114 公務人員升官等薦任 機械工程 熱工學 考古題詳解

114 年・公務人員升官等・薦任・機械工程
試題代碼 熱工學

第 一 題25 分

溫度、壓力、體積的關係稱為狀態方程式（Equation of state），請回答下列問題：

(一) 當壓力很低時，氣體行為趨近理想氣體。如何判斷氣體的壓力夠低，可以使用理想氣體方程式？（10 分）

(二) 若氣體壓力高，需考慮真實氣體效應。請說明任意兩種獲得真實氣體溫度、壓力、體積的方法。（15 分）

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核心觀念

本題考查理想氣體近似的適用判斷，以及查取或計算真實氣體性質的方法。

理想氣體方程式為

Pv=RTPv=RT

其中 PP 為絕對壓力、vv 為比體積、TT 為絕對溫度，RR 為該氣體的氣體常數。真實氣體偏離理想氣體的程度，可用壓縮因子 ZZ 表示：

Z=PvRTZ=\frac{Pv}{RT}

當 ZZ 接近 1 時，氣體性質可用理想氣體方程式近似；ZZ 明顯偏離 1 時，則須考慮真實氣體效應。

（一）如何判斷壓力夠低

不能只看壓力數值的大小，應將氣體狀態與其臨界性質比較。常用方法是計算約化壓力與約化溫度：

Pr=PPc,Tr=TTcP_r=\frac{P}{P_c},\qquad T_r=\frac{T}{T_c}

其中 PcP_c、TcT_c 分別為該氣體的臨界壓力與臨界溫度。利用對應狀態圖表或壓縮因子圖，在給定 PrP_r、TrT_r 下查得 ZZ；若 ZZ 與 1 的差異在題目所需精度可接受的範圍內，即可使用理想氣體方程式。

在溫度不是接近飽和狀態或臨界區的條件下，低約化壓力通常表示分子間作用的影響較小，ZZ 趨近 1，因而可採理想氣體近似。若題目未指定容許誤差，應以「Z≈1Z\approx 1」作為判準，不宜把某個固定壓力值當成所有氣體都適用的界線。

（二）取得真實氣體溫度、壓力、體積的方法

任舉以下兩種並說明其使用方式即可。

方法一：查真實氣體性質表或圖表

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第 二 題25 分

某氣渦輪機使用二段等熵壓縮機，二段的壓力比相同，空氣為工作流體。空氣進入壓縮機時壓力 100 kPa100\ \mathrm{kPa}、溫度 300 K300\ \mathrm{K}，空氣離開壓縮機時壓力為 700 kPa700\ \mathrm{kPa}。為使消耗功降低，在二段中間將空氣冷卻至 300 K300\ \mathrm{K}，若空氣之流量為 0.1 kg/s0.1\ \mathrm{kg/s}，則此壓縮機需消耗多少功？

假設比熱固定，cp=1.005 kJ/(kg⋅K)c_p=1.005\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}，R=0.287 kJ/(kg⋅K)R=0.287\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}。（25 分）

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核心觀念

二段等熵壓縮並在中間冷卻的目的，是降低壓縮機總功。兩段壓力比相同，因此中間壓力為總壓力比的幾何平均：

P2P1=P3P2⟹P2=P1P3\frac{P_2}{P_1}=\frac{P_3}{P_2} \quad\Longrightarrow\quad P_2=\sqrt{P_1P_3}

每段壓縮均以定比熱理想氣體的等熵關係計算。令

k=cpcv=cpcp−Rk=\frac{c_p}{c_v}=\frac{c_p}{c_p-R}

則等熵壓縮的出口溫度為

Tout=Tin(PoutPin)(k−1)/kT_{\mathrm{out}} =T_{\mathrm{in}}\left(\frac{P_{\mathrm{out}}}{P_{\mathrm{in}}}\right)^{(k-1)/k}

壓縮機所需功率由穩定流能量方程求得；忽略動能、位能變化及熱損失時，軸功率等於質量流率乘以各段焓升總和。

解題方法

已知 P1=100 kPaP_1=100\ \mathrm{kPa}、P3=700 kPaP_3=700\ \mathrm{kPa}，兩段壓力比相同，故中間壓力為

P2=100×700=264.58 kPaP_2=\sqrt{100\times700} =264.58\ \mathrm{kPa}

每段壓力比皆為

rp=P2P1=P3P2=7r_p=\frac{P_2}{P_1} =\frac{P_3}{P_2} =\sqrt{7}

先由給定的定比熱求比熱比：

cv=cp−R=1.005−0.287=0.718 kJ/(kg⋅K)c_v=c_p-R=1.005-0.287=0.718\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)} k=1.0050.718=1.3997k=\frac{1.005}{0.718}=1.3997

所以

k−1k=0.2855\frac{k-1}{k}=0.2855
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第 三 題25 分

一空氣標準狄則耳循環（Diesel cycle）之壓縮比為 20，壓縮前壓力 100 kPa100\ \mathrm{kPa}、溫度為 300 K300\ \mathrm{K}，吸熱過程後之溫度為 1800 K1800\ \mathrm{K}。假設比熱固定，cp=1.005 kJ/(kg⋅K)c_p=1.005\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}，cv=0.718 kJ/(kg⋅K)c_v=0.718\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}，求停氣比（cutoff ratio）、循環熱效率。（25 分）

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核心觀念

本題考查空氣標準狄則耳循環（Diesel cycle）的停氣比與熱效率。循環包含等熵壓縮、定壓吸熱、等熵膨脹及定容放熱。定義如下：

  • 壓縮比：r=v1/v2r=v_1/v_2
  • 停氣比：rc=v3/v2r_c=v_3/v_2
  • 比熱比：k=cp/cvk=c_p/c_v

定壓吸熱時，理想氣體有 v/T=定值v/T=\text{定值}，因此停氣比可由狀態 2 與狀態 3 的溫度求得。狄則耳循環熱效率為

ηDiesel=1−1rk−1(rck−1k(rc−1))\eta_{\mathrm{Diesel}} =1-\frac{1}{r^{k-1}} \left(\frac{r_c^k-1}{k(r_c-1)}\right)

解題方法

狀態 1 為壓縮前，T1=300 KT_1=300\ \mathrm{K}、P1=100 kPaP_1=100\ \mathrm{kPa}；狀態 2 為等熵壓縮後；狀態 3 為定壓吸熱後，T3=1800 KT_3=1800\ \mathrm{K}。

先由等熵壓縮關係求狀態 2 的溫度：

T2=T1rk−1T_2=T_1r^{k-1}

比熱比為

k=cpcv=1.0050.718≈1.3997k=\frac{c_p}{c_v} =\frac{1.005}{0.718} \approx 1.3997

故

T2=300(20)1.3997≈1,980.9 KT_2=300(20)^{1.3997} \approx 1{,}980.9\ \mathrm{K}

定壓吸熱的狀態 2 至狀態 3 滿足 v/T=定值v/T=\text{定值}，所以

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第 四 題25 分

空氣進入一噴嘴，入口溫度 600 K600\ \mathrm{K}、壓力 160 kPa160\ \mathrm{kPa}、速度 50 m/s50\ \mathrm{m/s}，出口壓力為 100 kPa100\ \mathrm{kPa}。此噴嘴之等熵效率（isentropic efficiency）為 70%70\%，求：

(一) 出口速度。

(二) 出口溫度。

空氣之比熱 cp=1.051 kJ/(kg⋅K)c_p=1.051\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}，比熱比 k=1.376k=1.376。（25 分）

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核心觀念

噴嘴將流體的焓降轉換為速度增加。此題先以入口狀態和出口壓力求出等熵出口溫度，再由噴嘴等熵效率求實際出口速度，最後用穩流能量方程求實際出口溫度。

忽略噴嘴與外界的熱交換、位能變化，且視空氣為定比熱理想氣體。噴嘴等熵效率定義為

ηN=實際動能增加等熵過程的動能增加=V22−V12V2s2−V12=h1−h2h1−h2s,\eta_N= \frac{\text{實際動能增加}} {\text{等熵過程的動能增加}} = \frac{V_2^2-V_1^2}{V_{2s}^2-V_1^2} = \frac{h_1-h_2}{h_1-h_{2s}},

其中下標 2s2s 代表在相同出口壓力下，等熵膨脹時的出口狀態。

解題方法

一、求等熵出口溫度

定比熱理想氣體的等熵關係式為

T2sT1=(P2P1)(k−1)/k.\frac{T_{2s}}{T_1} = \left(\frac{P_2}{P_1}\right)^{(k-1)/k}.

代入 T1=600 KT_1=600\ \mathrm{K}、P1=160 kPaP_1=160\ \mathrm{kPa}、P2=100 kPaP_2=100\ \mathrm{kPa}、k=1.376k=1.376：

T2s=600(100160)(1.376−1)/1.376≈529.9 K.T_{2s} = 600\left(\frac{100}{160}\right)^{(1.376-1)/1.376} \approx 529.9\ \mathrm{K}.

等熵焓降為

h1−h2s=cp(T1−T2s)=1.051(600−529.9)≈73.72 kJ/kg.h_1-h_{2s} = c_p(T_1-T_{2s}) = 1.051(600-529.9) \approx 73.72\ \mathrm{kJ/kg}.

二、求實際出口速度

由噴嘴等熵效率：

ηN=V22−V122cp(T1−T2s).\eta_N = \frac{V_2^2-V_1^2} {2c_p(T_1-T_{2s})}.

因此

V2=V12+2ηNcp(T1−T2s)×1000.V_2 = \sqrt{V_1^2+2\eta_Nc_p(T_1-T_{2s})\times 1000}.
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