114 公務人員升官等薦任 機械工程 工程力學（包括靜力學、動力學與材料力學） 考古題詳解

114 年・公務人員升官等・薦任・機械工程
試題代碼 工程力學（包括靜力學、動力學與材料力學）

第 一 題25 分

如圖，構架在點 FF 上受一力偶 MM 作用，設各桿件之重量與各接觸點摩擦力可忽略，請畫出各桿件自由體圖，並求桿 ABCABC 上 AA 點、BB 點及 CC 點的受力。

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核心觀念

本題考查平面剛體的自由體圖與靜力平衡。各接觸點均視為無摩擦銷接，因此銷接力可分解為水平、垂直分量；CC 點為地面銷接，DD 點為滾輪支承，只提供垂直反力。力偶 MM 是自由向量，對取矩點的位置沒有影響。

依圖中尺寸取座標： C=(0,0)C=(0,0)、B=(0,4)B=(0,4)、A=(0,8)A=(0,8)、E=(4,4)E=(4,4)、D=(8,0)D=(8,0)，單位為公尺。以下令圖示力偶方向為正（逆時針），並以 MM 表示其大小。

解題方法

將構架拆成三個剛體：桿 ABCABC、斜桿 ADAD、水平桿。各銷接處的作用力與反作用力大小相等、方向相反。先對水平桿取矩，求出 BB、EE 點的垂直分力，再利用 ABCABC 與 ADAD 的平衡求其餘分力。

自由體圖所需受力

  • 桿 ABCABC： AA 點受斜桿作用力 (Ax,Ay)(A_x,A_y)；BB 點受水平桿作用力 (Bx,By)(B_x,B_y)；CC 點有地面反力 (Cx,Cy)(C_x,C_y)。
  • 斜桿 ADAD： AA、EE 點受銷接力，DD 點受滾輪垂直反力 DyD_y。AA、EE 點的力分別與相連桿件上的力互為作用力與反作用力。
  • 水平桿： BB、EE 點受銷接力，FF 點受圖示力偶 MM。

1. 水平桿平衡

令水平桿在 EE 點受力為 (Ex,Ey)(E_x,E_y)。以 BB 點取矩：

∑MB=0:4Ey+M=0\sum M_B=0:\qquad 4E_y+M=0

因此

Ey=−M4.E_y=-\frac{M}{4}.

垂直力平衡得

∑Fy=0:By+Ey=0⇒By=M4.\sum F_y=0:\qquad B_y+E_y=0 \quad\Rightarrow\quad B_y=\frac{M}{4}.

令 Ex=qE_x=q。水平力平衡則有

Bx+Ex=0⇒Bx=−q.B_x+E_x=0 \quad\Rightarrow\quad B_x=-q.

2. 桿 ABCABC 與斜桿 ADAD 的水平分力

水平桿對 ABCABC 的 BB 點作用力方向相反，所以 ABCABC 在 BB 點受力為 (q,−M/4)(q,-M/4)。

以 CC 點取矩：

∑MC=0:−8Ax−4q=0.\sum M_C=0:\qquad -8A_x-4q=0.
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第 二 題25 分

如圖，滑輪砝碼組固定到天花板，除 33 個砝碼外，其餘滑輪與繩索等構件之質量及各接觸處摩擦力皆可忽略。試求吊掛 8 kg8\ \mathrm{kg} 砝碼繩索之張力及 8 kg8\ \mathrm{kg} 砝碼之加速度。須標示單位及方向。

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核心觀念

本題考查理想繩索與滑輪的受力、運動學約束及牛頓第二運動定律。

  • 同一條無質量、不可伸長的繩索，其張力處處相同。
  • 滑輪 AA 固定，只改變繩索方向；滑輪 BB 可動且質量可忽略。
  • 質量可忽略的滑輪合力必須為零，因此滑輪 BB 軸心受到的上繩張力，等於下繩兩側張力的總和。

解題方法

令各砝碼及滑輪 BB 的向下加速度分別為 a8a_8、a3a_3、a5a_5、aBa_B。設上繩張力為 T1T_1，下繩張力為 T2T_2。

由上繩長度不變：

a8+aB=0a_8+a_B=0

由下繩長度不變：

a3+a5−2aB=0a_3+a_5-2a_B=0

滑輪 BB 質量可忽略，受力平衡：

T1=2T2T_1=2T_2

受力方程式與計算

對 8 kg8\ \mathrm{kg} 砝碼取向下為正：

8g−T1=8a88g-T_1=8a_8

對 3 kg3\ \mathrm{kg} 與 5 kg5\ \mathrm{kg} 砝碼取向下為正：

3g−T2=3a3,5g−T2=5a53g-T_2=3a_3,\qquad 5g-T_2=5a_5

由繩長關係 aB=−a8a_B=-a_8，可得 a3+a5=−2a8a_3+a_5=-2a_8。代入兩個砝碼的運動方程式：

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第 三 題25 分

如圖示 UU 型截面梁，t=1 cmt=1\ \mathrm{cm}、b=20 cmb=20\ \mathrm{cm}。梁材料之壓縮強度為拉伸強度的 33 倍。如欲令梁之張力面與壓力面同時達到破壞，則梁截面之深度 hh 應為多少？

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核心觀念

本題考截面形心與彎曲正應力分布。梁彎曲時，正應力大小與距離中性軸的距離成正比：

∣σ∣=∣M∣yI|\sigma|=\frac{|M|y}{I}

因此，拉壓兩側同時達到破壞時，兩側應力比等於各自到中性軸距離的比值。材料壓縮強度為拉伸強度的 33 倍，所以壓縮側到中性軸的距離須為拉伸側的 33 倍。

解題方法

圖示 U 型截面底板厚度為 2t2t，兩側腹板厚度為 tt；截面總深度為 hh。以底面為基準，將截面分成底板與兩片腹板，形心位置為

yˉ=(2bt)(t)+2[t(h−2t)][2t+h−2t2]2bt+2t(h−2t)\bar y =\frac{(2bt)(t)+2[t(h-2t)]\left[2t+\frac{h-2t}{2}\right]} {2bt+2t(h-2t)}

代入 t=1 cmt=1\ \mathrm{cm}、b=20 cmb=20\ \mathrm{cm}：

yˉ=40+2(h−2)(h/2+1)40+2(h−2)=h2+362h+36\bar y =\frac{40+2(h-2)(h/2+1)}{40+2(h-2)} =\frac{h^2+36}{2h+36}
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第 四 題25 分

一直徑為 36 mm36\ \mathrm{mm} 之圓桿 ABCABC，一端固定，並受軸向力 50 kN50\ \mathrm{kN} 及 100 kN100\ \mathrm{kN} 作用，如圖所示。設圓桿材料之楊氏係數為 200 GPa200\ \mathrm{GPa}，試求 CC 點之撓度。

AA 點至 BB 點之距離為 2 m2\ \mathrm{m}，BB 點至 CC 點之距離為 3 m3\ \mathrm{m}。

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核心觀念

本題考查受軸向集中力之階梯式桿件變形。桿件各段的軸力可能不同，需先由自由體平衡求出各段軸力，再將各段軸向變形相加：

δ=∑iNiLiAE\delta=\sum_i\frac{N_iL_i}{AE}

其中 NiN_i 為第 ii 段軸力，LiL_i 為該段長度，AA 為截面積，EE 為楊氏係數。拉力造成伸長；壓力造成縮短。

解題方法

取向下為正。依圖，BB 點受 50 kN50\ \mathrm{kN} 向下力，CC 點受 100 kN100\ \mathrm{kN} 向下力。分別在 ABAB、BCBC 段作截面，利用截面以下外力的平衡，求得：

  • ABAB 段承受 50+100=150 kN50+100=150\ \mathrm{kN} 拉力。
  • BCBC 段承受 100 kN100\ \mathrm{kN} 拉力。

圓桿直徑為 36 mm36\ \mathrm{mm}，截面積為

A=πd24=π(36)24=324π mm2A=\frac{\pi d^2}{4} =\frac{\pi(36)^2}{4} =324\pi\ \mathrm{mm^2}
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