112 公務人員升官等薦任 機械工程 熱工學 考古題詳解

112 年・公務人員升官等・薦任・機械工程
試題代碼 熱工學

第 一 題25 分

比較鄂圖循環（Otto cycle）與迪賽爾循環（Diesel cycle）之差異。

(一) 畫出兩者理想循環之壓力－比容（P−vP-v）圖及溫度－熵（T−sT-s）圖，需標示每一程序。（16 分）

(二) 何謂壓縮比？（4 分）

(三) 以各狀態之內能表示汽油引擎之效率。（5 分）

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核心觀念

本題比較理想鄂圖循環（Otto cycle）與理想迪賽爾循環（Diesel cycle），重點是辨認各循環的四個熱力過程、兩者的加熱方式差異，以及壓縮比的定義。汽油引擎採鄂圖循環，定容加熱；理想柴油引擎採迪賽爾循環，定壓加熱。兩循環均以等熵壓縮與等熵膨脹作為理想化假設，並在定容過程排熱。

解題方法

以四個狀態點依序標示循環：1→21\to2 為壓縮，2→32\to3 為加熱，3→43\to4 為膨脹，4→14\to1 為排熱。作圖時先確認哪一段為定容或定壓，再依照壓力、比容與熵的變化方向標示各過程。

(一) 理想循環之 P−vP-v 圖及 T−sT-s 圖

鄂圖循環

P
↑
│ 3
│ ↑╲
│ │ ╲
│ 2 ╲
│ ╲ ↓
│ ╲ 4
│ ╲ │
│ ╲ ↓
│ 1
└──────────────→ v
  • 1→21\to2：等熵壓縮，vv 減少、PP 上升。
  • 2→32\to3：定容加熱，vv 不變、PP 上升。
  • 3→43\to4：等熵膨脹，vv 增加、PP 下降。
  • 4→14\to1：定容排熱，vv 不變、PP 下降。
T
↑
│ 3
│ ╱│
│ ╱ │
│ 2 ╱ │
│ │ ╱ │
│ │ ╱ 4
│ │ ╱ ╱
│ 1 ╱────╱
└──────────────────→ s
  • 1→21\to2：等熵壓縮，ss 不變、TT 上升。
  • 2→32\to3：定容加熱，TT、ss 均上升。
  • 3→43\to4：等熵膨脹，ss 不變、TT 下降。
  • 4→14\to1：定容排熱，TT、ss 均下降。

迪賽爾循環

P
↑
│ 2──────3
│ ╲ ╲
│ ╲ ╲
│ ╲ ↓
│ ╲ 4
│ ╲ │
│ ╲ ↓
│ ╲ 1
└──────────────────→ v
  • 1→21\to2：等熵壓縮，vv 減少、PP 上升。
  • 2→32\to3：定壓加熱，PP 不變、vv 增加。
  • 3→43\to4：等熵膨脹，vv 增加、PP 下降。
  • 4→14\to1：定容排熱，vv 不變、PP 下降。
T
↑
│ 3
│ ╱ │
│ ╱ │
│ 2───╱ │
│ │ 4
│ │ ╱
│ │ ╱
│ 1───╱
└──────────────────→ s
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第 二 題25 分

欲將空氣由初始壓力 P1P_1 加壓至 P2P_2，請回答有關「一階段壓縮」及「二階段壓縮併中間冷卻」的問題：

(一) 假設壓縮機絕熱且壓縮過程是等熵，請在壓力－比容（P−vP-v）圖及溫度－熵（T−sT-s）圖上畫出二種壓縮的過程，並標示每一程序。（10 分）

(二) 依子題（一），說明哪一種壓縮方法所需的功率較小。（5 分）

(三) 比較二種加壓方式的功率差異為何？若初始壓力 P1=100 kPaP_1=100\ \mathrm{kPa}，溫度為 300 K300\ \mathrm{K}，欲加壓至 P2=1200 kPaP_2=1200\ \mathrm{kPa}。在二階段壓縮方式中，氣體經第一階段加壓至 350 kPa350\ \mathrm{kPa}，再冷卻至 300 K300\ \mathrm{K} 才進入第二階段壓縮。（10 分）

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核心觀念

本題考查空氣的等熵壓縮比功，以及二階段壓縮加入中間冷卻後，如何比較壓縮功。採用空氣為理想氣體、定比熱，且兩階段壓縮皆為絕熱可逆（等熵）之假設。

等熵理想氣體關係式為

T2T1=(P2P1)(k−1)/k,Pvk=常數\frac{T_2}{T_1} =\left(\frac{P_2}{P_1}\right)^{(k-1)/k}, \qquad Pv^k=\text{常數}

空氣取 k=1.4k=1.4、cp=1.004 kJ/(kg⋅K)c_p=1.004\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}。穩定流動絕熱壓縮機的單位質量輸入功為

win=hout−hin=cp(Tout−Tin)w_{\mathrm{in}}=h_{\mathrm{out}}-h_{\mathrm{in}} =c_p(T_{\mathrm{out}}-T_{\mathrm{in}})

題目所稱「功率差異」若未指定質量流率，應以單位質量壓縮功比較；實際功率差等於比功差乘以質量流率。

解題方法與過程圖

令狀態 1 為入口，狀態 2 為一階段壓縮出口；二階段壓縮中，狀態 3 為第一階段出口、狀態 4 為中間冷卻後出口、狀態 5 為第二階段出口。

  • 一階段壓縮： 1→21\to2，由 P1P_1 等熵壓縮至 P2P_2。
  • 二階段壓縮併中間冷卻： 1→31\to3 等熵壓縮至中間壓力 PiP_i；3→43\to4 定壓冷卻至入口溫度；4→54\to5 再等熵壓縮至 P2P_2。

P−vP-v 圖（示意）

P
↑
│ ● 2（一階段終點，P₂）
│ ╱
│ ╱ ● 5（二階段終點，P₂）
│ ╱ ╱
│ ╱ ● 3 ───→ ● 4（中間冷卻，Pᵢ）
│╱ ↑
● 1───┘
└────────────────→ v

圖中 1→21\to2 為一階段等熵壓縮；1→31\to3、4→54\to5 為二階段等熵壓縮；3→43\to4 為定壓冷卻，冷卻使比容下降。兩種壓縮的終點壓力皆為 P2P_2。

T−sT-s 圖（示意）

T
↑
│ ● 2（一階段終點）
│ ↑
│ ● 5 ↑（二階段終點）
│ ↑ │
│ ● 3 │ │
│ ↑ │ │
│ │ ● 4 │（中間冷卻後）
│ │ ↙ │
│ │ ↙ │
│ ● 1 │
└──────────────────────────────→ s

等熵壓縮在 T−sT-s 圖上為定熵線：1→21\to2、1→31\to3、4→54\to5 均為垂直線。中間冷卻 3→43\to4 為定壓冷卻，溫度與熵皆降低；若冷卻至入口溫度，狀態 4 與狀態 1 溫度相同。

（一）過程標示

一階段壓縮的完整過程為 1→21\to2。二階段壓縮併中間冷卻的完整過程為 1→3→4→51\to3\to4\to5，其中 1→31\to3 與 4→54\to5 為等熵壓縮，3→43\to4 為定壓中間冷卻。

（二）所需功率比較

在入口狀態及總壓力比相同時，二階段壓縮加入中間冷卻會降低第二階段的入口溫度，因此第二階段所需的溫升與壓縮功都會降低。整體而言，二階段壓縮併中間冷卻所需功率較小。

（三）比功差異計算

已知

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第 三 題25 分

朗肯循環（Rankine cycle）與卡諾循環（Carnot cycle）。

(一) 二種循環都在相同的高、低壓運作，在溫度－熵（T−sT-s）圖上畫出二種循環。（10 分）

(二) 比較卡諾循環及朗肯循環在加壓過程及加熱過程的主要差異。（5 分）

(三) 在朗肯循環中，提高鍋爐加熱溫度對循環效率的影響。（5 分）

(四) 在朗肯循環中，水經過鍋爐加熱至過熱氣，先進入第一段渦輪等熵降溫至飽和蒸氣，再加熱後，進入第二段渦輪等熵降溫至冷凝溫度。請在溫度－熵（T−sT-s）圖上畫出上述循環。（5 分）

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核心觀念

本題比較理想卡諾循環與實際蒸汽動力常用的朗肯循環，重點是加壓方式、鍋爐吸熱過程及循環最高溫度對效率的影響。

以水為工作流體，朗肯循環各狀態通常定義為：冷凝器出口飽和液體為 1，泵出口為 2，鍋爐出口為 3，渦輪出口為 4。理想朗肯循環中，泵與渦輪均視為等熵過程，鍋爐與冷凝器分別在高壓、低壓下進行定壓熱交換。

熱效率為

ηth=WnetQin=1−QoutQin.\eta_{\mathrm{th}}=\frac{W_{\mathrm{net}}}{Q_{\mathrm{in}}} =1-\frac{Q_{\mathrm{out}}}{Q_{\mathrm{in}}}.

卡諾循環在兩個熱庫溫度間運轉，吸熱與放熱均為等溫過程，另有兩段等熵過程；其效率為

ηCarnot=1−TLTH,\eta_{\mathrm{Carnot}}=1-\frac{T_L}{T_H},

其中 THT_H、TLT_L 必須採用絕對溫度。

解題方法

判讀 T−sT-s 圖時，先標出飽和液線與飽和蒸氣線，再依序畫出定壓加熱、等熵膨脹、定壓放熱及等熵加壓。卡諾循環則由兩條等溫線與兩條等熵線構成。兩循環的高、低壓相同時，仍須注意其加熱與加壓路徑不同；相同壓力不代表路徑或效率相同。

（一）兩種循環的 T−sT-s 圖

下圖為示意圖，狀態點位置及線段形狀不按比例；兩循環各自的高、低壓分別相同。

 T
 ↑
 │ ● 3R
 │ ／ │
 ───────────│────────● 2C ───────● 3C │── 卡諾高溫等溫線
 │ ／ │ │
 │ ╭────── 飽和蒸氣線╮ │
 │ ╱ │ ╲ │
 │ ╱ ● 2R │ ● 4R
 │ ╱ ↑ │ ╱
 │╱ │ │ ╱
 ───────────● 1R───┴─────● 4C────────── 卡諾低溫等溫線
 └────────────────────────→ s
 1C 3C

朗肯循環：1R → 2R → 3R → 4R → 1R
卡諾循環：1C → 2C → 3C → 4C → 1C

圖中各循環路徑應辨認如下：

  • 朗肯循環：1R→2R1_R\to2_R 為泵內等熵加壓；2R→3R2_R\to3_R 為高壓下定壓加熱；3R→4R3_R\to4_R 為渦輪等熵膨脹；4R→1R4_R\to1_R 為低壓下定壓冷凝。
  • 卡諾循環：1C→2C1_C\to2_C 為等熵壓縮；2C→3C2_C\to3_C 為高溫等溫吸熱；3C→4C3_C\to4_C 為等熵膨脹；4C→1C4_C\to1_C 為低溫等溫放熱。

理想卡諾蒸汽循環的等熵壓縮會使兩相濕蒸氣被壓縮，工作流體含有大量液相，壓縮過程不利於實際設備。因此，蒸汽動力循環採用冷凝器出口飽和液體經泵加壓的朗肯循環。

（二）加壓過程及加熱過程的主要差異

  • 加壓過程：卡諾循環要求工作流體沿等熵線壓縮，可能是在兩相區壓縮濕蒸氣；朗肯循環則將冷凝器出口的飽和液體以泵加壓至鍋爐壓力。液體比容小，因此泵功較小，設備也較實用。
  • 加熱過程：卡諾循環在高溫熱庫溫度下等溫吸熱；
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第 四 題25 分

一壓縮機使用 R-134a 做為冷媒。冷媒進入壓縮機前是 −12∘C-12^\circ\mathrm{C} 飽和蒸氣，經壓縮機等熵加壓至 7 bar7\ \mathrm{bar} 後，進入冷凝器；冷媒離開冷凝器時為飽和液態，經過膨脹閥後，壓力降至與蒸發器相同。

(一) 在溫度－熵（T−sT-s）圖上畫出此循環，並說明每一程序。（10 分）

(二) 計算此循環的性能系數（COP）。（10 分）

(三) 計算在膨脹閥過程中的熵增量（kJ/(kg⋅K)\mathrm{kJ/(kg\cdot K)}）。（5 分）

已知：

p=7.0 bar,Tsat=26.72∘Cp=7.0\ \mathrm{bar},\qquad T_{\mathrm{sat}}=26.72^\circ\mathrm{C}

T (∘C)T\ (^\circ\mathrm{C})h (kJ/kg)h\ (\mathrm{kJ/kg})s (kJ/(kg⋅K))s\ (\mathrm{kJ/(kg\cdot K)})
飽和261.850.9080
30265.370.9197
40275.930.9539
50286.350.9867

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核心觀念

本題考查蒸氣壓縮冷凍循環的狀態判定與能量、熵平衡：

  • 壓縮機為等熵壓縮：s2=s1s_2=s_1。
  • 冷凝器出口為飽和液體。
  • 膨脹閥為節流過程：h4=h3h_4=h_3。
  • 蒸發器吸熱量為 qL=h1−h4q_L=h_1-h_4，壓縮機輸入功為 wc=h2−h1w_c=h_2-h_1。
  • 冷凍性能係數為 COPR=qL/wc\mathrm{COP}_R=q_L/w_c。

題目未提供低壓側壓力或完整冷媒表，但可由入口為 −12∘C-12^\circ\mathrm{C} 飽和蒸氣，以及高壓側給定的 T−sT-s 資料，配合等熵條件求得狀態 2、3、4 所需性質。

解題方法

令狀態 1 為壓縮機入口、狀態 2 為壓縮機出口、狀態 3 為冷凝器出口、狀態 4 為膨脹閥出口。

（一）T−sT-s 圖與各程序

 T
 ↑
 │ ●2
 │ │
 │ ●3─────┘
 │ │ ╲
 │ │ ╲
 │ _____│_________╲____
 │ ●4──────────────●1
 └──────────────────────────→ s
  • 1→21\to2：等熵壓縮，s2=s1s_2=s_1，壓力升至 7 bar7\ \mathrm{bar}。
  • 2→32\to3：定壓冷凝，冷媒放熱，最後成為飽和液體。
  • 3→43\to4：膨脹閥節流，h4=h3h_4=h_3，壓力降至蒸發器壓力，熵增加。
  • 4→14\to1：定壓蒸發，冷媒吸熱至 −12∘C-12^\circ\mathrm{C} 飽和蒸氣。

（二）計算 COP

狀態 1 為 −12∘C-12^\circ\mathrm{C} 飽和蒸氣。由 R-134a 飽和性質取值：

h1=239.16 kJ/kg,s1=0.9448 kJ/(kg⋅K)h_1=239.16\ \mathrm{kJ/kg},\qquad s_1=0.9448\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}

狀態 2 位於 7 bar7\ \mathrm{bar}，且等熵壓縮，故 s2=s1=0.9448s_2=s_1=0.9448。在表列的飽和點與 30∘C30^\circ\mathrm{C} 間線性內插：

h2=261.85+0.9448−0.90800.9197−0.9080(265.37−261.85)=272.92 kJ/kgh_2=261.85+ \frac{0.9448-0.9080}{0.9197-0.9080}(265.37-261.85) =272.92\ \mathrm{kJ/kg}

狀態 3 為 7 bar7\ \mathrm{bar} 飽和液體，因此：

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