114 公務人員升官等薦任 教育行政 教育測驗與統計 考古題詳解

核心觀念

本題考查標準化分數的計算、用途，以及常模參照與標準參照的差異。$z$ 分數與 $T$ 分數都把原始分數轉換成便於解讀、比較的尺度；兩者的轉換以原始分數的平均數與標準差為依據。

解題方法

設個人的原始分數為 $X$，該分數群體的平均數為 $\mu$，標準差為 $\sigma$。$z$ 分數表示原始分數距離平均數幾個標準差：

例如，$z=1$ 表示分數高於平均數 $1$ 個標準差；$z=-1$ 表示低於平均數 $1$ 個標準差；$z=0$ 表示等於平均數。

常見的 $T$ 分數是將 $z$ 分數線性轉換，使平均數為 $50$、標準差為 $10$：

將 $z$ 分數公式代入，也可寫成：

例如 $z=1$ 時，$T=60$；$z=-1$ 時，$T=40$。部分測驗可能採用其他 $T$ 分數尺度，作答時應以題目或測驗手冊所定義的平均數與標準差為準。

為何使用標準化分數

原始分數受測驗題數、難度、計分方式與量尺影響，單看分數高低，不容易判斷個人成績相對於群體的位置，也不適合直接比較不同測驗的表現。

轉換為 $z$ 分數或 $T$ 分數後，可以：

• 了解相對位置：看出分數高於或低於群體平均數多少個標準差。
• 比較不同量尺上的表現：在適當條件下，將不同測驗的原始分數轉換到共同尺度，再比較相對位置。

核心觀念

選擇相關係數，先看兩個變項的測量尺度：

• 兩個連續變項：皮爾森積差相關。
• 兩個次序變項：斯皮爾曼等級相關。
• 兩個二分名目變項：四分相關。
• 一個二分名目變項與一個連續變項：點二系列相關。

相關係數表示變項間關聯的方向與程度，取值介於 $-1$ 與 $1$；正負號代表方向，絕對值愈大代表線性或單調關聯愈強。相關不代表因果。

解題方法與公式

（一）入學成績與統計學成績：皮爾森積差相關（Pearson product-moment correlation）

兩項成績通常視為等距或比率尺度，適合以皮爾森積差相關衡量其線性關聯。設兩變項為 $X$、$Y$，公式為：

其中 $\bar X,\bar Y$ 為平均數，$s_X,s_Y$ 為標準差。若入學成績高者通常統計學成績也高，相關係數為正；若兩者沒有線性關聯，係數接近零。

（二）統計學排名與微積分排名：斯皮爾曼等級相關（Spearman rank-order correlation）

排名屬於次序尺度，能表達先後順序，但名次間距不必相等，因此適合使用斯皮爾曼等級相關。無同名次時，可直接以兩科排名計算：

其中 $d_i=R_{Xi}-R_{Yi}$，即第 $i$ 位學生在兩科的名次差，$n$ 為人數。若有同名次，應先將同名次者採平均名次，再對兩組名次計算皮爾森相關；

核心觀念

本題考查測驗品質的兩項基本指標：信度與效度，以及兩者對測驗結果解釋與使用的影響。

• 信度（reliability）：測驗分數的一致性與穩定性，反映測量結果受隨機誤差影響的程度。信度愈高，代表在相同或相近條件下施測，分數愈一致。信度並非測驗本身永遠不變的特性，而是特定對象、情境與用途下分數的特性。
• 效度（validity）：測驗分數及其解釋、使用是否有充分證據支持。簡言之，測驗是否測到預定的能力或特質，以及根據分數作成的推論是否合理。

兩者的差異在於：信度關心分數「是否穩定一致」，效度關心分數「是否測對目標、解釋得當」。信度是效度的重要條件，但不是充分條件：測驗若分數極不穩定，難以支持有效解釋；然而，分數穩定也不代表測到的就是預定能力。因此，信度高不必然效度高，而效度受信度限制。

解題方法

依序從「測驗是否穩定」與「測驗是否測對」兩個問題切入，再分析兩者失衡時的評量後果，最後將信度偏低的可能原因，對應到可操作的改善策略。

依古典測驗理論，觀察分數可表示為：

其中 $X$ 為觀察分數、$T$ 為真實分數、$E$ 為測量誤差。信度係數常以真實分數變異占觀察分數變異的比例表示：

測量誤差愈大，信度通常愈低。此式說明信度所關注的是分數中的誤差與穩定性；它本身不能證明測驗內容是否涵蓋課程目標，也不能證明測驗分數的解釋或用途恰當。

（一）信度與效度的差異與關係

信度可透過重測、複本、內部一致性或評分者間一致性等方式估計，選用何種方法須配合測驗形式與目的。效度則須依據測驗內容、作答歷程、分數結構、與其他變項的關聯，以及分數使用後果等證據，支持特定的解釋與用途。

例如，段考每次都只考背誦，學生分數可能很穩定，因而有不錯的信度；但若課程目標還包括理解、應用與分析，這份段考就未充分測量目標能力，效度不足。反過來說，效度要建立在可信賴的分數上：若分數因題目歧義或評分不一致而大幅波動，教師便難以據此判斷學生是否達成學習目標。

（二）信度與效度失衡的後果

信度高、效度低：

分數穩定，但穩定地測量了錯誤或不足的內容。例如測驗只考機械記憶，卻用來推論學生的整體學科理解能力。教師可能據此作成失真的成績判斷、分組或補救教學安排；因結果一致而誤以為判斷正確，錯誤推論也可能持續影響學生。

效度高、信度低：

測驗內容與目標相符，但分數受偶然誤差影響大，例如同一能力的學生因題目表述不清、評分標準不一或施測條件不同而得到懸殊分數。

核心觀念

本題分別考驗兩種卡方檢定：

• 卡方適合度檢定：檢定單一類別變項的觀察次數是否符合指定比例。第一小題的虛無假設是五種滿意度的比例相同，也就是各占 $1/5$。
• 卡方獨立性檢定：檢定兩個類別變項是否彼此獨立。第二小題檢定性別與服務滿意度是否有關聯。

兩種檢定的統計量均為

其中 $O$ 是觀察次數，$E$ 是虛無假設成立時的期望次數。

（一）檢定各滿意度類別的比例是否相同

假設

• $H_0$：五種滿意度的比例相同，各占 $1/5$。
• $H_1$：五種滿意度的比例不全相同。

先合併男女的人數，得到各滿意度類別的觀察次數：

總人數為 $450$。在 $H_0$ 下，每一類的期望次數為

因此，

自由度為類別數減一：

查表得 $\chi^2_{0.05}(4)=9.488$。因為 $2.778<9.488$，不拒絕 $H_0$。

**結論：**在顯著水準 $0.05$ 下，沒有足夠證據認定五種滿意度類別的比例不同。

（二）檢定性別與服務滿意度是否具有關聯

假設