112 公務人員升官等薦任 教育行政 教育測驗與統計 考古題詳解

核心觀念

本題考的是**簡單線性迴歸（simple linear regression）**的基本運算，涉及三個核心公式：

1. 迴歸係數（斜率）： $b = \frac{\text{Cov}(X,Y)}{S_X^2}$

2. 迴歸截距： $a = \bar{Y} - b\bar{X}$

3. 預測精準度：以積差相關係數 $r$ 與判定係數 $r^2$、以及估計標準誤（standard error of estimate）$S_{Y \cdot X}$ 來評估。

$r = \frac{\text{Cov}(X,Y)}{S_X S_Y}, \qquad S_{Y\cdot X} = S_Y\sqrt{1-r^2}$

觀念重點：「迴歸方程式」只告訴我們預測值怎麼算；但預測值準不準，要靠 $r^2$（解釋變異的比例）與 $S_{Y\cdot X}$（預測誤差的大小）來判斷，這是本題要求考生「說明預測精準度」的用意，不能只寫出方程式就交卷。

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解題方法

步驟一：整理已知條件

$\bar{X}=10,\quad S_X^2=64\ (\Rightarrow S_X=8)$ $\bar{Y}=20,\quad S_Y^2=36\ (\Rightarrow S_Y=6)$ $\text{Cov}(X,Y)=16,\quad n=100$

步驟二：求迴歸係數 $b$（即斜率）

迴歸係數定義為「$X$ 每增加一單位，$Y$ 平均改變量」，公式為共變數除以預測變項（$X$）的變異數：

$b=\frac{\text{Cov}(X,Y)}{S_X^2}=\frac{16}{64}=0.25$

步驟三：求截距 $a$

迴歸線必通過 $(\bar{X},\bar{Y})$ 這一點，代入求截距：

$a=\bar{Y}-b\bar{X}=20-(0.25)(10)=20-2.5=17.5$

步驟四：寫出迴歸方程式

$\hat{Y}=17.5+0.25X$

意義：當 $X$ 每增加 1 分，預測的 $Y$ 平均增加 0.25 分；若 $X=0$，預測 $Y=17.5$。

步驟五：求相關係數 $r$（判斷預測精準度的第一步）

$r=\frac{\text{Cov}(X,Y)}{S_X S_Y}=\frac{16}{(8)(6)}=\frac{16}{48}=\frac{1}{3}\approx0.333$

步驟六：求判定係數 $r^2$

$r^2=\left(\frac{1}{3}\right)^2=\frac{1}{9}\approx0.111$

意義：$X$ 只能解釋 $Y$ 總變異量的 11.1%，其餘約 88.9% 的變異無法用 $X$ 解釋，屬於低度的解釋力。

步驟七：求估計標準誤 $S_{Y\cdot X}$（判斷預測精準度的第二步，即預測誤差大小）

核心觀念

本題考的是教育測驗與評量（評鑑）中「口試」作為一種評量工具的信度、效度問題，屬於「教育測驗與統計」科目中「主觀式評量工具的客觀化」這個重要命題方向。

傳統口試常被詬病的問題，本質上就是測驗學上的三大缺失：

1. 信度不足：不同主試委員、不同時間、不同考生所問的題目不一致，評分標準因人而異，導致評分者間信度（inter-rater reliability）偏低。
2. 效度受質疑：問題隨意發揮，可能測到與職能、職務無關的內容，造成建構效度（construct validity）與內容效度（content validity）不足。
3. 公平性受到挑戰：主試者的月暈效應（halo effect）、刻板印象、第一印象效應、對比效應等評分偏誤，容易使口試淪為「印象分數」。

**結構化口試（structured oral exam / structured interview）**的定義即是：

針對特定職位或能力需求，事先經由工作分析（job analysis）或職能分析，訂定一套標準化的題目內容、施測程序、評分標準（評分規準 rubric），使所有考生在相同（或對等）條件下接受評量，並由經過訓練的主試委員依據一致的評分向度與標準予以評分的口試方式。

其理論基礎在於：透過「標準化」把口試從「主觀藝術」轉化為「客觀科學」，藉此提升：

• 信度：降低評分者間差異、提升評分一致性。
• 效度：確保所測內容與職務核心職能（core competency）直接相關。
• 公平性：所有考生接受相同測驗情境與評分標準，符合測驗倫理與公平原則。

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解題方法（結構化口試的實施步驟）

答題時應採「先定義、後實施」的架構，實施部分建議依照「測驗編製的標準流程」（工作分析 → 編題 → 評分標準 → 施測 → 評分 → 檢核）逐項展開，讓閱卷者看出考生具備完整的測驗學素養。以下為實施結構化口試的具體步驟：

（一）實施前的準備階段

1. 工作分析（job analysis）／職能分析 先分析該職缺所需具備的知識（knowledge）、技能（skill）、能力（ability）及其他特質（KSAOs），作為命題與評分的依據，確保「內容效度」。

2. 建立題庫並標準化題目 根據職能分析結果，設計一組固定的核心問題（可包含情境式問題、行為事例訪談法 Behavioral Event Interview 問題），所有考生（或同一梯次考生）均須回答相同或對等難度之題目，避免題目因人而異。

3. 訂定評分規準（scoring rubric） 針對每一題或每一評量向度（如：專業知識、表達溝通能力、問題解決能力、臨場反應、儀態態度等），預先訂定具體、可觀察的評分等級與行為錨點（behaviorally anchored rating scale, BARS），將抽象特質轉化為具體可評分的行為描述，以提高評分客觀性。

4. 主試委員的遴選與訓練 辦理評分者訓練（rater training），使主試委員熟悉評分規準、了解常見評分偏誤（如月暈效應、寬容誤差 leniency error、集中趨勢誤差 central ten

核心觀念

本題考的是簡單直線回歸（simple linear regression）的基本假設（assumptions），以及時間序列資料違反獨立性假設所引發的替代方法問題。這是「教育測驗與統計」考科中，回歸分析章節的核心骨幹，常與變異數分析、相關分析一起命題。

直線回歸模型的標準形式為：

$Y_i = \alpha + \beta X_i + \varepsilon_i$

其中 $Y_i$ 為依變項（本題為「每年教育經費支出數」）、$X_i$ 為自變項（本題為「每年出生人口數」）、$\varepsilon_i$ 為誤差項。要使用最小平方法（OLS）所得估計量具有不偏性、有效性，並使後續的顯著性檢定（$t$ 檢定、$F$ 檢定）成立，必須滿足以下基本假設：

1. 線性關係（linearity）：$X$ 與 $Y$ 之間存在線性關係，誤差項期望值為 0，即 $E(\varepsilon_i)=0$。
2. 常態性（normality）：誤差項 $\varepsilon_i$ 服從常態分配，即 $\varepsilon_i \sim N(0,\sigma^2)$。
3. 誤差變異同質性／同質性（homoscedasticity）：各 $X_i$ 下的誤差變異數相等，即 $Var(\varepsilon_i)=\sigma^2$（固定值，不隨 $X_i$ 改變）。
4. 獨立性（independence）：各誤差項之間互相獨立，即 $Cov(\varepsilon_i,\varepsilon_j)=0 \ (i \neq j)$；亦即觀測值彼此不相關。 5.（有時並列）自變項為固定值且無測量誤差：$X$ 為非隨機變項或至少測量誤差可忽略。

以上五項常簡記為 LINE（Linearity, Independence, Normality, Equal variance）加上 $X$ 無誤差的假設，是統計學與測驗統計教科書（如林清山《心理與教育統計學》、Hair et al. 多元迴歸分析）共同列出的標準檢定項目。

解題方法

為何本題答案鎖定在「獨立性假設」被違反：

本題的自變項與依變項都是「每年」蒐集的資料，橫跨 1911 年至 2020 年，長達 110 年，屬於時間序列資料（time series data）。時間序列資料的致命特性是：同一變項在相鄰年度之間，數值會互相影響、延續，即存在**自我相關（autocorrelation）**或序列相關（serial correlation）。

具體推論如下：

• 「每年出生人口數」這個變項，今年的出生人口數與去年、前年的出生人口數高度相關（受到人口結構、生育率趨勢、戰爭、經濟景氣等長期因素影響，呈現逐年緩慢變動、具有趨勢性）。
• 「每年教育經費支出數」亦然：今年的教育經費編列，必然承續去年的預算基礎（公部門預算具有慣性與遞增特性），且受到整體國家財政、物價指數（通貨膨脹）等長期趨勢因素影響。
• 因此，誤差項 $\varepsilon_i$（即實際值與回歸預測值之差）也會呈現前後期相關，即 $\varepsilon_t$ 與 $\varepsilon_{t-1}$ 不獨立，違反了「誤差項獨立」的假設。這種現象在計量經濟學中稱為一階自我相關（first-order autocorrelation），可用 Durbin-Watson 檢定（DW test） 加以檢驗。

違反獨立性假設的後果：

• OLS 估計量 $\hat\alpha, \hat\beta$ 仍為不偏估計，但不再是最小變異（即非 BLUE，非最佳線性不偏估計量）。

核心觀念

本題考的是卡方分配的「可加性」（reproductive property of $\chi^2$ distribution），這是統計學中合併多次獨立檢定結果（俗稱「卡方值加總法」，常用於統合分析 meta-analysis 的場合）的基本工具。

定義／定理：若 $\chi^2_1, \chi^2_2, \dots, \chi^2_k$ 為 $k$ 個「彼此獨立」的卡方統計量，各自服從自由度 $df_1, df_2, \dots, df_k$ 的卡方分配，則其和

$\chi^2_{\text{合併}} = \chi^2_1 + \chi^2_2 + \cdots + \chi^2_k$

仍服從卡方分配，且自由度為

$df_{\text{合併}} = df_1 + df_2 + \cdots + df_k$

這個性質的來源是：卡方分配本質上定義為多個獨立標準常態變數平方和的分配，獨立的卡方變數相加，等於把更多獨立的標準常態平方項加總在一起，自然仍服從卡方分配，且自由度相加。

本題中，三次期中評量為三個「獨立」的檢定（不同次測驗、各自獨立計算的 $2\times2$ 或適合度卡方檢定），每次 $df=1$，符合可加性定理的使用條件。

需特別提醒的性質：卡方統計量是由 $(O-E)^2/E$ 加總而成，數值恆為非負，本身不帶「方向」資訊。因此卡方值加總只能回答「綜合起來是否顯著」，至於「哪一方較高」，必須回頭參照各次檢定原本已知的方向結論來判斷。

解題方法

步驟一：確認三次檢定可合併 三次期中評量為獨立施測（不同時間點、各自獨立之樣本資料），滿足獨立性假設，故可套用卡方可加性定理進行合併檢定。

步驟二：卡方值加總

$\chi^2_{\text{合併}} = 4.30 + 5.89 + 1.54 = 11.73$

步驟三：自由度加總

$df_{\text{合併}} = 1 + 1 + 1 = 3$

步驟四：查表比較

依題給臨界值表，$\alpha=.05$，$df=3$ 時臨界值為

$\chi^2_{0.05,\,df=3} = 7.81$

比較：

$\chi^2_{\text{合併}} = 11.73 > 7.81 = \chi^2_{0.05,3}$

步驟五：決策與方向判斷

因為合併後的卡方值（11.73）大於臨界值（7.81），落入拒絕區，故拒絕虛無假設 $H_0$：「男女在數學成就上無差異」，接受對立假設：三次綜合起來，男女在數學科學習成就上有顯著差異。

至於差異的方向，必須回頭檢視三次個別檢定的方向與顯著性：

次數	卡方值	是否顯著（與 3.84 比）	方向
第一次	4.30	顯著 ($4.30>3.84$)	男 > 女