112 公務人員升官等薦任 機械工程 工程力學（包括靜力學、動力學與材料力學） 考古題詳解

核心觀念

桁架各桿件視為二力構件，桿件內力沿桿件軸線作用。先對整座桁架列平衡方程式求支承反力與繩索張力，再用節點法求桿件內力。以下以桿件受拉為正，負值表示受壓。

依原卷圖示，$F$ 點的 $100\,\mathrm{N}$ 載重箭頭向下，以下按圖計算。

（一）支承 $A$ 反力與繩索力

桿件水平投影每段為 $4\,\mathrm{m}$；上方節點位於下方相鄰節點的中點，因此各力對 $A$ 的水平力臂為 $x_B=2$、$x_D=6$、$x_F=10$、$x_I=16\,\mathrm{m}$。

以逆時針為正，對整座桁架取 $A$ 點力矩：

因此繩索對桁架的作用力向上。再由整體力平衡：

所以支承 $A$ 的反力為向下 $68.75\,\mathrm{N}$，水平反力為 $0$。

（二）桿件 $\overline{HG}$ 內力

先取節點 $I$。繩索與水平桿件 $IG$ 垂直，而桿件 $HI$ 與水平線夾角為 $60^\circ$。節點 $I$ 的垂直力平衡為：

因此 $\overline{HI}$ 受壓。

再取節點 $H$，垂直方向平衡：

核心觀念

本題考查滑輪繩長約束與牛頓第二運動定律。忽略繩索及滑輪重量時，同一條繩上的張力皆為 $T$。圖中的活動滑輪組由三段繩索支撐，因此滑塊 $B$ 向下加速時，滑塊 $A$ 向左加速，且

滑塊 $A$ 向左運動時，動摩擦力向右，大小為 $f_k=\mu m_Ag$。

解題方法

令 $B$ 向下、$A$ 向左為正方向。滑塊 $A$ 的運動方程為

其中

再代入繩長約束 $a_A=3a_B$：

對滑塊 $B$ 與活動滑輪組列式。活動組受重力向下，並受三段繩索的張力合力向上：

核心觀念

繩子斷裂後，圓桶受重力、斜面正向力與接觸點 $A$ 的靜摩擦力作用。題目指定圓桶沿斜面純滾動，因此平移加速度與角加速度滿足滾動條件：

空心薄壁圓桶可視為薄環，其質量慣性矩為：

解題方法

取沿斜面向下為平移正方向。圓桶向下滾動時，摩擦力作用方向沿斜面向上，提供圓桶轉動所需的力矩。

沿斜面列平移運動方程：

以圓桶中心 $G$ 取轉動方程：

代入 $I_G=mR^2$ 與 $\alpha=a/R$：

代回平移方程：

核心觀念

本題考查純滾動圓盤的動能、機械能守恆，以及圓盤沿凹形圓弧運動時的向心力與接觸條件。

圖示圓弧半徑為 $R+r$，圓盤半徑為 $r$，因此圓盤質心的運動半徑為

視圓盤為均勻實心圓盤，其轉動慣量為 $I_G=\frac12mr^2$。

解題方法

圓盤純滾動，故 $\omega=v/r$。其平移與轉動動能合計為

圓盤到達圓弧最高點時，法向力降至零是即將脫離圓弧的臨界狀態。此時重力提供向心力：

核心觀念

本題考查靜定梁的支承反力、剪力圖與彎矩圖。均布載重可換算為作用於載重段中點的合力；剪力圖在集中力處跳躍，在均布載重段呈斜線；彎矩圖的斜率等於剪力，集中力矩則使彎矩圖產生跳躍。

取 $x$ 軸自 A 向右，剪力正號採左截面向上，彎矩正號採下凹（正彎矩）。各點位置為 $A=0$、$B=10$、$C=25$、$D=35$、$E=45\ \mathrm{m}$。BC 段均布載重的合力為 $5(15)=75\ \mathrm{N}$，作用於距 A $17.5\ \mathrm{m}$ 處。

解題方法

支承反力

水平方向沒有外力，因此 $A_x=0$。以 A 點取力矩，逆時針為正：

負號表示 E 點反力向下。再由鉛直力平衡：

因此 $A_y$ 向上 $16.5\ \mathrm{N}$，$E_y$ 向下 $41.5\ \mathrm{N}$。

剪力圖

從 A 向右逐段累計鉛直力：

• A 至 B：$V=+16.5\ \mathrm{N}$。
• B 至 C：均布載重使剪力以每公尺 $5\ \mathrm{N}$ 的斜率下降，故 $V=16.5-5(x-10)$。
• C 至 D：$V=-58.5\ \mathrm{N}$。
• D 點的 $100\ \mathrm{N}$ 向上集中力使剪力向上跳 $100\ \mathrm{N}$，成為 $+41.5\ \mathrm{N}$。
• D 至 E：$V=+41.5\ \mathrm{N}$；到 E 點因向下反力 $41.5\ \mathrm{N}$ 而回到零。

剪力圖主要數值如下：

彎矩圖

A 為簡支點，因此 $M_A=0$。沿各段積分剪力，並注意 D 點順時針力矩使彎矩圖向上跳 $320\ \mathrm{N\cdot m}$：