 必須對比兩者之優劣權衡：包含「均方誤差（$MSE$）降低」與「誤差自由度損失」的消長關係、缺株處理時 RCBD 需代入 Yates 公式補值而 CRD 僅需降低重複數等實質技術差異。

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解題技巧

1. 比較題必畫「綜合比較表格」：評閱委員閱卷時間有限，條列精準的對照表能立即呈現專業架構，再輔以文字說明得分最高。
2. 務必列出 ANOVA 自由度分割：

• CRD 誤差自由度：$df_E = t(r - 1) = N - t$
• RCBD 誤差自由度：$df_E = (t - 1)(r - 1) = N - t - r + 1$
• 藉此直指關鍵：RCBD 犧牲了 $r - 1$ 個自由度以換取排除區集變異 $SSB$；若區集劃分失敗（區集無顯著差異），RCBD 之檢定力反而劣於 CRD。

3. 專有名詞規範：使用農試所與台灣學界標準譯名，如「試驗單位（Experimental Unit）」、「處理（Treatment）」、「區集（Block）」、「局部控制（Local Control）」、「均方誤差（Mean Square Error, $MSE$）」。

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【答案】

一、完全隨機設計（Completely Randomized Design, CRD）之定義

1. 基本定義： 完全隨機設計是結構最單純的試驗設計法。在試驗環境條件與試驗材料均高度同質（Homogeneous）的前提下，將 $t$ 個處理完全以**無限制的隨機化方式（Unrestricted Randomization）**指派至全體 $N$ 個試驗單位上。每個試驗單位接受任何一種處理的機率均完全相等。

2. 統計線性模型： 設共有 $t$ 個處理，第 $i$ 個處理有 $r_i$ 次重複（若平衡設計則重複數皆為 $r$，總試驗單位數 $N = tr$）：

核心觀念

本題評量二因子試驗（Two-Factor Experiment）中「交感效應（Interaction Effect）」的統計意涵、變方分析（ANOVA）檢定步驟，以及與農業試驗實務之結合。涉及的核心觀念與統計模式如下：

1. 二因子完全隨機設計（CRD）或隨機完全區集設計（RCBD）之線性模式： 以固定效應模式（Fixed-effects Model）為例： $Y_{ijk} = \mu + \alpha_i + \beta_j + (\alpha\beta)_{ij} + \epsilon_{ijk}$ 其中：

• $Y_{ijk}$：因子 $A$ 在第 $i$ 水準、因子 $B$ 在第 $j$ 水準下，第 $k$ 個重複之觀測值。
• $\mu$：總平均。
• $\alpha_i$：因子 $A$ 之主效應（$i = 1, 2, \dots, a$）。
• $\beta_j$：因子 $B$ 之主效應（$j = 1, 2, \dots, b$）。
• $(\alpha\beta)_{ij}$：因子 $A$ 與因子 $B$ 之交感效應。
• $\epsilon_{ijk} \sim \text{NID}(0, \sigma^2)$：試驗機差。

2. 交感效應之統計本質： 交感效應代表處理效應的非可加性（Non-additivity）。若二因子效應具可加性，則 $(\alpha\beta)_{ij} = 0$，表示某因子的反應量不受另一因子水準高低的影響；反之，若 $(\alpha\beta)_{ij} \neq 0$，則表示因子間存在交感。

3. 檢定交感效應之必要條件： 每一處理組合必須有重複（$r \ge 2$），方能將交感均方（$MS_{AB}$）與機差均方（$MS_E$）分離並進行 $F$ 檢定。

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解題方法

本題為經典申論題，作答時切入點應分為三大部分，依序論述：

一、交感效應之意義說明

1. 定義：當兩個或兩個以上因子同時存在於一個試驗時，其中一個因子各水準間之反應差（主效應），會隨著另一個因子所處水準的不同而改變，此現象即稱為因子間具有「交感效應」。
2. 幾何與圖形意義：若以因子 $A$ 為橫軸、反應變數為縱軸，將因子 $B$ 各水準繪製成多條反應曲線：

• 無交感效應：各水準之曲線呈互相平行狀態。
• 有交感效應：曲線呈非平行狀態（包含發散、收斂甚至交叉）。

3. 推論意涵：若交感效應顯著，兩因子之「主效應」將失去獨立解釋的意義，研究者不能單獨結論「哪一個品系最佳」或「哪一種施肥量最佳」，而必須進一步分析「單純主效應（Simple Main Effect）」，探討在特定 $B$ 水準下 $A$ 的表現。

二、交感效應之檢定程序

在因子 $A$（$a$ 個水準）、因子 $B$（$b$ 個水準）、各處理組合重複 $r$ 次之平衡試驗下，檢定步驟如下：

1. 建立統計假說：

• 虛無假說 $H_0: (\alpha\beta)_{ij} = 0 \quad (\text{對所有 } i, j)$（無交感效應）
• 對立假說 $H_1: \text{至少有一組 } (\alpha\beta)_{ij} \neq 0$（存在交感效應）

2. 計算各項變異量與均方：

• 交感平方和： $SS(AB) = r \sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b} (\bar{Y}_{ij\cdot} - \bar{Y}_{i\cdot\cdot} - \bar{Y}_{\cdot j\cdot} + \bar{Y}_{\cdot\cdot\cdot})^2$ 其自由度為 $df_{AB} = (a - 1)(b - 1)$。
• 機差平方和： $SS_E = \sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{r} (Y_{ijk} - \bar{Y}_{ij\cdot})^2$ 其自由度為 $df_E = ab(r - 1)$。
• 計算交感均方與機差均方： $MS(AB) = \frac{SS(AB)}{(a - 1)(b - 1)}, \quad MS_E = \frac{SS_E}{ab(r - 1)}$

3. 計算檢定統計量（$F$ 值）： 在固定效應模式下，檢定統計量為： $F_{\text{calc}} = \frac{MS(AB)}{MS_E}$

4. 決策準則： 給定顯著水準 $\alpha$（通常為 $0.05$ 或 $0.01$），查 $F$ 分布臨界值 $F_{\alpha, (a-1)(b-1), ab(r-1)}$：

• 若 $F_{\text{calc}} > F_{\alpha, (a-1)(b-1), ab(r-1)}$，則拒絕 $H_0$，表示二因子間之交感效應顯著。
• 若 $F_{\text{calc}} \le F_{\alpha, (a-1)(b-1), ab(r-1)}$，則不拒絕 $H_0$，表示無充分證據顯示存在交感效應（兩因子具可加性）。

三、農業實例說明

提出一組具備農藝／園藝實務背景之二因子試驗：

• 試驗設計：水稻品系（因子 $A$：$A_1$ 耐肥半矮稈品種、$A_2$ 傳統高稈易倒伏品種）與施氮量（因子 $B$：$B_1$ 低氮、$B_2$ 高氮）。
• 現象描述：
• 在低氮（$B_1$）環境下，$A_1$ 與 $A_2$ 的產量皆適中且差異不大。

核心觀念

本題旨在測驗試驗設計與生物統計學中**迴歸分析（Regression Analysis）**之基本概念、數理統計假設前提，以及於農業試驗之實際應用能力。

1. 迴歸分析定義：探討一組或多組自變數（自變數／解釋變數，Independent/Explanatory variable, $X$）與一個應變數（反應變數，Dependent/Response variable, $Y$）之間定量統計關係的統計方法，目的在於建立數學模型，藉由已知的 $X$ 來估計、預測 $Y$ 的平均表現，或進行因果控制。
2. 簡單線性迴歸數學模型： $Y_i = \beta_0 + \beta_1 X_i + \varepsilon_i, \quad i = 1, 2, \dots, n$ 其中 $\beta_0$ 為截距，$\beta_1$ 為迴歸斜率，$\varepsilon_i$ 為隨機誤差項。
3. 誤差項假設前提（LINE 原則）：

• 線性性（Linearity）：$E(\varepsilon_i) = 0$，表示應變數與自變數呈線性關係。
• 獨立性（Independence）：誤差項彼此獨立，無自相關，即 $Cov(\varepsilon_i, \varepsilon_j) = 0 \quad (i \neq j)$。
• 常態性（Normality）：誤差項服從平均值為 0 的常態分配，即 $\varepsilon_i \sim N(0, \sigma^2)$。
• 等分散性／同質變異性（Equal Variance / Homoscedasticity）：對所有 $X_i$，誤差項變異數均相同且為定值，即 $Var(\varepsilon_i) = \sigma^2$。
• 額外條件：自變數 $X$ 假定為非隨機的確定值（Fixed variable），無測量誤差；且 $X$ 與 $\varepsilon$ 互為獨立。

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解題方法

本題為典型的「觀念定義－數理假設－實務應用」三段式申論題。作答時採「總分式結構」，邏輯架構如下：

1. 第一部分：說明迴歸分析之本質

• 明確定義迴歸分析，並點出其與「相關分析（Correlation）」的根本差異：相關分析僅探討兩變數共變趨勢與線性關聯強弱，不區分因果與自/應變數；迴歸分析則明確界定因果方向（或依存關係），具備利用已知量預測未知量的功能。
• 列出母體模型與樣本估計方程式（$\hat{Y} = b_0 + b_1 X$），採用最小平方法（Ordinary Least Squares, OLS）求解參數。

2. 第二部分：條列並闡述假設前提

• 以高斯－馬可夫定理（Gauss-Markov Theorem）為基礎，明確寫出隨機誤差項 $\varepsilon_i \overset{iid}{\sim} N(0, \sigma^2)$ 所涵蓋的「常態、獨立、同質變異、線性」四大假設。
• 補充說明自變數無測量誤差之先決條件，展現答題深度。

3. 第三部分：設計具體之農業試驗情境

• 設定具代表性的農業生物課題（例如：水稻施氮量與稻穀產量試驗）。
• 清楚定義自變數 $X$（施氮量）與應變數 $Y$（產量）之計量單位。
• 說明迴歸模式之評估流程（ANOVA 檢定迴歸顯著性、決定係數 $R^2$、斜率檢定）與實際應用決策（預測產量、計算邊際產量、尋找最適施肥策略）。

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選項分析

本題為申論題型，無選項。閱卷評分重點與考生易失分盲點逐項剖析如下：

• 第一小題（迴歸分析定義）評分關鍵： 若僅回答「求方程式的方法」，無法獲得高分。必須寫出「探討自變數與應變數之間定量關係」、「利用自變數預測應變數」之核心意涵，並點出最小平方法（使殘差平方和 $\sum e_i^2$ 最小）之基本精神。
• 第二小題（假設前提）評分關鍵： 考生常只寫出「常態」或「變異數同質」，忽略了「獨立性」與「自變數為確定值且無測量誤差」。必須完整寫出四大假設（LINE），並指明所有假設皆是針對「隨機誤差項 $\varepsilon_i$」而設。
• 第三小題（農業實例）評分關鍵： 切忌抽象陳述（例如「可以研究施肥跟植物生長」）。必須具體指出試驗作物、自變數名稱及單位、應變數名稱及單位、迴歸式的推論意義與農藝管理用途，方能取得滿分。

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解題技巧

1. 假設前提記憶口訣：牢記英文縮寫 「LINE」：

• Linearity（線性）：$E(Y|X) = \beta_0 + \beta_1 X$。
• Independence（獨立性）：觀測值殘差互不干擾。